Italien
Dieser Pfad folgt als Lernhilfe dem veröffentlichten Lehrplan von Italien. Er ist kein amtlicher Lehrplan, keine Schule und erhebt keinen Anspruch auf Übereinstimmung.
Zahlen und StellenwerteZählen und Vergleichen bis 10Zähle Äpfel einzeln, fülle das Zehnerfeld, ordne sie einander zu und vergleiche mit <, > und =.▶ Jetzt lernenKlasse 1
349
- Zahlen und StellenwerteZählen und Vergleichen bis 10Ordne Äpfel eins zu eins zu, zähle sie und vergleiche. Dann lernst du die Zeichen <, > und =.Spielen und lernen mit dem Wiedehopf
- Zahlen und StellenwerteZahlen bis 20: ein Zehner und einige EinerLies und lege die Zahlen von 10 bis 20 mit zwei Zehnerfeldern. Dazu: eins mehr, die Zahl dazwischen und erster, zweiter, dritter.Spielen und lernen mit dem Wiedehopf
- Zahlen und StellenwerteZahlenstrahl, in Schritten zählen, gerade und ungerade ZahlenFinde Zahlen am Zahlenstrahl, zähle in Zweier-, Fünfer- und Zehnerschritten und entdecke gerade und ungerade Zahlen.Spielen und lernen mit dem Wiedehopf
- Zahlen und StellenwerteZehner und Einer: Zahlen bis 100Bündle zehn Einer zu einem Zehner. Lege und lies Zahlen bis 100 mit Zehnern und Einern.
- Zahlen und StellenwerteZahlwörter: Zahlen sprechen und schreibenLege zwei- und dreistellige Zahlen aus Hundertern, Zehnern und Einern und lies und schreibe sie als Zahlwort.
- Zahlen und StellenwerteZerlegung von 6 bis 10 und die NullZerlege die Zahlen 6, 7, 8, 9 mit Plättchen in zwei Teile. Finde dann heraus, was passiert, wenn man alles oder nichts wegnimmt.
- Zahlen und StellenwerteZerlegungskarte und StreifenSchreibe die zwei Teile, aus denen 6 besteht, und baue einen Streifen aus 7 Feldern.
- RechnenPlus und Minus im Zahlenraum bis 10Lege Äpfel zusammen, nimm welche weg und vergleiche. Zerlege dann die Zahl 10 in zwei Teile.
- RechnenRechnen im Zwanzigerraum: über die Zehn und AufgabenfamilienZuerst die Zehn füllen, dann den Rest dazulegen. Drei Zahlen addieren, Zahlen tauschen und die vier Aufgaben einer Familie finden.
- RechnenRechnen in Schritten am RechenstrichAddition und Subtraktion als Sprünge am Zahlenstrahl zeigen: erst die Zehner, dann die Einer, oder zuerst bis zur nächsten Zehnerzahl.
- RechnenGleiche Gruppen: Multiplizieren und DividierenLege Äpfel in gleich große Gruppen, baue Punktefelder und sieh, wie Multiplikation und Division zusammengehören.
- GeldMünzen und ScheineLerne Münzen und Scheine kennen, lege einen Geldbetrag auf verschiedene Arten und sieh, dass mehr Münzen nicht immer mehr Geld sind.
- Größen und MessenVergleichen: länger, schwerer, vollerWas ist länger? Was ist schwerer? Miss mit Büroklammern, Handspannen und Bechern.
- Größen und MessenLänge, Masse und Fassungsvermögen messenMiss mit Lineal, Waage und Messbecher. Schätze zuerst, miss dann.
- Größen und MessenUhr und KalenderStelle die Zeiger einer Uhr, schreibe eine Uhrzeit am Nachmittag im 24-Stunden-Format und finde Tage im Kalender.
- Größen und MessenViertelstunde und Reihenfolge in der ZeitStelle die Viertelstunde an der Uhr ein, schreibe die Uhrzeit auf zwei Arten und finde heraus, was länger gedauert hat.
- GeometrieEbene Figuren und SymmetrieZeichne auf dem Punktefeld ein Dreieck und ein Quadrat, finde die Dreiecke und zeichne eine Symmetrieachse.
- GeometrieEcken, Kreise, Rechtecke und SymmetrieZähle Ecken, finde die Figur ohne Ecke, zeichne ein Rechteck, falte eine Figur und teile eine Figur in gleiche Teile.
- GeometrieKörperErkenne Würfel, Quader, Zylinder, Kegel, Kugel und Pyramide, zähle Flächen und Kanten und finde Netze von Würfel und Quader.
- GeometrieDas Haus der ViereckeOrdne Trapez, Drachenviereck, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat nach Symmetrie und Diagonalen und konstruiere ein Drachenviereck.
- GeometrieSchrägbilder von KörpernVerkürze Tiefenkanten mit dem Maßstab q, erkenne fehlerhafte Schrägbilder und lies wahre Größen aus einem Schrägbild ab.
- GeometrieSymmetrieebenen und AxialschnitteZähle Symmetrieebenen von Körpern, finde Axialschnitte von Zylinder und Kegel und nutze 3D-Koordinaten für die Raumdiagonale.
- GeometrieParkette und BandornamenteZähle Figuren an einem Punkt im Parkett, setze ein Bandornament durch Verschieben und durch Spiegeln fort und finde Spiegelachsen.
- Lage und RichtungLage, Richtung und DrehungenLinks und rechts, oben, unten und dazwischen finden. Dann einen Pfeil eine Vierteldrehung, eine halbe Drehung und eine Dreivierteldrehung drehen.
- Muster und FolgenWiederholende und wachsende MusterFiguren und Zahlen, die einer Regel folgen. Das Muster erkennen, fortsetzen und verbessern.
- Muster und FolgenZahlenmuster: Päckchen, ANNA-Zahlen und ZahlenmauernSetze strukturierte Päckchen fort, finde die Regel, bilde ANNA-Zahlen und berechne einen fehlenden Stein in der Zahlenmauer.
- AlgebraPlatzhalter-Gleichungen und UmkehraufgabenEine Geschichte als Gleichung mit Platzhalter aufschreiben, die Zahl mit der Umkehraufgabe finden, Zahlenrätsel rückwärts lösen und die Probe machen.
- StatistikDaten sammeln, Strichlisten und PiktogrammeBefrage die Klasse, zähle mit einer Strichliste und zeichne ein Piktogramm.
- StatistikBalkendiagramme und LiniendiagrammeZeichne Balkendiagramme und Liniendiagramme aus einer Tabelle, lies sie ab und wähle das passende Diagramm.
- StatistikStrichlisten, Rechnen mit Strichen und Piktogramme mit ZehnernSortiere und zähle mit Strichlisten, addiere und subtrahiere mit Strichen und zeichne ein Piktogramm, in dem ein Bild für 10 steht.
- StatistikDatentabellen: lesen und ausfüllenLies eine einfache Tabelle, finde den größten Wert, berechne den Unterschied und fülle eine Tabelle aus Daten aus.
- StatistikNach einem Merkmal sortierenSortiere Gegenstände nach Farbe und nach Form in Gruppen, zähle jede Gruppe und finde die größte.
- StatistikAbsolute und relative HäufigkeitEine Umfrage in einer Strichliste auswerten, relative Häufigkeiten als Bruch, Dezimalzahl und Prozent angeben und Gruppen verschiedener Größe vergleichen.
- StatistikVerzerrte DiagrammeDiagramme erkennen, die einen falschen Eindruck machen, zum Beispiel durch eine abgeschnittene Achse oder verschieden große Bilder, sie ehrlich zeichnen und Überschriften wählen, die zu den Daten passen.
- Mengen und LogikAussagen, und, oder, nicht und wenn … dannEntscheide, welche Sätze Aussagen sind, nutze und, oder und nicht richtig, prüfe ein Versprechen „wenn … dann …“ und finde die Kontraposition.
- Mengen und LogikWahr oder falschLies Aussagen über das Obst mit den Wörtern „alle“, „jeder“ und „es gibt“ und entscheide, ob sie wahr sind.
- Sachaufgaben und ProblemlösenSachaufgaben lösen: eine Skizze zeichnenDie Aufgabe lesen. Sagen, was gegeben ist und was gesucht wird. Eine Skizze zeichnen, rechnen und einen Antwortsatz schreiben.
- Sachaufgaben und ProblemlösenAnweisungen und AlgorithmenFühre Anweisungen Schritt für Schritt aus, lass eine Rechenmaschine arbeiten und bringe die Schritte eines Plans in die richtige Reihenfolge.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernIn Gruppen zählen und Malaufgaben mit SachaufgabenZählen in Siebener- und Zweihunderterschritten, «so viele wie»-Aufgaben, große Packungen und Geschwindigkeit mit einer Malmaschine.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernBausteine einer Gleichung: Summand, Summe, DifferenzAm Zahlenstrahl in Teilschritten addieren und subtrahieren, die Zahlen einer Gleichung benennen und die Subtraktion über das Ergänzen lösen.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGleichungen mit Platzhalter und Änderung der SummeDen unbekannten Summanden, Minuenden und Subtrahenden mit der Umkehraufgabe finden, Terme ohne Rechnen vergleichen und beobachten, wie sich die Summe ändert.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernZweistellige Zahlen: stellenweise, schrittweise, HilfsaufgabeAddiere und subtrahiere zweistellige Zahlen stellenweise und schrittweise und rechne 38 + 9 über 10, indem du die zu viel addierte 1 wieder abziehst.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernRechenkettenFolge den Pfeilen: Eine Zahl im Kreis, eine Rechenanweisung am Fähnchen. Finde die Zahl am Ende der Kette und ergänze ein verwischtes Fähnchen.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernPlustafelnDie Plustafeln der 1, 2, 5 und 7 lesen, die Ergebnisse verdecken und eintragen. Danach die Summen der zweiten Zehn.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSubtrahieren mit passenden Summanden: 6, 7, 8, 9 abziehenDen Minuenden als Summe mit passenden Summanden schreiben, von denen einer so groß ist wie der Subtrahend. Dann bleibt der andere Summand übrig.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernDas Dezimeter und Rechnen mit GrößenLerne, dass 1 dm = 10 cm ist, miss Bänder in Dezimetern und addiere Längen in Dezimetern und Zentimetern.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernPunkt, Gerade, krumme Linie, Halbgerade, Strecke, StreckenzugFinde Punkte, gerade und krumme Linien in einem Bild. Benenne die Teile einer Geraden, die Punkte erzeugen, und miss die Länge eines Streckenzugs.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernZeichnen auf KaropapierZeichne wie im Heft mit Kästchen: eine Strecke mit gegebener Länge, ein Quadrat, ein Rechteck, eine Figur mit gegebenem Umfang und eine vergrößerte oder verkleinerte Figur.
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSachaufgaben: Gegeben, Gesucht, Rechnung und AntwortDie Angaben kurz aufschreiben, eine Rechnung aufstellen, die Aufgabe in einem oder zwei Schritten lösen und einen Antwortsatz schreiben.
Klasse 2
30
- Zahlen und StellenwerteHunderter und Tausender: Stellenwerte und StufenschriftLege Zahlen bis 10 000 mit Stellenwertplättchen, lies und schreibe sie, zerlege sie in Stufenschrift, vergleiche sie von der höchsten Stelle aus und lerne römische Zahlen kennen.
- Zahlen und StellenwerteHundertertafel und Zählen in SchrittenZähle in Dreier-, Vierer-, Sechser- und Siebenerschritten auf der Zahlentafel und sieh die wiederholte Addition mit Streifen.
- RechnenDas kleine EinmaleinsLerne das kleine Einmaleins mit Bildern und übe es in einem kurzen Spiel: zuerst die Kernaufgaben mit 1, 2, 5 und 10, dann Quadratzahlen und Ableiten, dann die übrigen Reihen bis 10 · 10.
- RechnenSchriftliche Addition und SubtraktionZahlen untereinander schreiben und Spalte für Spalte addieren oder subtrahieren: übertragen, entbündeln, Probe machen und große Zahlen und Dezimalzahlen rechnen.
- RechnenExtra: Addieren und Subtrahieren am RechenrahmenAddiere und subtrahiere zweistellige Zahlen, indem du Perlen am Abakus schiebst. Tausche zehn Einerperlen gegen eine Zehnerperle und zurück.
- BrücheWas ist ein Bruch?Teile ein Ganzes in gleiche Teile und schreibe als Bruch, wie viele Teile du nimmst.
- GeldEinkaufen und WechselgeldAddiere die Preise im Warenkorb, bezahle und berechne das Wechselgeld durch Ergänzen.
