ضرب سکالری وکتورها: اندازه، زاویه، مختصات

این کارگاه یک بخش اضافی است و در کتاب‌های درسی افغانستان نیست. زاویهٔ بین دو وکتور غیرصفر a و b زاویهٔ AOB است که در آن OA = a و OB = b. آن را ∠(a, b) می‌نویسیم، ۰° ≤ ∠(a,b) ≤ ۱۸۰°. اگر زاویه ۹۰° باشد، وکتورها بر هم عمود اند.

ضرب سکالری حاصل ضرب اندازه‌ها در کوساین زاویهٔ بین شان است: a · b = |a| |b| cos ∠(a, b). مربع سکالری a · a را a² می‌نویسیم و a² = |a|². وکتورها وقتی بر هم عمود اند که a · b = ۰ باشد.

برای a (a_۱;a_۲;a_۳) و b (b_۱;b_۲;b_۳): a·b = a_۱b_۱ + a_۲b_۲ + a_۳b_۳. از این‌جا cos∠(a,b) = a_۱b_۱ + a_۲b_۲ + a_۳b_۳√(a_۱^۲ + a_۲^۲ + a_۳^۲)·√(b_۱^۲ + b_۲^۲ + b_۳^۲).

ضرب سکالری خاصیت تبدیلی دارد، (ka) · b = k(a · b) است و نسبت به جمع توزیعی است. پس (a + b)² = a² + ۲a · b + b².