Kubische Graphen, Skizzieren von Polynomen und Asymptoten
Fülle die Wertetabelle einer kubischen Funktion aus und zeichne ihren Graphen, skizziere einen Polynomgraphen aus Nullstellen und y-Achsenabschnitt, erkenne eine doppelte Nullstelle und zeichne die senkrechte, die waagrechte und die schräge Asymptote einer gebrochen-rationalen Funktion.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 10
- Portugal: Klasse 10
- Italien: Klasse 11
- Spanien: Klasse 10
- Großbritannien: Year 11
- Russland: Klasse 9
- Ukraine: Klasse 10
- Iran: Klasse 12
- Afghanistan: Klasse 10
- Syrien: Klasse 11
- Palästina: Klasse 9
Hinweise für Erwachsene
Ganzrationale Funktionen dritten Grades und das Skizzieren ihrer Graphen aus den Nullstellen gehören im bayerischen Lehrplan zur 10. Klasse (Gymnasium, Kapitel «Ganzrationale Funktionen»). Gebrochen-rationale Funktionen mit Definitionslücke und Asymptoten folgen in der 8. und besonders in der 11. Klasse. Wir bauen zuerst den Graphen von y = x3 − 3x aus einer Wertetabelle auf. Achtung: Die dritte Potenz einer negativen Zahl bleibt negativ, (−2)³ = −8. Der Graph einer kubischen Funktion hat eine S-Form und schneidet die x-Achse bis zu dreimal.
Um y = (x + 2)(x − 1)(x − 3) schnell zu skizzieren, liest du die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab (x = −2, 1 und 3; das Vorzeichen kehrt sich um) und bestimmst den y-Achsenabschnitt mit x = 0. Kommt ein Linearfaktor doppelt vor, wie in y = (x + 1)2(x − 2), so ist die Nullstelle doppelt: Der Graph berührt dort die x-Achse und wechselt das Vorzeichen nicht.
In y = (2x + 1)/(x − 1) ist der Nenner bei x = 1 gleich null: Die Definitionsmenge ist D = ℝ \ {1}, und die senkrechte Gerade x = 1 ist die senkrechte Asymptote (Polstelle). Der Graph schmiegt sich an sie an, erreicht sie aber nie. Wird x sehr groß oder sehr klein, nähert sich der Graph der waagrechten Geraden y = 2 (Verhältnis der Koeffizienten von x: 2 : 1): der waagrechten Asymptote. Ist der Zählergrad um eins größer als der Nennergrad, gibt es eine schräge Asymptote, die man durch Polynomdivision erhält.