- Größen und MessenUmfang und FlächeninhaltGeh um eine Figur herum und bestimme ihren Umfang, bedecke sie mit Einheitsquadraten und bestimme ihren Flächeninhalt. Du siehst: Figuren mit gleichem Flächeninhalt können verschiedene Umfänge haben.
- Größen und MessenExtra: ThermometerLies ein Thermometer in °C ab und stelle Temperaturen unter null ein.
- GeometrieGerade, Halbgerade, Strecke und WinkelFinde die Halbgeraden, zeichne parallele und senkrechte Geraden auf dem Punktraster und vergleiche Winkel mit einer Quadratecke.
- GeometrieWinkel, rechter Winkel, Rechteck und QuadratBenenne einen Winkel mit Buchstaben, finde den rechten Winkel mit dem Faltwinkel, erkenne ein Rechteck unter den Vierecken und ein Quadrat unter den Rechtecken.
- Lage und RichtungKoordinaten und VerschiebungZeichne Punkte nach ihren Koordinaten, finde die fehlende Ecke einer Figur und verschiebe Figuren im Gitter.
- StatistikNach zwei Merkmalen sortieren (Vierfeldertafel)Sortiere Figuren nach zwei Merkmalen gleichzeitig in vier Gruppen, trage sie in eine Strichliste ein und lies aus der Tafel ab.
- WahrscheinlichkeitZufall: sicher, möglich, unmöglichPlättchen aus einem Beutel ziehen, ein Glücksrad drehen und würfeln. Sagen, ob ein Ereignis sicher, möglich oder unmöglich ist, und die Wahrscheinlichkeit als Bruch schreiben.
- Sachaufgaben und ProblemlösenSachaufgaben lösen: Gleichungen mit PlatzhalterEine Geschichte in eine Gleichung übersetzen. Ein Kästchen □ steht dort, wo die gesuchte Zahl hingehört. Dann findest du sie mit der Umkehraufgabe.
- Sachaufgaben und ProblemlösenSachaufgaben lösen: Tabelle, Muster, Ausschließen, ProbierenVier Wege, eine Aufgabe zu lösen: alle Fälle der Reihe nach auflisten, das Muster finden, Unmögliches durchstreichen und probieren, prüfen und verbessern.
- Sachaufgaben und ProblemlösenFermi-Aufgaben: Überschlag oder genau?Große Anzahlen in Schritten schätzen, mit Bezugsgrößen arbeiten, überschlagen und entscheiden, wann ein genaues Ergebnis nötig ist.
- Zahlen und StellenwerteZusatz: nicht in deinen SchulbüchernRunden am ZahlenstrahlFinde die Zahl am Zahlenstrahl und sieh, welchem Zehner, Hunderter oder Tausender sie am nächsten liegt. Eine Zahl genau in der Mitte wird aufgerundet.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernDie Einmaleins-Tafel und wie Ergebnisse von den Zahlen abhängenErkunde die Einmaleins-Tafel, multipliziere und dividiere nacheinander und sieh, wie ein Produkt und ein Quotient von ihren Zahlen abhängen.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernTerm, Gleichung, UngleichungUnterscheide Terme, Gleichungen und Ungleichungen, streiche falsche Gleichungen durch und vergleiche Terme, ohne zu rechnen.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernEine Summe addieren und subtrahierenAddiere eine Summe zu einer Zahl, subtrahiere eine Summe von einer Zahl und eine Zahl von einer Summe. Schreibe Gleichungen mit Klammern und nutze Rechenvorteile.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGenauer messen und ein Teil einer EinheitMiss mit einer eigenen Einheit, zähle die kleinen Teile eines Zentimeters und finde die Mitte einer Linie.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernUmfang eines VielecksBerechne den Umfang des Dreiecks ABC und des Rechtecks DMPK als Summe der Längen aller Seiten.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernAchsensymmetrie und PapierfaltenZähle bei achsensymmetrischen Figuren mit der Symmetrieachse, zeichne das Spiegelbild und sage voraus, welche Form nach dem Falten und Ausschneiden entsteht.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernKreislinie und KreisflächeUnterscheide Kreislinie und Kreisfläche, finde den Mittelpunkt und die Radien und markiere die Punkte, die auf der Kreislinie liegen.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernTerme mit einer VariablenEin Buchstabe statt eines Kästchens ergibt einen Term mit einer Variablen. Setze den Wert der Variablen ein und berechne den Termwert.
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernAufgaben: «mal so viele», «wie viele mehr», UmkehraufgabeDu vervielfachst Zahlen, vergleichst sie mit «Wievielmal?», löst Aufgaben mit «weniger» und Umkehraufgaben.
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernZusammengesetzte SachaufgabenUnterscheide einfache und zusammengesetzte Sachaufgaben und schreibe den Rechenweg in Schritten und als einen Term mit Klammern.
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernZusammengesetzte Sachaufgaben mit Mal und GeteiltDu löst zusammengesetzte Sachaufgaben: Restaufgaben, Summe und Differenz von Produkten, «mal so viel» und «so viel weniger».
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGegeben, Rechnung, AntwortSchreibe eine Textaufgabe so auf wie im Heft: Gegeben, Gesucht, Rechnung (mit Zwischenfragen oder als ein Term) und Antwortsatz.
Klasse 3
49
- Zahlen und StellenwerteGroße Zahlen, Runden und ÜberschlagenLies und lege Zahlen bis in die Millionen in Dreiergruppen, runde auf Zehner, Hunderter oder Tausender und überschlage eine Summe, bevor du sie genau ausrechnest.
- Zahlen und StellenwerteÜberschlagen und Runden auf Zehner und HunderterZahlen auf den nächsten Zehner oder Hunderter runden und Summen und Differenzen überschlagen, ohne genau zu rechnen.
- Zahlen und StellenwerteTeiler, Vielfache und PrimzahlenLege Plättchen zu Rechtecken und finde so die Teiler einer Zahl. Entdecke, warum manche Zahlen nur ein Rechteck ergeben.
- Zahlen und StellenwerteTeilbarkeit, ggT, kgV und PotenzenFärbe Vielfache in der Hundertertafel und entdecke die Teilbarkeitsregeln. Danach folgen gemeinsame Vielfache und Teiler, Quadratzahlen und Potenzen.
- Zahlen und StellenwerteDualzahlen und römische ZahlenDualzahlen mit den Stellenwerten 1, 2, 4, 8, 16 lesen und schreiben und römische Zahlen mit unserem Stellenwertsystem vergleichen.
- RechnenMalnehmen und Teilen mit 10, 100 und 1000Mal 10 rückt jede Ziffer eine Stelle nach links, geteilt durch 10 eine Stelle nach rechts. Sieh es in der Stellenwerttafel, erst mit ganzen Zahlen, dann mit Dezimalzahlen.
- RechnenSchriftliche MultiplikationMultipliziere schriftlich: mit einer einstelligen Zahl und Übertrag, mit einer zweistelligen Zahl und verschobener Zeile und dann mit Kommazahlen.
- RechnenDivision mit Rest und schriftliche DivisionSchreibe eine Division Ziffer für Ziffer, erkenne, was ein Rest ist und was du in einer Sachaufgabe damit machst, und mache die Probe mit der Multiplikation.
- RechnenPlus und Minus mit TausendernAddiere und subtrahiere vierstellige Zahlen in der Stellenwerttafel mit Einern, Zehnern, Hundertern und Tausendern. Bündle oder entbündle, wo es nötig ist.
- BrücheBrüche am ZahlengeradeAuch Brüche sind Zahlen, und jede hat ihren eigenen Platz am Zahlenstrahl. Teile die Strecke von 0 bis 1 in gleich große Teile und setze Punkte.
- BrücheGleichwertige Brüche: Erweitern und KürzenDieselbe Menge lässt sich durch verschiedene Brüche beschreiben. Sieh, wie sich der Bruch ändert, wenn die Teile kleiner oder größer werden, die Menge aber gleich bleibt.
- BrücheBrüche vergleichenWelcher Bruch ist größer? Lege die Streifen untereinander und sieh, wessen Färbung weiter reicht.
- BrücheBrüche addieren und subtrahierenLege Brüche an Streifen nebeneinander, addiere und subtrahiere sie. Bei verschiedenen Nennern machst du die Teile zuerst gleich groß.
- BrücheDezimalbrücheFinde Zehntel und Hundertstel am Zahlenstrahl und sieh, wie Dezimalbrüche geschrieben und gelesen werden.
- BrücheTeil von einer ZahlVerteile Äpfel gerecht und nimm mehrere Teile. Danach vergrößerst und verkleinerst du ein Rezept.
- Größen und MessenEinheiten umrechnenRechne Meter in Zentimeter, Gramm in Kilogramm und Liter in Milliliter um, in der Einheitentafel mit Komma, auch bei Flächen und Volumen. Der Umrechnungsstreifen hilft dir.
- Größen und MessenVolumen und Oberflächeninhalt von Prisma und ZylinderDrehe Prismen und Zylinder, finde die Grundfläche, fülle sie Schicht für Schicht und sieh, warum Volumen = Grundflächeninhalt mal Höhe ist, und klappe das Netz auf, um die Mantelfläche und den Oberflächeninhalt zu bestimmen.
- Größen und MessenZeit messen: Minuten und SekundenFinde eine Ankunftszeit, berechne die Zeitspanne zwischen zwei Uhren mit Zeitpfeilen und rechne zwischen Sekunden, Minuten und Stunden um.
- Größen und MessenKilometer, Fassungsvermögen und Masse von WasserRechne Meter in Kilometer um und umgekehrt, unterscheide das Fassungsvermögen eines Gefäßes vom Volumen der Flüssigkeit darin und lerne: 1 Liter Wasser sind 1000 Kubikzentimeter und wiegen 1 kg.
- GeometrieDreiecke und ViereckeOrdne Dreiecke nach Seiten und Winkeln, lerne die Familie der Vierecke kennen, zeichne Trapez und Drachenviereck und die Diagonalen einer Raute.
- GeometrieWinkel mit dem Geodreieck messenLies und zeichne Winkel mit dem Geodreieck, auch überstumpfe Winkel bis 360°. Finde Nebenwinkel, Scheitelwinkel und Winkelhalbierende.
- GeometrieKonstruktionen mit Zirkel und LinealKonstruiere mit Zirkel und Lineal Sehnen und Kreisbögen, die Mittelsenkrechte einer Strecke, die Winkelhalbierende und ein Dreieck aus drei Seiten.
- GeometrieOrtslinien und OrtsbereicheFinde alle Punkte mit einem bestimmten Abstand von einem Punkt, von einer Strecke, von zwei Punkten oder von den beiden Schenkeln eines Winkels und sieh, welche Figur sie bilden. Mit dem Zirkel färbst du dann einen Ortsbereich, der zwei Bedingungen zugleich erfüllt.
- GeometrieDreiecke konstruieren mit PlanPlanfigur, nummerierte Konstruktionsbeschreibung und Anzahl der Lösungen bei Dreieckskonstruktionen, auch mit Höhe.
- GeometrieGeodreieck und zusammengesetzte FigurenZeichne mit dem Geodreieck einen rechten Winkel und eine Senkrechte und bestimme den Flächeninhalt einer Figur aus Rechtecken.
- Muster und FolgenRechenmaschinen und Regeln für ZahlenfolgenEine Zahl geht in eine Maschine und eine andere kommt heraus. Finde heraus, was die Maschine macht, und finde dann die Regel einer Zahlenfolge.
- Funktionen und GraphenZuordnungen, Wertepaare und FunktionenStelle eine Zuordnung als Pfeildiagramm dar, zeichne ihre Wertepaare als Punkte, entscheide, welche Zuordnungen Funktionen sind, und wende den Test mit der senkrechten Geraden auf einen Graphen an.
- StatistikIrreführende Diagramme und StichprobenErkenne, wie eine abgeschnittene Achse ein Diagramm verändert, wähle ein Diagramm für eine Aussage, beurteile Stichproben auf Repräsentativität und vergleiche Kennwerte.
- WahrscheinlichkeitMengendiagramme, Ereignisse und VierfeldertafelOrdne eine Klasse mit 30 Kindern nach Fußball und Schach in einem Venn-Diagramm, übertrage dieselben Daten in eine Vierfeldertafel und zurück, sieh Ereignisse als Mengen und berechne «oder»-Wahrscheinlichkeiten mit der Additionsregel.
- Sachaufgaben und ProblemlösenSachaufgaben lösen: Teilaufgaben, einfachere Zahlen und systematische ListenEine große Aufgabe in Schritte zerlegen, zuerst eine einfachere Aufgabe lösen, alle Fälle der Reihe nach auflisten und selbst eine Strategie wählen.
- Zahlen und StellenwerteZusatz: nicht in deinen SchulbüchernStellenwerte bei DezimalzahlenSchreibe und lies Dezimalzahlen in einer Stellenwerttafel mit den Spalten Einer, Zehntel und Hundertstel, baue sie in der Summenschreibweise auf und vergleiche sie.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernHalbschriftliches Rechnen: stellenweise, mit Hilfsaufgabe, durch ZerlegenAddiere und subtrahiere stellenweise und mit runden Zahlen, teile Zahlen durch Zerlegen und teile Stufenzahlen in Zehnern.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGeschickt multiplizieren und dividierenMultipliziere und dividiere mit 5, 25, 50, 11, 101, 9 und 99 auf geschickte Weise, mit Rechenvorteilen.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernDivision mit Rest durch 10 und 100Dividiere mit Rest durch 10 und 100, indem du Ziffern rechts verdeckst, und dividiere Zahlen mit Endnullen, indem du gleich viele Nullen streichst.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernHalbschriftlich multiplizieren und dividierenZweistellige Zahlen mit einstelligen Zahlen multiplizieren und dividieren, indem man die Zahl in leichte Teile zerlegt, und mit der Umkehraufgabe die Probe machen.
- RechnenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernRechnungen prüfen: Überschlag und ProbeÜberschlage das Ergebnis vor dem Rechnen, rechne schriftlich, mache die Probe mit der Umkehraufgabe und entscheide, ob ein Ergebnis (auch vom Taschenrechner) sinnvoll ist.
- BrücheZusatz: nicht in deinen SchulbüchernBruchteil einer Zahl und das Ganze zum BruchteilDu berechnest den Bruchteil einer Zahl und aus einem Bruchteil das Ganze: erst ein Teil, dann das Ganze oder mehrere Teile.
- BrücheZusatz: nicht in deinen SchulbüchernBruchteile von MaßeinheitenWelcher Bruchteil eines Meters sind 6 cm, welcher Bruchteil eines Jahres sind 3 Monate? Du rechnest einen Bruchteil in eine kleinere Einheit um und vergleichst ihn mit einer Größe.
- BrücheZusatz: nicht in deinen SchulbüchernEin Fünftel und ein ZehntelTeile ein Ganzes in 5 und in 10 gleiche Teile, vergleiche 15 und 110 und bestimme ein Fünftel und ein Zehntel einer Größe.
- Verhältnisse und ProportionalitätZusatz: nicht in deinen SchulbüchernArbeit: Leistung pro Stunde, Zeit, GesamtmengeAufgaben zur Arbeit lösen: Leistung pro Stunde · Arbeitszeit = Gesamtmenge, mit einer Tabelle und mit dem Dreiecksschema.
- Verhältnisse und ProportionalitätZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSchlussrechnung: die gleichbleibende GrößeAufgaben mit einer Größe lösen, die gleich bleibt (die Masse einer Kiste, ein Preis, eine Gesamtmasse): erst diese Größe bestimmen, dann die Frage beantworten.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGrößen in zwei Einheiten: RechnenAddiere, subtrahiere, multipliziere und dividiere Größen mit zwei Einheiten: Schreibe sie in einer Einheit, rechne und schreibe das Ergebnis wieder mit zwei Einheiten.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernHalbgeraden, Strecken und DiagonalenBenenne Punkte mit Buchstaben, Halbgeraden und Strecken, zeichne eine Strecke mit vorgegebener Länge und zähle die Diagonalen eines Vielecks, indem du zuerst ein einfacheres Problem löst.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGleichungen: Umkehraufgaben und unbekannte GrößenStelle aus einem Text eine Gleichung auf, löse sie mit der Umkehraufgabe und prüfe durch Einsetzen. Dazu kommt eine Ungleichung mit einer Variablen, die du durch Probieren löst.
- StatistikZusatz: nicht in deinen SchulbüchernFahrpläne und StundenpläneStundenpläne und Fahrpläne lesen: Wann endet eine Stunde, wie lang ist eine Pause oder eine Fahrt, welchen Zug nimmst du?
- Mengen und LogikZusatz: nicht in deinen SchulbüchernWenn ..., dann ...Streiche Zahlen mithilfe von Hinweisen durch, ziehe Schlüsse aus «Wenn ..., dann ...»-Regeln und baue Schlussketten.
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSachaufgaben lösen: Gewinn und ausreichende AngabenDen Gewinn eines Kiosks mit einer Tabelle bestimmen und entscheiden, welche Zahlen eine Aufgabe braucht, welche nicht und wann eine Zahl fehlt.
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernTabellenaufgaben: Einzelpreis, Anzahl, GesamtpreisDie Angaben als Tabelle mit Einzelpreis, Anzahl und Gesamtpreis aufschreiben und Aufgaben zur Summe, zum Unterschied und zum Vielfachen von zwei Einkäufen lösen.
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernAufgaben vergleichen: Was hat sich geändert?Vergleiche zwei verwandte Sachaufgaben, sage voraus, wie sich die Rechnung ändert, und löse die veränderte Aufgabe.
Klasse 4
29
- Zahlen und StellenwerteNegative Zahlen und ganze ZahlenVerlängere die Zahlengerade nach links über die Null hinaus. Stelle Temperaturen unter null, Schulden und Tiefen dar, finde Gegenzahlen und rechne mit Pfeilen.
- Zahlen und StellenwerteGanze Zahlen multiplizieren und dividieren, BetragMultipliziere und dividiere negative Zahlen mit Schritten an der Zahlengerade, finde das Muster hinter den Vorzeichen und bestimme den Abstand von null.
- Zahlen und StellenwerteZehnerpotenzschreibweise (wissenschaftliche Schreibweise)Verschiebe die Ziffern mit : 10 und · 10, bis genau eine Ziffer ungleich null vor dem Komma steht, und beobachte, wie die Zehnerpotenz die Verschiebungen zählt.
- Zahlen und StellenwerteZahlwörter: Zehntausender, Hunderttausender und MilliardenLege und lies große Zahlen: fünfstellige Zahlen, hunderttausend und Zahlen über die Million hinaus. Frage dich, ob es eine größte Zahl gibt.
- Zahlen und StellenwerteGroße Zahlen vergleichen und ordnenVergleiche Zahlen bis in die Millionen Stelle für Stelle, ordne sie der Größe nach und addiere volle Tausender.
- RechnenMalnehmen mit Endnullen und Rechnen mit DezimalzahlenMultipliziere Zahlen mit Endnullen (40 · 30, 650 · 300), addiere und subtrahiere Dezimalzahlen in Spalten und multipliziere zwei Dezimalzahlen mit der Kommaregel.
- RechnenSchriftliche Multiplikation mit mehrstelligen und runden ZahlenMultipliziere schriftlich mit einer dreistelligen Zahl, mit einer Zahl mit Null und mit einer runden Zahl und addiere die Teilprodukte.
- RechnenMalnehmen mit Stellenwertplättchen: in Teile zerlegenZuerst Zehnerzahlen, dann eine mehrstellige Zahl mal eine einstellige Zahl mit Hunderter-, Zehner- und Einerplättchen: Jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
- BrücheSchriftliche Division und BrücheDividiere Ziffer für Ziffer schriftlich und sieh, dass jeder Bruch eigentlich eine Division ist, die du in einen Dezimalbruch verwandeln kannst.
- BrücheProzent: Bruch, Dezimalbruch, ProzentProzent heißt «von Hundert». Mit einem Hunderterfeld und einem 100-%-Streifen siehst du, dass Bruch, Dezimalbruch und Prozentangabe drei Namen für dieselbe Menge sind.
- Größen und MessenMeter mit Zentimetern, Kilogramm mit GrammLies und schreibe Größen mit zwei Einheiten (325 cm = 3 m 25 cm), wähle eine passende Einheit und lies einen halben Zentimeter am Lineal ab.
- Größen und MessenTonnen, Dezitonnen und JahrhunderteRechne Tonnen und Dezitonnen in Kilogramm um und finde heraus, zu welchem Jahrhundert ein Jahr gehört.
- GeometrieVielecke und WinkelsummenFinde die regelmäßigen Vielecke, entdecke die Winkelsumme im Dreieck und zerlege Vielecke in Dreiecke, um ihre Winkelsummen zu bestimmen.
- GeometrieKreis: Radius, Durchmesser und πMiss Durchmesser und Radius eines Kreises. Lege ein Band um einen Kreis und finde heraus, wie oft der Durchmesser in den Umfang passt.
- Lage und RichtungAchsenspiegelung, Drehung und Symmetrie im KoordinatensystemErweitere das Koordinatensystem um negative Zahlen, spiegle ein Dreieck an der y-Achse, drehe es um den Ursprung, finde Figuren mit Symmetriezentrum und ergänze eine Figur durch eine Halbdrehung.
- StatistikKreisdiagramme und MittelwertLies und färbe Kreisdiagramme, finde den Mittelwert durch gleichmäßiges Verteilen und durch Addieren und Teilen, und unterscheide Zahlen von Wörtern als Daten.
- StatistikMittelwerte und SpannweiteBestimme Zentralwert (Median), Modalwert, Mittelwert und Spannweite eines Datensatzes und entscheide, welcher Mittelwert die Daten am besten beschreibt.
- StatistikDaten in Klassen einteilen, Histogramm und HäufigkeitspolygonOrdne die Körpergrößen von Schülerinnen und Schülern gleich breiten Klassen zu, vervollständige die Tabelle der absoluten und relativen Häufigkeiten, zeichne ein Histogramm mit aneinanderstoßenden Säulen und verbinde die Klassenmitten zu einem Häufigkeitspolygon.
- StatistikZweidimensionale Daten und StreudiagrammeTrage Wertepaare ein, bestimme die Art der Daten, beschreibe die Korrelation, ziehe eine Ausgleichsgerade, lies Vorhersagen ab und unterscheide Korrelation von Ursache und Wirkung.
- Verhältnisse und ProportionalitätZusatz: nicht in deinen SchulbüchernWeg, Geschwindigkeit, Zeit: s = v · tBestimme Weg, Geschwindigkeit und Zeit aus einer Tabelle und mit den Formeln s = v · t, v = s : t und t = s : v.
- Verhältnisse und ProportionalitätZusatz: nicht in deinen SchulbüchernZwei Körper in Bewegung und gemeinsame ArbeitBestimme den Abstand zweier Körper, die sich gleichzeitig bewegen, und die Zeit für gemeinsame Arbeit mit einer Tabelle und einem Lösungsplan.
- Verhältnisse und ProportionalitätZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGleicher Preis, gleiche Größe: Aufgaben mit zwei KäufenLöse Aufgaben mit dem Kurzaufschrieb Preis, Anzahl, Gesamtpreis: Die gleiche Größe findest du aus zwei Unterschieden oder aus zwei Summen.
- Verhältnisse und ProportionalitätZusatz: nicht in deinen SchulbüchernDreisatz: Vierter Wert und doppelter Schluss auf die EinheitLöse Aufgaben mit dem Faktor und mit dem Schluss auf die Einheit (Dreisatz) und Aufgaben, in denen sich zwei Größen ändern.
- Verhältnisse und ProportionalitätZusatz: nicht in deinen SchulbüchernVorgänge: Bewegung und ArbeitLöse Aufgaben zu gleichzeitiger Bewegung und gemeinsamer Arbeit mit einem Plan: Geschwindigkeit · Zeit = Weg, Leistung · Zeit = Arbeitsmenge.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernFlächeninhalt des Rechtecks und FlächeneinheitenBerechne den Flächeninhalt eines Rechtecks mit A = a · b, finde eine fehlende Seite und lerne die Flächeneinheiten cm², dm², m², Ar und Hektar kennen.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernZeit: Rechnen mit ZeitspannenGrößere Zeiteinheiten in kleinere umwandeln, addieren oder subtrahieren und das Ergebnis in zwei Einheiten schreiben. Die Dauer eines Ereignisses aus Beginn und Ende bestimmen.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernUngleichungen mit einer Variablen: Wie sich ein Glied auf das Ergebnis auswirktLöse Ungleichungen mit einer Variablen auf zwei Wegen: durch Probieren und durch Zurückführen auf eine Gleichung. Schreibe die Lösungsmenge mit Auslassungspunkten.
- Mengen und LogikZusatz: nicht in deinen SchulbüchernKombinatorische Aufgaben: Auflisten, Baumdiagramm und ZählprinzipFinde alle Möglichkeiten, drei Mädchen auf Stockwerke zu verteilen, lass ein Baumdiagramm wachsen und finde heraus, warum man die Anzahl durch Multiplizieren erhält.
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernVerbrauch und VeränderungLöse Sachaufgaben zum Verbrauch pro Tag («Verbrauch pro Tag · Anzahl der Tage») und zur Veränderung einer Menge («vorher – nachher») in Schritten und schreibe einen Antwortsatz.
Klasse 5
28
- Zahlen und StellenwerteDezimalzahlen rundenZoome zwischen die beiden Nachbarn einer Zahl und sieh, welcher näher liegt: Runden auf Ganze, auf Zehntel und auf Hundertstel. Finde dann alle Zahlen, die auf denselben Wert gerundet werden.
- Zahlen und StellenwertePrimfaktoren, ggT und kgV, WurzelnZerlege Zahlen mit Faktorbäumen in Primfaktoren, bestimme ggT und kgV aus den Primfaktoren und finde Quadrat- und Kubikwurzeln, indem du die Primfaktoren paarweise oder zu dritt zusammenfasst.
- Zahlen und StellenwerteDas euklidische Verfahren für den ggTBestimme den ggT zweier Zahlen mit einer Kette von Divisionen, ohne Teiler aufzuschreiben.
- Zahlen und StellenwerteNäherungswerte: runden und abschneidenEine Zahl auf Zehner, Hunderter, Einer oder Zehntel nähern, auf zwei Arten (runden und abschneiden), erkennen, welcher Wert gerundet ist, einen Bruch nähern und ein Produkt überschlagen.
- BrücheBrüche multiplizieren und dividierenSieh an Streifen, dass das Multiplizieren mit einem Bruch «wie viele Portionen» oder «welcher Bruchteil von» bedeutet und das Dividieren durch einen Bruch «wie oft passt es hinein».
- Verhältnisse und ProportionalitätProportionalität und DreisatzFinde mit einer Tabelle eine fehlende Größe: zuerst den Wert für 1 (Schlussrechnung), dann für jede beliebige Anzahl. Die indirekte Proportionalität kommt zuletzt.
- Verhältnisse und ProportionalitätPreis pro Einheit, Geschwindigkeit und DichteMit einer Tabelle die Größe «für eine Einheit» bestimmen: den Preis pro Kilogramm, die Liter pro Euro und die Masse eines Kubikzentimeters.
- Verhältnisse und ProportionalitätMaßstab, Karten und PläneMit dem Lineal auf einer Karte und einem Plan messen und mit dem Maßstab die wirklichen Größen bestimmen.
- Verhältnisse und ProportionalitätProzentrechnung: Grundwert, Prozentwert, ProzentsatzProzentwert W, Prozentsatz p % oder Grundwert G mit dem Prozentstreifen, dem Dreisatz und der Formel W = G · p % bestimmen.
- GeldProzente im Alltag: Rabatt, Zinsen, Gewinn und VerlustMit einem Prozentstreifen siehst du, wie viel ein Rabatt vom Preis abzieht, wie viel Zinsen ein Guthaben bringt und wie viel Prozent vom Einkaufspreis ein Gewinn oder Verlust sind.
- GeldMehrwertsteuer, Skonto, Verkaufspreis und PromilleNetto- und Bruttopreis mit 19 % und 7 % Mehrwertsteuer, Rabatt und Skonto, das Verkaufspreis-Schema und Promille.
- GeldProzent und ProzentpunkteDer Unterschied zwischen «um 5 % gestiegen» und «um 5 Prozentpunkte gestiegen»: ein Zinssatz von 20 % auf 25 %, der Anteil guter Schülerinnen und Schüler, eine Aufgabe zur Bank.
- Größen und MessenFlächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez und KreisVerschiebe Teilstücke und sieh, warum der Flächeninhalt eines Parallelogramms Grundseite mal Höhe ist, warum das Dreieck die Hälfte davon ist, ergänze ein Trapez mit einer Kopie seiner selbst, schätze den Flächeninhalt eines Kreises und zerlege regelmäßige Vielecke.
- Größen und MessenVolumen eines QuadersBaue Kisten aus Einheitswürfeln, zähle die Würfel Schicht für Schicht und erkenne, warum das Volumen eines Quaders Länge mal Breite mal Höhe ist.
- Größen und MessenKreissektor, Bogen und SegmentEin Kreissektor ist α/360° eines Kreises: Berechne Bogenlänge und Flächeninhalt, bestimme den Winkel aus der Bogenlänge und berechne den Flächeninhalt eines Kreissegments.
- GeometrieWinkel an ParallelenZiehe und drehe zwei Parallelen mit einer Geraden, die beide schneidet, und sieh, welche Winkel immer gleich groß bleiben, welche sich zu 180° ergänzen und was passiert, wenn die Geraden nicht parallel sind. Mit einer Hilfsparallele begründest du dann die Winkelsumme im Dreieck.
- GeometrieZusatz: ParkettierungenLege Kopien eines regelmäßiges Vielecks um einen Punkt und finde heraus, welche ohne Lücken und Überlappungen passen, warum das regelmäßige Fünfeck eine Lücke lässt und wie du mit zwei Sorten von Vielecken parkettierst.
- GeometrieZusatz: Regelmäßige Polyeder und SchnitteDrehe die regelmäßiges Polyeder (regelmäßigen Polyeder), zähle ihre Flächen, Ecken und Kanten und entdecke V − E + F = 2. Schneide dann einen Würfel mit einem Messer und finde heraus, welche Formen ein Querschnitt haben kann.
- AlgebraRechenreihenfolge, Variablen und FormelnTerme Schritt für Schritt in der richtigen Reihenfolge berechnen. Dann eine Variable für eine Zahl einsetzen, Wertetabellen anlegen und Formeln verwenden.
- AlgebraTerme gliedern und RechenreihenfolgeDie Hauptoperation eines Terms benennen, die Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge ausführen und mit Klammern den Wert verändern.
- Funktionen und GraphenGraphen im Alltag, Geschwindigkeit und WachstumLies ein Weg-Zeit-Diagramm auf Pausen und Geschwindigkeiten, skizziere den Graphen eines Spaziergangs, ordne einer Flasche beim Befüllen den Graphen zu, vergleiche Verdopplung mit gleichmäßigem Wachstum, vergleiche zwei Tarife und erkenne irreführende Achsen.
- StatistikStängel-Blätter-Diagramme und ZeitreihenSchreibe Daten in ein Stängel-Blätter-Diagramm und lies es ab. Zeichne dann eine Zeitreihe als Liniendiagramm und glätte sie mit einem gleitenden Durchschnitt.
- WahrscheinlichkeitZufallsexperimente: relative Häufigkeit und theoretische WahrscheinlichkeitDrehe ein Glücksrad, wirf einen Kronkorken und würfle: 10-mal, 100-mal, 1000-mal. Sieh, wie sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit nähert.
- Zahlen und StellenwerteZusatz: nicht in deinen SchulbüchernNatürliche Zahlen und ZahlenstrahlFinde den Vorgänger einer Zahl, erkenne, dass es keine größte natürliche Zahl gibt, markiere eine Zahl am Zahlenstrahl und lies eine Skala ab.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernDie Strecke, ihre Länge und die GeradeVergleiche Strecken, indem du eine auf die andere legst, bestimme die Länge von [AB] aus zwei Teilen, miss den Abstand zwischen Punkten und finde heraus, wie viele Geraden durch zwei Punkte gehen.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernVielecke, deckungsgleiche Figuren, Flächeninhalt, Ar und HektarBenenne ein Vieleck mit seinen Ecken, finde die deckungsgleiche Figur durch Aufeinanderlegen, erkenne den Unterschied zwischen deckungsgleichen und flächengleichen Figuren und rechne den Flächeninhalt eines Feldes in Hektar um.
- Lage und RichtungZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSpiegelung und DrehungSpiegle eine Figur an einer senkrechten Geraden, an einer schrägen Geraden und an der x-Achse, ergänze eine Figur aus ihrer Hälfte, drehe Figuren um verschiedene Punkte und bestimme die Koordinaten eines Bildpunkts.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernFormeln, Gleichungen und die Lösung einer GleichungDie Formel für Weg, Geschwindigkeit und Zeit anwenden, den unbekannten Teil einer Rechnung finden (Umkehraufgabe), eine Lösung durch Einsetzen prüfen, Terme mit Umkehrzeichen umformen und erkennen, wann ax = b keine Lösung hat.
Klasse 6
24
- Zahlen und StellenwerteRationale Zahlen: Ordnen und die vier RechenartenLege negative Brüche und Dezimalzahlen auf eine Zahlengerade, vergleiche sie und addiere und multipliziere sie als Verschiebung und als Streckung.
- Zahlen und StellenwerteDas Sieb des Eratosthenes für PrimzahlenSchreibe die Zahlen von 1 bis 50 auf und streiche Vielfache, bis nur noch die Primzahlen übrig sind, und finde heraus, wo man aufhören darf.
- Zahlen und StellenwertePotenzen, Vorzeichen und WachstumRechne Terme mit Potenzen in der richtigen Reihenfolge, unterscheide (–3)² und –3², lerne Quadratzahlen bis 400 und sieh, warum wiederholtes Verdoppeln so schnell groß wird.
- Zahlen und StellenwertePotenzgesetze, Exponent null und negative ExponentenSchreibe Potenzen als Faktoren an einen Bruchstrich: Multiplizieren heißt, die Faktoren zusammenzuschreiben, Dividieren heißt, gleiche Faktoren oben und unten zu kürzen. Sieh, warum a⁰ = 1 ist und warum ein negativer Exponent einen Bruch bedeutet.
- Zahlen und StellenwerteDivision mit Rest, Teilbarkeit durch 9 und 3Finde heraus, warum der Rest kleiner als der Divisor ist, bestimme den Dividenden mit Dividend = Divisor · Quotient + Rest und prüfe die Teilbarkeit durch 9 und 3 mit der Quersumme.
- BrücheGemischte Zahlen multiplizieren und dividierenSieh an Streifen, wie das Multiplizieren und Dividieren von gemischten Zahlen funktioniert und welche Rechenart in einer Rechnung zuerst kommt.
- BrücheDezimalbrüche dividieren, periodische DezimalbrücheVerwandle eine Division mit Dezimalbrüchen in eine Division ganzer Zahlen, rechne weiter, bis sich Ziffern wiederholen, und schreibe einen periodischen Dezimalbruch als Bruch.
- BrücheDoppelbrücheEin Bruch, dessen Zähler oder Nenner selbst ein Bruch ist: Teile einen Bruch am Streifen, zähle Brüche in Brüchen und dividiere mit dem Kehrwert.
- BrücheUnechte Brüche, das Ganze aus dem Teil, Prozentsatz, gerundeter DezimalbruchZeige einen unechten Bruch an Streifen, finde das Ganze aus dem Wert eines Teils oder einer Prozentangabe, berechne den Prozentsatz zweier Zahlen und runde einen Bruch auf Hundertstel.
- Verhältnisse und ProportionalitätVerhältnis und Aufteilen im VerhältnisErkenne an zweifarbigen Streifen, was 2 : 3 bedeutet, kürze Verhältnisse und teile eine Menge im gegebenen Verhältnis auf.
- Verhältnisse und ProportionalitätProzentuale ÄnderungRechne mit vermehrtem und vermindertem Grundwert: Der Anfangswert ist immer der Balken für 100 %, und eine Änderung ist ein Faktor. Löse auch Aufgaben, bei denen der ursprüngliche Preis gesucht ist.
- GeometrieDreiecksungleichung; Seitenhalbierende, Höhen, WinkelhalbierendeBaue ein Dreieck aus drei Stäben und finde heraus, bei welchen drei Längen ein Dreieck entsteht und bei welchen nicht. Prüfe dann Seitenhalbierende, Höhe und Mittelsenkrechte an einem Dreieck, das du selbst verformst, und sieh, wo sich die drei Seitenhalbierenden immer treffen.
- GeometrieKongruente Figuren und kongruente DreieckeVerschiebe, drehe und spiegle eine Figur auf eine andere. Ordne dann die entsprechenden Eckpunkte zweier Dreiecke zu, wähle den Kongruenzsatz, schreibe einen Beweis Zeile für Zeile und ziehe ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass SSW kein Kongruenzsatz ist.
- GeometrieBegründen und Beweisen in der GeometrieZiehe an einem gleichschenkligen Dreieck und sieh, dass die Basiswinkel immer gleich bleiben. Beweise es dann mit Begründungen, nutze es in einem neuen Beweis und zeige mit einem Gegenbeispiel, dass eine andere Behauptung falsch ist.
- GeometrieZusatz: Sätze im rechtwinkligen DreieckIn einem rechtwinkliges Dreieck mit einem 30°-Winkel ist die Seite gegenüber halb so lang wie die Hypotenuse. Auch die Seitenhalbierende zur Hypotenuse ist halb so lang wie sie. Du siehst beide Sätze, beweist einen und wendest sie an.
- GeometrieGrundtatsachen, Strecken und SätzeErkenne, dass durch zwei Punkte genau eine Gerade geht und dass AB = AC + CB gilt, finde den Mittelpunkt einer Strecke und unterscheide einen Satz von seiner Umkehrung.
- GeometrieAußenwinkel, Seiten und Winkel, rechtwinklige DreieckeEntdecke, dass ein Außenwinkel so groß ist wie die Summe zweier Innenwinkel, dass dem größeren Winkel die größere Seite gegenüberliegt, und nutze die Kongruenzsätze für rechtwinklige Dreiecke.
- GeometrieSenkrechte und Parallele durch einen Punkt, Konstruktion aus AngabenKonstruiere von einem Punkt außerhalb einer Geraden die senkrecht und die parallel. Konstruiere dann eine Raute und ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Zirkel und überlege dir vorher in einer Planfigur, wo die Eckpunkte liegen.
- GeometrieThaleskreis, Umkreis und TangenteBeweise den Satz des Thales und seine Umkehrung, finde den Umkreis eines Dreiecks und konstruiere eine Tangente mit dem Thaleskreis.
- GeometrieSatz, Kehrsatz und BeweisZerlege einen Satz in Voraussetzung und Behauptung, bilde den Kehrsatz und widerlege ihn mit einem Gegenbeispiel, beweise und nutze den Satz des Pythagoras.
- StatistikGrundgesamtheit, Stichprobe und Daten erhebenZiehe zufällige Stichproben mit 10 und mit 50 Kindern aus einer Schule mit 600 Kindern und vergleiche sie mit der ganzen Schule. Erkenne eine verzerrte Stichprobe und wähle für jede Frage die passende Art, Daten zu erheben.
- StatistikDaten kritisch lesenVergleiche Gruppen, erkenne den Simpson-Effekt, beurteile Stichproben und unterscheide Prozent von Prozentpunkten sowie Korrelation von Ursache.
- WahrscheinlichkeitErgebnisraum, zusammengesetzte Ereignisse und GegenereignisSchreibe alle Ergebnisse von Münze und Glücksrad, zwei Münzen und zwei Würfeln auf. Finde die günstigen Felder in einer 6 · 6-Tafel und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass etwas nicht eintritt, aus der Wahrscheinlichkeit, dass es eintritt.
- Sachaufgaben und ProblemlösenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernProblemlösen: Strategien in Klasse 7Übe das systematische Auflisten, Teilprobleme und einfachere Aufgaben an Sachaufgaben mit Geld und größeren Zahlen.
Klasse 7
41
- Zahlen und StellenwerteSubtraktion einer negativen ZahlSchreibe jede Subtraktion als Addition der Gegenzahl, sieh die Subtraktion einer negativen Zahl an der Zahlengerade und rechne zweistellige Zahlen getrennt nach Zehnern und Einern.
- Zahlen und StellenwerteRationale Zahlen dividierenFinde den Kehrwert einer rationalen Zahl und verwandle Divisionen mit Vorzeichen in Multiplikationen. Erkenne, warum eine Division durch null keinen Sinn ergibt.
- Zahlen und StellenwerteWurzeln abschätzen und irrationale Zahlen auf dem ZahlenstrahlSchließe eine Quadratwurzel zwischen ganzen Zahlen ein, grenze sie auf Zehntel und Hundertstel ein, indem du quadrierst, und ordne rationale und irrationale Zahlen auf der Zahlengeraden ein.
- Zahlen und StellenwerteNäherungswerte und FehlerAbsoluten und relativen Fehler bestimmen, die Genauigkeit von Messungen vergleichen und den Fehler einer Summe abschätzen.
- Zahlen und StellenwerteHeron-Verfahren und irrationale ZahlenBerechne eine Wurzel näherungsweise mit dem Heron-Verfahren (ein Rechteck wird zum Quadrat) und beweise indirekt, dass √2 kein Bruch ist.
- RechnenRechengesetze und RechenvorteileNutze Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz für Rechenvorteile und vereinfache Terme mit rationalen Zahlen.
- BrücheGemischte Zahlen subtrahieren, Rechnen mit BrüchenSubtrahiere gemischte Zahlen, löse bei Bedarf ein Ganzes auf, berechne Terme mit Doppelbrüchen und rechne ein Rezept hoch.
- Verhältnisse und ProportionalitätVergrößern und ähnliche FigurenVergrößere eine Figur mit einem bekannten Faktor, finde ähnliche Figuren, lies den Streckungsfaktor ab und zeichne eine ähnliche Figur.
- Verhältnisse und ProportionalitätProportionalität und ihre GraphenFülle Wertetabellen aus, zeichne die Punkte, finde den Proportionalitätsfaktor k aus einem Punkt und erkenne, ob ein Graph direkt proportional, antiproportional oder quadratisch ist.
- Verhältnisse und ProportionalitätExtra: zusammengesetzter DreisatzBeim zusammengesetzter Dreisatz ändern sich drei Größen zugleich. Ändere in der Tabelle immer nur eine Größe und entscheide, ob die Änderung direkt oder indirekt proportional ist.
- Verhältnisse und ProportionalitätÄhnliche Figuren: Länge, Flächeninhalt und VolumenWird eine Figur mit dem Streckungsfaktor k vergrößert, werden die Längen k-mal, die Flächeninhalte k²-mal und die Volumina k³-mal so groß. Finde mit der Verhältnistabelle die unbekannte Größe.
- GeldZinsen und WertverlustVerfolge Ersparnisse Jahr für Jahr: Bei einfachen Zinsen kommt jedes Jahr derselbe Betrag dazu. Rechne Monats- und Tageszinsen, finde das Kapital aus den Zinsen und sieh, wie etwas jedes Jahr an Wert verliert.
- Größen und MessenFlächeninhalt von Raute und KreisFinde den Flächeninhalt einer Raute mit vier Dreiecken und mit ihren Diagonalen, erkenne, dass die Raute halb so groß ist wie das Rechteck um sie herum, und berechne den Flächeninhalt eines Kreises aus seinen Kreissektoren und mit der Formel π · r · r.
- GeometrieSatz des Pythagoras und seine UmkehrungZeichne Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und vergleiche ihre Flächeninhalte, sieh mit vier Kopien des Dreiecks, warum der Satz stimmt, berechne eine fehlende Seite, prüfe mit der Umkehrung auf einen rechten Winkel und trage √2 mit dem Zirkel auf dem Zahlenstrahl ab.
- GeometrieStrahlensätze und ähnliche DreieckeVerschiebe eine Parallele zu einer Dreiecksseite und sieh, dass die Verhältnisse auf den beiden anderen Seiten immer gleich bleiben. Probiere dann die Umkehrung, ähnliche Dreiecke und Streckungsfaktoren aus.
- GeometrieRegelmäßige Vielecke und der Ankreis eines DreiecksBestimme Seitenlänge und Inkreisradius eines regelmäßigen Vielecks aus dem Radius des Um- oder Inkreises sowie den Radius des Ankreises eines Dreiecks.
- GeometrieVerhältnisse, Höhensatz und KathetensatzAddiere bei einer Verhältnisgleichung Nenner und Zähler, entdecke den Höhensatz und berechne mit dem Kathetensatz die Länge einer Kathete.
- GeometrieStreckung im KoordinatensystemBerechne Bilder von Punkten und Geraden bei einer zentrischen Streckung mit der Vektorvorschrift, bestimme k und finde den Schwerpunkt eines Dreiecks.
- Lage und RichtungKongruenzabbildungen und zentrische StreckungFinde heraus, welche Abbildungen Längen, Winkel und Umlaufsinn erhalten, strecke eine Figur von einem Zentrum Z aus mit dem Faktor 2 und 12, finde das Zentrum einer Streckung und erkenne, auf das Wievielfache der Flächeninhalt wächst.
- Muster und FolgenDas n-te Folgenglied und geometrische FolgenLege aus einem Streichholzmuster eine Tabelle an, finde das n-te Folgenglied und berechne damit Figur 20, ohne sie zu zeichnen. Danach lernst du Folgen kennen, die jedes Mal mit einer Zahl multipliziert werden.
- Muster und FolgenGraph einer Folge, monoton und beschränktZeichne eine Folge als Punkte (n | a_n): Eine arithmetische liegt auf einer Geraden, eine geometrische auf einer Kurve. Entscheide dann, ob eine Folge immer wächst und ob sie unter einer Schranke bleibt.
- AlgebraTerme aufstellen, vereinfachen und Termwerte berechnenTerme mit Plättchen aufbauen, gleichartige Terme zusammenfassen, Nullpaare wegnehmen und einen Wert für x einsetzen.
- AlgebraLineare Gleichungen an der Waage lösenEine Gleichung ist eine Waage. Probiere Werte aus und löse dann Gleichungen mit x auf einer oder beiden Seiten, mit Brüchen und mit Klammern, indem du auf beiden Waagschalen dasselbe tust. Prüfe mit der Probe und erkenne Gleichungen ohne oder mit allen Lösungen.
- AlgebraGleichungen aus Textaufgaben aufstellen und lösenDie Unbekannte durch eine Variable beschreiben, den Text in eine Gleichung übersetzen, sie lösen und die Lösung am Text prüfen (Probe und Antwortsatz).
- AlgebraLineare GleichungssystemeDen Punkt finden, der zu zwei Gleichungen zugleich passt: am Schnittpunkt der Geraden ablesen, die zweite Gerade zeichnen, mit dem Additionsverfahren eine Variable eliminieren, parallele und zusammenfallende Geraden erkennen und dort rechnen, wo die Zeichnung nur einen Schätzwert liefert.
- AlgebraUngleichungen mit zwei Variablen und LösungsbereicheEine Randgerade zeichnen, durchgezogen oder gestrichelt wählen, einen Punkt testen und den Lösungsbereich einfärben; dann den Bereich finden, der zwei oder drei Ungleichungen zugleich erfüllt.
- KoordinatengeometrieSteigung, y-Achsenabschnitt und y = mx + tMiss mit einem Steigungsdreieck, wie steil eine Gerade ist, stelle m und t mit Schiebereglern ein, zeichne eine Gerade aus einer Wertetabelle und finde die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte.
- Funktionen und GraphenSchreibweise f(x), Definitionsmenge und WertemengeBerechne Funktionswerte f(x) aus dem Funktionsterm, finde die Stelle zu einem Funktionswert, gib die Definitionsmenge eines Bruchs und einer Wurzel an und lies die Wertemenge am Graphen ab.
- Funktionen und GraphenDie lineare Funktion: Term, Wertetabelle, GraphGib eine Funktion durch Term, Wertetabelle und Graph an, zeichne eine Gerade aus m und t, finde die Nullstelle und die Stellen, an denen die Funktionswerte positiv sind.
- Funktionen und GraphenWachstum und Zerfall: B(t) = B₀ · q^tUnterscheide lineare, quadratische und exponentielle Wertetabellen, bestimme Verdopplungszeit und Halbwertszeit mit dem Logarithmus und erkenne die Grenzen eines exponentiellen Modells.
- Funktionen und GraphenExtremwertprobleme ohne AbleitungStelle die Zielfunktion für ein eingezäuntes Rechteck, ein Rechteck im Dreieck und einen Quader auf und lies den größten Wert am Scheitel oder in einer Wertetabelle ab. Gib die Definitionsmenge der Variablen an.
- StatistikAusreißer und der Vergleich zweier DatensätzeVergleiche die Standweitsprünge zweier Klassen mit einem Mittelwert und der Spannweite, ziehe einen Wert weit nach außen und beobachte, wie sich Mittelwert, Zentralwert und Spannweite verhalten. Entscheide dann, ob ein Ausreißer ein Fehler oder echt ist.
- StatistikExtra: mittlere absolute AbweichungSieh dir den Abstand jedes Punktes vom Mittelwert an, bilde den Durchschnitt dieser Abstände, finde heraus, warum Differenzen mit Vorzeichen immer null ergeben, und vergleiche zwei Datensätze nach ihrer Streuung.
- StatistikProzent in Statistik und WahrscheinlichkeitSchreibe das Ergebnis einer Umfrage in Prozent, bestimme den Prozentsatz aus dem Winkel eines Kreisdiagramm-Sektors, zeichne ein Kreisdiagramm in Prozent und gib eine Wahrscheinlichkeit in Prozent an.
- WahrscheinlichkeitNäherung von π mit Zufallspunkten und StreifenZähle Zufallspunkte im Viertelkreis, um π zu schätzen, erkenne, wie die Streuung mit mehr Punkten abnimmt, und vergleiche mit der Streifenmethode.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernRolle, Dose und Schachtel: Volumen und OberflächeRolle ein Blatt zu einer Röhre und gib ihren Rauminhalt in Litern an, vergleiche den Blechbedarf von Dose und Schachtel und bestimme das Volumen einer offenen Schachtel.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernWinkel und Dreiecke mit Zirkel und Lineal konstruierenKonstruiere einen Winkel, der so groß ist wie ein gegebener, ein Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, aus einer Seite und zwei anliegenden Winkeln und ein rechtwinkliges Dreieck aus einer Kathete und der Hypotenuse.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernOrtslinien in Konstruktionsaufgaben: Punkt, Kreis, DreieckFinde den gesuchten Punkt als Schnittpunkt zweier Ortslinien. Drei Aufgaben: ein Punkt auf einer Geraden mit gegebenem Abstand von einer anderen Geraden, ein Kreis, der eine Gerade in einem gegebenen Punkt berührt, und ein Dreieck aus einer Seite und dem Umkreisradius.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernBeweis durch WiderspruchLerne, Sätze durch Widerspruch zu beweisen: Nimm an, die Behauptung sei falsch, folgere einen Widerspruch und schließe daraus, dass die Behauptung stimmt.
- StatistikZusatz: nicht in deinen SchulbüchernDaten erheben, Maßstab und LiniendiagrammeZähle die Antworten einer Umfrage in einer Strichliste, wähle einen guten Maßstab für eine Diagrammachse und lies ein Liniendiagramm mit den Temperaturen von 12 Monaten ab.
- Mengen und LogikZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGraphen: dominierende MengenPlatziere Stationen so, dass jeder Punkt der Karte abgedeckt ist, und finde die kleinste Anzahl, die genügt: die Dominierungszahl des Graphen.
Klasse 8
47
- Zahlen und StellenwerteWurzelterme und teilweises RadizierenZerlege den Radikanden in Primfaktoren und ziehe jedes Paar vor die Wurzel: √12 = 2√3. Multipliziere Wurzeln, addiere gleichartige Wurzeln und mache zum Schluss, für Neugierige, den Nenner rational.
- Zahlen und StellenwerteWurzelgesetze, Potenzen mit rationalen Exponenten und WurzelgleichungenBestimme die Wurzel eines Quotienten und die Wurzel einer Wurzel, vergleiche Wurzeln verschiedener Grade und löse eine Wurzelgleichung durch Quadrieren, Probe und Substitution. Die Quadratwurzel aus Klasse 9 steht in einem anderen Studio.
- Zahlen und StellenwerteWurzeln: Quadratwurzel, dritte Wurzel und ihre VorzeichenZählen, wie viele Zahlen ein positives Quadrat haben, verstehen, warum eine negative Zahl keine Quadratwurzel, aber eine dritte Wurzel hat, und warum die Wurzel aus einem Quadrat der Betrag ist.
- GeldDarlehen: Ratentilgung und AnnuitätNimm ein Darlehen auf und beobachte, wie die Restschuld wächst und schrumpft: bei Tilgung in gleichen Anteilen der Schuld oder bei gleichen Raten. Vergleiche, was am Ende insgesamt gezahlt wird.
- Größen und MessenPyramiden, Kegel, Kugeln und zusammengesetzte KörperFülle eine Pyramide in ihr Prisma und eine Kugel in ihren Zylinder und sieh, woher 13 und 23 kommen. Klappe einen Kegel zu einem Kreissektor auf, bestimme seine Mantellinie mit dem Satz des Pythagoras und berechne Volumen und Oberflächeninhalt eines Turms.
- Größen und MessenBogenlänge, Sektorfläche und SegmentflächeBerechne die Länge eines Kreisbogens zum Winkel α, den Flächeninhalt eines Kreissektors und eines Kreissegments mit b = π · r · α / 180° und A = π · r² · α / 360°.
- GeometrieGerade und Kreis, Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel, TangentenSchiebe eine Gerade über einen Kreis und sieh, wann sie ihn schneidet, wann sie ihn nur berührt und wann sie ihn verfehlt. Bringe zwei Kreise zusammen, drehe eine Tangente um einen Kreis und sieh, dass der Umfangswinkel immer halb so groß ist wie der Mittelpunktswinkel.
- GeometrieUmkreis, Inkreis, Sehnenviereck und Streckenlängen am KreisKonstruiere Umkreis und Inkreis eines Dreiecks und sieh, wo ihre Mittelpunkte liegen. Ziehe dann an den Ecken eines Sehnenvierecks und prüfe zwei sich schneidende Sehnen: Welcher Zusammenhang bleibt immer wahr?
- GeometrieAnsichten von Würfelgebäuden und Pythagoras im RaumDrehe ein Würfelgebäude, erkenne seine Vorderansicht, Seitenansichten und Draufsicht und zeichne sie ins Gitter. Finde dann die Raumdiagonale eines Quaders, indem du den Satz des Pythagoras zweimal benutzt.
- GeometrieSymmetrie von Vielecken, Innen- und AußenwinkelZähle die Symmetrieachsen regelmäßiger Vielecke, berechne den Winkel an jeder Ecke und sieh, warum die Außenwinkel immer zusammen 360 Grad ergeben.
- GeometrieGeometrische Aufgaben lösen: Voraussetzung, Behauptung und PlanTrenne die Voraussetzung von der Behauptung, plane vor dem Beweis, finde den kürzesten Weg mit einer Senkrechten und dem Satz des Pythagoras und sieh Anwendungen am Kreis.
- GeometrieZylinder und Kegel: Grundflächen und NetzFinde die Grundflächen von Zylinder und Kegel und berechne die Mantelfläche eines Zylinders mit Hilfe seines Netzes.
- GeometrieÄhnlichkeit in der Praxis: Höhe aus dem Schatten, unzugängliche EntfernungVerwende ähnliche Dreiecke zum Messen im Gelände: die Höhe eines Baums aus seinem Schatten, eine Entfernung über einen Fluss und das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren. Schreibe die Lösungen als Gegeben, Gesucht, Lösung, Antwort auf.
- GeometrieWürfelgebäude: Baupläne und AnsichtenEinen Bauplan mit Höhen lesen, Ansichten von vorne und von oben zeichnen und herausfinden, wie viele Würfel ein Gebäude höchstens hat.
- AlgebraAusmultiplizieren und AusklammernEine Klammer als Rechteck sehen: durch Anmalen der Fläche mit Plättchen ausmultiplizieren und rückwärts die Seiten eines Rechtecks finden, also ausklammern.
- AlgebraBinomische Formeln und TermumformungenZwei Klammern als Rechteck aus Plättchen und in der Tabelle ausmultiplizieren, sehen, warum (a + b)² zwei Streifen ab hat, und eine Gleichung von einer allgemeingültigen Aussage unterscheiden.
- AlgebraUngleichungen, Intervalle und ihre LösungDie Lösungsmenge einer Ungleichung auf der Zahlengeraden darstellen: gefüllter oder leerer Kreis, Strecke oder Pfeil. Dann Ungleichungen lösen und verstehen, warum sich das Ungleichheitszeichen bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl umdreht.
- AlgebraPolynome: Normalform, Subtrahieren, MultiplizierenEin Polynom in Normalform schreiben, mit Klammern subtrahieren, drei Terme mit zwei Termen im Gitter multiplizieren und ein Produkt potenzieren.
- AlgebraGleichungen mit zwei Variablen und GleichungssystemeFinde die Zahlenpaare, die eine Gleichung mit zwei Variablen erfüllen, zeichne ihren Graphen, stelle aus einem Text ein Gleichungssystem auf und bestimme seine Lösung.
- AlgebraZahlenungleichungen und ihre EigenschaftenZahlen über das Vorzeichen der Differenz a − b vergleichen, Ungleichungen beweisen, Ungleichungen gliedweise addieren und den Wert eines Terms abschätzen.
- AlgebraParabel durch drei PunkteStelle ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen für a, b, c auf, löse es und prüfe die Parabel am Graphen.
- AlgebraÄquivalente Gleichungen, Bruchgleichungen und SachaufgabenÄquivalente Gleichungen und Scheinlösungen kennenlernen, eine Bruchgleichung mit Probe lösen und Gleichungen für Bewegungs- und Arbeitsaufgaben aufstellen.
- KoordinatengeometrieGeradengleichungen, parallele und senkrechte Geraden, Abstand und MitteForme die allgemeine Form einer Geraden in y = mx + t um, zeichne parallele und senkrechte Geraden, bestimme den Abstand zweier Punkte mit dem Satz des Pythagoras und die Streckenmitte als Mittelwert.
- Funktionen und GraphenGraphen von quadratische FunktionenFülle eine Wertetabelle für y = x2 − 2x − 3 auch mit negativen x aus und zeichne den Graphen, erkenne, warum die Parabel unten rund ist, lies Lösung der Gleichungn, y-Achsenabschnitt und Scheitelpunkt ab und sieh, was a in y = ax2 bewirkt.
- Funktionen und GraphenExponentialfunktionen b · a^x und einfache ExponentialgleichungenFülle eine Wertetabelle von 2^x aus, sieh, dass eine Basis über 1 eine steigende Kurve und eine Basis zwischen 0 und 1 eine fallende Kurve ergibt, erkunde den Einfluss des Faktors b, lies den y-Achsenabschnitt ab und löse eine Exponentialgleichung, indem du beide Seiten als Potenz derselben Basis schreibst.
- Funktionen und GraphenVerschobene HyperbelnVerschiebe die Hyperbel mit b und c, lies Asymptoten, D und W ab und berechne den y-Achsenabschnitt.
- Funktionen und GraphenGeraden- und ParabelscharenVerschiebe den Parameter einer Schar, finde den Trägergraphen der Scheitelpunkte und löse das Tangentialproblem mit der Diskriminante.
- Funktionen und GraphenDie Funktionen y = k/x und y = √x und ihre GraphenZeichne eine Hyperbel aus einer Wertetabelle, finde heraus, in welchen Quadranten ihre Äste liegen, bestimme k aus einem Punkt und zeichne y = √x.
- Funktionen und GraphenDie Funktion y = x² und ihr GraphLege eine Wertetabelle für y = x² an, zeichne die Punkte, lerne die Eigenschaften des Graphen kennen und löse x² = 4 und x² = x + 2 am Graphen.
- Funktionen und GraphenFunktionsfamilien und ihre ParameterVerschiebe Potenz- und Exponentialfunktionen mit Schiebereglern, lies Definitionsmenge, Wertemenge und Asymptote ab, finde die Umkehrfunktion als Spiegelung und ordne einem Graphen seinen Term zu.
- VektorenGerichtete Strecken, Vektoren und VerschiebungsvektorenZeichne Vektoren vom Anfangspunkt zum Endpunkt und lies sie als Spaltenvektoren ab, finde gleiche und entgegengesetzte Vektoren, verschiebe eine Figur um einen Vektor und berechne Betrag und Mittelpunkt.
- StatistikKorrelation und RegressionsgeradeLies die Stärke einer Korrelation an r ab, finde den Mittelwertpunkt, lege die Regressionsgerade mit Steigung und y-Achsenabschnitt fest und sage innerhalb der Daten voraus.
- WahrscheinlichkeitBaumdiagramme, Zählprinzip und PfadregelnZeichne Baumdiagramme, um Kleidungskombinationen und Platzierungen zu zählen, schreibe Wahrscheinlichkeiten an die Äste, multipliziere entlang eines Pfades, addiere Pfade und sieh, was sich ändert, wenn eine Kugel nicht zurückgelegt wird.
- Zahlen und StellenwerteZusatz: nicht in deinen SchulbüchernVerschachtelte Wurzeln: √(a ± 2√b)Eine Wurzel unter einer Wurzel beseitigen: Schreibe den Term als Quadrat einer Summe oder Differenz und finde die Zahlen aus ihrer Summe und ihrem Produkt.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernCeva, Menelaos, Ptolemäus und die Eulersche GeradeZusatzgeschichten aus der Geometrie: wann sich drei Ecktransversalen in einem Punkt schneiden, wann drei Punkte auf einer Geraden liegen, das Produkt der Diagonalen eines Sehnenvierecks und die Eulersche Gerade.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernDie Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: Seiten und WinkelErkenne ähnliche Dreiecke aus zwei Seitenverhältnissen und dem eingeschlossenen Winkel oder aus drei Seitenverhältnissen, berechne eine fehlende Seite und vermeide die Falle eines Winkels, der nicht zwischen den Seiten liegt.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSeitenhalbierende verdoppeln und der Satz von VarignonVerlängere eine Seitenhalbierende zu einem Parallelogramm und begründe eine Abschätzung für sie; verbinde die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks und sieh nach, welche Figur entsteht.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernFlächeninhalte von Dreiecken im VerhältnisVergleiche Flächeninhalte, ohne sie auszurechnen: Dreiecke mit gleicher Höhe verhalten sich wie ihre Grundseiten, eine Seitenhalbierende halbiert das Dreieck, und eine Ecke auf einer Parallelen ändert den Flächeninhalt nicht.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernWinkel zwischen Sehnen, Sekanten und einer TangenteEin Winkel, dessen Scheitel nicht auf dem Kreis liegt, wird an Bögen gemessen: zwischen zwei Sehnen die halbe Summe der Bögen, zwischen zwei Sekanten die halbe Differenz, zwischen Tangente und Sehne der halbe Bogen.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernZwei Kreise und ihre gemeinsamen TangentenDie Lage zweier Kreise hängt vom Abstand d der Mittelpunkte und von den Radien R und r ab: Verschiebe einen Kreis und sieh, wie viele gemeinsame Punkte und gemeinsame Tangenten es gibt.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernFormeln umstellenEinen Buchstaben in einer Formel allein auf eine Seite bringen: mit denselben Umformungen wie an der Waage, nur mit Buchstaben.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernRechnen mit Bruchtermen: Subtraktion, entgegengesetzte Nenner, Potenzen, IdentitätenBruchterme mit Vorzeichenwechsel subtrahieren, Erweiterungsfaktoren finden, entgegengesetzte Nenner umformen, einen Bruchterm potenzieren und Identitäten beweisen.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernBruchterme multiplizieren und dividierenBruchterme multiplizieren und dividieren: faktorisieren, kürzen, die Division in eine Multiplikation mit dem Kehrbruch umwandeln und angeben, welche Werte der Variablen nicht erlaubt sind (Definitionsmenge).
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGanzer Anteil eines Bruchs und Gleichungen in ganzen ZahlenSpalte bei einem Bruchterm den ganzen Anteil ab, bestimme letzte Ziffern und Reste von Potenzen mit Hilfe ihres Zyklus und löse Gleichungen in ganzen Zahlen.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernQuadratische Gleichung mit ParameterVerschiebe a und sieh, wie die Parabel steigt und fällt: Die Anzahl der Lösungen folgt der Diskriminante, die Vorzeichen der Lösungen folgen dem Satz von Vieta.
- Mengen und LogikZusatz: nicht in deinen SchulbüchernAussageformen, Teilmengen und MengengesetzeUnterscheide Aussagen und Aussageformen, bilde die Lösungsmenge einer Aussageform, zähle Teilmengen und prüfe das Distributivgesetz und das Absorptionsgesetz am Venn-Diagramm.
- Mengen und LogikZusatz: nicht in deinen SchulbüchernQuantoren, gültige Schlüsse und die Regeln von De MorganVerneine „alle“, zeichne „jedes Vielfache von 6 ist ein Vielfaches von 3“, unterscheide gültige und ungültige Schlüsse und nutze die De-Morgan-Regeln für Mengen.
Klasse 9
72
- Zahlen und Stellenwerten-te Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponentenn-te Wurzeln über Potenzen verstehen: gerade und ungerade Wurzelexponenten, Wurzeln multiplizieren, dann Potenzen wie 2713 und 823.
- Zahlen und StellenwerteDer Betrag reeller Zahlen und NäherungsrechnungSieh den Betrag als Abstand vom Nullpunkt, lerne die drei Fälle kennen, vergleiche |a + b| mit |a| + |b| und rechne mit genäherten Wurzeln.
- Zahlen und StellenwerteEigenschaften der QuadratwurzelWurzeln aus Quadraten, Produkten, Quotienten und Potenzen mit den Rechenregeln für Quadratwurzeln bestimmen; die n-ten Wurzeln folgen in einem eigenen Studio.
- GeometrieSehnen, Ortslinien und die vier Schritte einer KonstruktionErkenne, dass die Strecke vom Mittelpunkt zur Mitte einer Sehne senkrecht auf der Sehne steht, berechne den Abstand zu einer Sehne und zähle die Lösungen einer Konstruktion mit Ortslinien.
- GeometrieTangenten am Kreis und der WinkelhalbierendensatzBeweise, dass die beiden Tangenten von einem Punkt an einen Kreis gleich lang sind, und lerne, dass die Winkelhalbierende eines Dreiecks die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anderen Seiten teilt.
- GeometrieParallelogramm, Rechteck, Raute und QuadratLerne die Bestandteile eines Vierecks, die Eigenschaften und Kriterien des Parallelogramms und die Diagonalen von Rechteck und Raute kennen, wie im «Haus der Vierecke».
- GeometrieDas Trapez, seine Mittellinie, das Tangentenviereck und der FlächeninhaltLerne die Eigenschaften des gleichschenkligen Trapezes, die Mittellinie, die Bedingung für ein Viereck mit Inkreis und den Flächeninhalt eines Trapezes.
- GeometrieAbbildungen hintereinanderWende zwei Abbildungen nacheinander an, bestimme den Trägergraphen eines bewegten Punkts und achte auf die Reihenfolge.
- Lage und RichtungAbbildungen hintereinander ausführen, Symmetrie und SpiegeltrickLerne zwei Spiegelungen hintereinander, die Gleitspiegelung, die Symmetrieachsen eines Vielecks und den kürzesten Weg mit Hilfe einer Spiegelung kennen.
- AlgebraQuadratische Terme faktorisieren und weitere FormelnPlättchen zu einem Rechteck anordnen, um seine zwei Klammern zu finden, Nullpaare für negative Zahlen nutzen, zuerst einen gemeinsamen Faktor ausklammern und die Summe von Kubikzahlen kennenlernen.
- AlgebraBruchtermeZähler und Nenner eines Bruchterms faktorisieren und nur ganze Faktoren kürzen. Die Zahlen finden, die für x nicht erlaubt sind (Definitionsmenge), und Bruchterme addieren, subtrahieren und dividieren.
- AlgebraAusklammern mit Gruppieren und KubikzahlenEinen Term mit vier Summanden durch Gruppieren faktorisieren, Summen und Differenzen von Kubikzahlen zerlegen und entscheiden, womit man beginnt, wenn mehrere Verfahren passen.
- AlgebraQuadratische Gleichungen: Faktorisieren, quadratische Ergänzung, LösungsformelQuadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen, mit Plättchen quadratisch ergänzen, mit der Diskriminante die Anzahl der Lösungen bestimmen und den Extremwert eines quadratischen Terms finden.
- AlgebraPolynome und PolynomdivisionVertiefung: Grad und Normalform eines Polynoms, dann Polynomdivision durch rückwärts ausgefülltes Multiplikationsgitter, mit Rest und mit fehlenden Potenzen.
- AlgebraVorzeichentabellen und BruchungleichungenBestimmen, wo ein Term positiv und wo negativ ist: Nullstellen markieren, unter der Zahlengeraden eine Vorzeichentabelle ausfüllen und die Lösungsmenge einer Ungleichung wie x − 1x + 2 ≥ 0 ablesen.
- AlgebraSysteme linearer UngleichungenJede Ungleichung eines Systems lösen, die Lösungsmengen auf der Zahlengeraden darstellen und ihre Schnittmenge bestimmen: ein Intervall, eine einzige Zahl oder die leere Menge.
- AlgebraNichtlineare Gleichungssysteme mit zwei VariablenDie Lösungen eines Systems mit einer quadratischen Gleichung als gemeinsame Punkte der Graphen finden, mit dem Einsetzungsverfahren rechnen und aus einer Sachaufgabe ein System aufstellen.
- AlgebraGleichungssysteme: EinsetzungsverfahrenSetze den Term für eine Unbekannte in die andere Gleichung ein, achte auf die Klammer, löse zuerst nach einer Variablen auf und prüfe das Ergebnis am Graphen und in beiden Gleichungen.
- AlgebraBruchgleichungen und WurzelgleichungenGleichungen mit Brüchen und Gleichungen mit Quadratwurzeln lösen und Scheinlösungen durch die Probe aussortieren.
- AlgebraSumme und Produkt der Lösungen, versteckte quadratische Gleichungen, Gerade und ParabelSumme und Produkt der Lösungen aus den Koeffizienten ablesen, eine Gleichung vierten Grades durch Substitution lösen und die Schnittpunkte von Gerade und Parabel finden.
- AlgebraLinearfaktoren, Nullstellen und Satz vom RestEinen Rest ohne Division bestimmen, mit dem Linearfaktor-Kriterium einen Faktor erkennen, die Nullstellen einer kubischen Gleichung finden und Koeffizienten aus den Nullstellen ablesen.
- AlgebraQuadratische Ungleichungen und ParameterQuadratische Ungleichungen über die Vorzeichen der Faktoren lösen und sehen, wie ein Parameter die Frage „Wie viele Lösungen?“ in eine Ungleichung verwandelt.
- AlgebraReinquadratische Gleichungen und Zerlegung in LinearfaktorenDie drei Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen lösen (Lösungsmenge L), die Nullstellen eines quadratischen Terms bestimmen und den Term mit seinem Faktor a in Linearfaktoren zerlegen.
- AlgebraTextaufgaben mit GleichungssystemenÜbersetze Aufgaben zu Bewegung, Arbeit, Ziffern und Rechtecken in Gleichungen: Lege die Unbekannten x und y fest, stelle das Gleichungssystem auf, löse es und prüfe, ob das Ergebnis zur Aufgabe passt.
- AlgebraVorzeichenwechsel und Intervalle bei Produkten und BrüchenMarkiere die Nullstellen auf der Zahlengeraden, setze in jeden Abschnitt ein Vorzeichen und lies die Lösung einer Ungleichung wie (x + 1)x − 4x − 2 ≤ 0 ab.
- KoordinatengeometrieTeilverhältnis und Abstand Punkt–GeradeBestimme den Punkt, der eine Strecke in einem gegebenen Verhältnis teilt, und berechne den Abstand eines Punkts von einer Geraden mit der Formel.
- KoordinatengeometrieFlächeninhalt eines Dreiecks aus KoordinatenBestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks aus den Koordinaten seiner drei Eckpunkte und löse geometrische Aufgaben im Koordinatensystem.
- KoordinatengeometrieDer Kreis: Gleichung, Gerade und Kreis, TangenteStelle die Gleichung eines Kreises auf und lies sie ab, bestimme die gemeinsamen Punkte von Gerade und Kreis und rechne mit der Tangente und ihrer Länge.
- KoordinatengeometrieKegelschnitte und die ParabelErkenne die Parabel als Menge aller Punkte, die von einem Brennpunkt und einer Leitgeraden gleich weit entfernt sind, und lies ihre Gleichung mit dem Scheitel im Ursprung und an beliebiger Stelle ab.
- KoordinatengeometrieGerade und Achsen: Dreieck, Umfang und FlächeninhaltFinde die Schnittpunkte einer Geraden ax + by = c mit den Achsen, Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks, das sie abschneidet, und den Schnittpunkt zweier Geraden.
- KoordinatengeometrieFlächeninhalt mit DeterminantenBerechne Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken aus Vektoren und Koordinaten mit der zweireihigen Determinante.
- Funktionen und GraphenBetragsfunktion und GaußklammerBetrag in der Wertetabelle und im Graphen, eine Betragsgleichung als zwei Schnittpunkte mit einer Geraden, die Stufen der Gaußklammer (Abrundungsfunktion) ablesen und einen Taxitarif zeichnen, der in Stufen steigt.
- Funktionen und GraphenMonotonie und Symmetrie von FunktionenFinde die Intervalle, auf denen ein Graph steigt oder fällt, spiegle Punkte an der y-Achse und am Ursprung und prüfe mit f(–x), ob eine Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder keines von beiden ist.
- Funktionen und GraphenGraphen verschieben, spiegeln und streckenVerschiebe den Graphen von f(x) = (x − h)² + k mit Reglern, lies den Scheitelpunkt einer Parabel ab, sieh, wohin der Punkt bei f(2x) wandert, und kombiniere mehrere Abbildungen an einer Parabel.
- Funktionen und GraphenQuadratische Funktionen und ihre EigenschaftenBerechne den Scheitelpunkt einer Parabel, lies Wertemenge und Monotonie ab, stelle eine Parabelgleichung auf, wechsle zwischen den drei Formen und löse ein Extremwertproblem.
- Funktionen und GraphenEigenschaften einer Funktion am Graphen ablesenLies am Graphen einer Funktion auf [–4; 7] die Nullstellen, die Bereiche mit gleichem Vorzeichen, ein Intervall mit steigendem Verlauf und den größten Funktionswert ab.
- Funktionen und GraphenGraphen von y = ⁿ√x und Potenzen mit rationalem ExponentenVergleiche die Graphen von ³√x, ⁴√x und √x, bestimme die Definitionsmenge einer n-ten Wurzel und einer Potenz mit rationalem Exponenten und vergleiche Zahlen mit Hilfe der Monotonie.
- Funktionen und GraphenGanzrationale Funktionen: Ränder, Nullstellen, TermeLies das Randverhalten aus Grad und Leitkoeffizient, unterscheide einfache und doppelte Nullstellen, löse eine biquadratische Gleichung und bestimme einen Term aus dem Graphen.
- Funktionen und GraphenGebrochen-rationale FunktionenUnterscheide Polstelle und hebbare Lücke, lies Grenzwerte ab, bestimme Asymptoten und stelle einen Term aus Eigenschaften auf.
- VektorenVektoren addieren, vervielfachen und EinheitsvektorenAddiere Vektoren (Pfeil an Pfeil und mit dem Parallelogramm), subtrahiere einen Vektor von einem anderen, strecke und drehe einen Vektor mit einer Zahl und schreibe jeden Vektor mit i und j.
- VektorenExtra: Vektoren in BewegungAddiere die Bewegungen eines Roboters zu einer einzigen Bewegung, schicke ihn mit dem Gegenvektor nach Hause und sieh, wie die Strömung eines Flusses den Weg einer Schwimmerin verändert.
- VektorenVektoren in der Ebene: Koordinaten, Betrag, SkalarproduktBestimme die Koordinaten und den Betrag eines Vektors, das Skalarprodukt mit Koordinaten und mit dem Winkel, die Bedingung für orthogonale Vektoren und den Winkel zwischen zwei Vektoren.
- TrigonometrieSinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen DreieckVergrößere und verkleinere ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 35° und sieh: Die Seiten ändern sich, ihr Verhältnis nicht. Benenne dann Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse für jeden Winkel, berechne mit dem Taschenrechner Seiten und Winkel, entdecke sin²α + cos²α = 1 und löse eine Aufgabe zur Steigung einer Straße.
- TrigonometrieDie genauen Werte für 30°, 45° und 60°Halbiere ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat und finde so die genauen Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für 30°, 45° und 60°. Verbinde den Tangens mit der Steigung einer Geraden und löse eine Gleichung wie sin x = 12.
- TrigonometrieWinkel jeder Größe, Einheitskreis und BogenmaßDrehe einen Punkt um Winkel über 90° und auch um negative Winkel auf dem Einheitskreis, lies Sinus und Kosinus an seiner Lage ab, miss den Winkel im Bogenmaß und bestimme exakte Werte wie sin7π6.
- TrigonometrieGraphen von Sinus und KosinusLies die Graphen von Sinus und Kosinus im Bogenmaß ab: Nullstellen, Hochpunkt, Periode von sin 2x, die Gleichung sin x = 1/2 und der Zusammenhang cos x = sin(x + π/2).
- TrigonometrieSinussatz, Kosinussatz und Aufgaben im RaumBerechne maßstäblich gezeichnete Dreiecke mit dem Sinussatz und dem Kosinussatz. Bestimme dann mit rechtwinkligen Dreiecken einen Winkel im Quader.
- TrigonometrieFlächeninhalt von Dreiecken: Sinus, Heron und die KreiseBestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.
- TrigonometrieFolgerungen aus dem KosinussatzDie Art eines Dreiecks an der längsten Seite erkennen (spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig), die Diagonalen im Parallelogramm und eine Aufgabe, in der eine quadratische Gleichung eine Lösung liefert, die nicht passt.
- Trigonometrief(x) = a · sin(b · (x + c)) + dVerändere Amplitude, Mittellinie, Periode und Verschiebung der Sinuskurve, lies die Verschiebung in der Klammer richtig und nutze das Modell für die Gezeiten.
- StatistikMittelwert bei klassierten Daten und kumulierte HäufigkeitSchätze den Mittelwert klassierter Daten mit einer Spalte «Klassenmitte · Häufigkeit», fasse die Mittelwerte zweier Klassen richtig zusammen, bilde eine Spalte mit kumulierten Häufigkeiten samt Graph und lies den Zentralwert am Graphen ab.
- StatistikQuartile und BoxplotsTeile geordnete Daten in vier gleich große Teile, finde Q₁ und Q₃, trage die fünf Zahlen eines Boxplots ein und miss die mittlere Hälfte mit dem Quartilsabstand.
- StatistikVarianz, Standardabweichung und VariationskoeffizientMiss die Streuung mit den quadrierten Abständen vom Mittelwert: Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient, mit dem man Streuungen in verschiedenen Einheiten vergleicht.
- StatistikForm der Daten und NormalverteilungLies die Form eines Histogramms ab (symmetrisch oder schief), erkenne, wie die Schiefe den Mittelwert vom Median wegzieht, und nutze die σ-Regeln für glockenförmige Daten.
- WahrscheinlichkeitRegeln der Wahrscheinlichkeit, kontinuierliche Ergebnisse und erwartete AnzahlenAddiere die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen, die nicht gleichzeitig eintreten können, finde heraus, welche Listen Wahrscheinlichkeiten sein können, bestimme eine Wahrscheinlichkeit als Teil einer Länge und sage voraus, wie oft etwas eintritt.
- WahrscheinlichkeitBedingte WahrscheinlichkeitBerechne mit Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn du ein anderes schon kennst, erkenne, warum es auf die Reihenfolge der Bedingung ankommt, und lerne abhängige Ereignisse kennen.
- Mengen und LogikMengen: Elemente, Teilmengen, Vereinigung, Schnitt und KomplementSortiere Zahlenkarten in die Ovale eines Venn-Diagramms, schreibe Mengen in Mengenklammern, schraffiere Vereinigung, Schnitt und Differenz und zähle mit dem Diagramm.
- Mengen und LogikBeweisen: direkt, mit Fallunterscheidung, durch Widerspruch und durch InduktionBeweise mit Algebra, dass ungerade + ungerade gerade ist, prüfe eine Behauptung durch Fallunterscheidung, zeige durch Widerspruch, dass es keine größte gerade Zahl gibt, und mache den Induktionsschritt für die ungeraden Zahlen.
- Mengen und LogikGeordnete Paare, Relationen und ÄquivalenzMarkiere A · B als Punkte, wähle eine Relation aus, kehre sie um und sieh, warum „gleicher Rest“ eine Äquivalenzrelation ist.
- Mengen und LogikBeschreibende Mengenschreibweise und unendliche MengenKenne die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ, liste die Elemente einer Menge aus ihrer Bedingung auf, schreibe die Bedingung zu einer Menge und sieh, warum es „gleich viele“ gerade und natürliche Zahlen gibt.
- Mengen und LogikGraphen: Ecken, Kanten und GradLies einen Graphen ab: Bestimme den Grad jeder Ecke, vergleiche die Summe der Grade mit der Anzahl der Kanten und erkenne, warum manche Graphen nicht existieren können.
- MatrizenMatrizen: Format, Einträge und besondere MatrizenLies eine Matrix wie eine Tabelle: Finde einen Eintrag über Zeile und Spalte, gib ihr Format an und baue die Nullmatrix, die Einheitsmatrix und die Diagonalmatrix.
- MatrizenMatrizen addieren, vervielfachen, multiplizieren und transponierenAddiere und subtrahiere Matrizen gleichen Formats, multipliziere mit einer Zahl, multipliziere Zeile mal Spalte und mache aus Zeilen Spalten.
- MatrizenDeterminantenBerechne Determinanten von 2 · 2- und 3 · 3-Matrizen, finde heraus, was das Vertauschen von Zeilen bewirkt, und sieh, wie die Determinante Flächeninhalte verändert.
- MatrizenInverse Matrizen und Gleichungssysteme lösenFinde die inverse Matrix einer 2 · 2-Matrix mit der Determinante, bestimme eine 3 · 3-Inverse mit Zeilenumformungen und löse damit ein Gleichungssystem.
- Numerische VerfahrenGleichungen näherungsweise lösenSchließe eine Nullstelle einer Gleichung ohne Lösungsformel durch einen Vorzeichenwechsel ein, nähere dich ihr durch das Wiederholen einer Rechenvorschrift und werde mit dem Newton-Verfahren schneller.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernGenauigkeit: untere und obere GrenzeEin gerundeter Messwert liegt in Wirklichkeit in einem Bereich. Zeichne den Bereich und bestimme mit den Grenzen den größten und den kleinsten Wert einer Rechnung.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernRegelmäßige Vielecke: Winkel, Eckenzahl, KonstruktionBestimme die Eckenzahl eines regelmäßigen Vielecks aus seinem Winkel, prüfe, ob es existiert, und konstruiere ein Sechseck mit Sehnen der Länge r und ein 2n-Eck.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSachaufgaben: Mischungen, Legierungen und ProzenteLege für eine Lösung, eine Legierung und einen Preis eine Tabelle «vorher – nachher» an, wähle x passend zur Bedingung und prüfe, ob die Antwort zur Geschichte passt.
- VektorenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernEinen Vektor mit zwei anderen Vektoren darstellenJeden Vektor der Ebene kannst du aus zwei Vektoren aufbauen, die nicht auf einer Geraden liegen: p = x · a + y · b. Zeichne die Teile im Gitter, bestimme die Koeffizienten, schreibe AM im Parallelogramm auf und berechne die Länge einer Projektion.
- TrigonometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSinus, Kosinus und Tangens am EinheitskreisSinus und Kosinus an den Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis ablesen, Werte für stumpfe Winkel finden, Vorzeichen in allen vier Quadranten bestimmen und Winkel zu einem gegebenen Sinuswert angeben. Dazu gehört sin²α + cos²α = 1.
- Mengen und LogikZusatz: nicht in deinen SchulbüchernDie Summenregel und die ProduktregelAuf wie viele Arten kann man „a oder b“ und „a und b“ wählen: Summenregel, Produktregel, Paare (a; b), ein Wegeschema und Aufgaben mit Ziffern.
Klasse 10
10
- GeometrieSekanten und TangenteVon einem Punkt P außerhalb eines Kreises werden zwei Sekanten oder eine Sekante und eine Tangente gezeichnet. Die Produkte der Abschnitte stimmen überein: PA · PB = PC · PD und PT² = PA · PB.
- AlgebraWurzelungleichungen und äquivalente SystemeLöse Ungleichungen mit einer Quadratwurzel, indem du sie in ein äquivalentes System umformst und dabei die Definitionsmenge und das Vorzeichen der rechten Seite beachtest.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernPrismen: Aufgaben mit Winkeln und DiagonalenBestimme Höhe und Seitenkante eines geraden Prismas aus einer Diagonale und einem Winkel, berechne die Mantelfläche und gib Ergebnisse mit Wurzel an.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernPyramiden: Wohin die Spitze projiziert wirdEntscheide aus gleich langen Seitenkanten oder gleichen Neigungswinkeln, auf welchen Mittelpunkt der Grundfläche die Spitze projiziert wird, und bestimme dann Höhe und Mantelfläche.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernWiederholung: RaumgeometrieWähle den passenden nächsten Schritt eines Beweises über windschiefe Geraden und löse Aufgaben zum Winkel zwischen Geraden, zur Parallelprojektion und zu einem Lot auf eine Ebene.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernWo eine Gerade eine Ebene trifft, wo sich zwei Ebenen schneidenKonstruiere den Durchstoßpunkt einer Geraden mit der Grundebene eines Würfels und die Schnittgerade zweier Ebenen eines Tetraeders mit Hilfe der Grundtatsachen der Raumgeometrie.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernPunkt mit gleichem Abstand zu den Ecken oder Seiten eines VielecksHat ein Punkt M von allen Ecken eines Dreiecks denselben Abstand, ist sein Lotfußpunkt der Umkreismittelpunkt, bei gleichem Abstand zu den Seiten der Inkreismittelpunkt. Berechne den Abstand von M zur Ebene.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSymmetrie und Streckung im RaumBestimme das Spiegelbild eines Punktes an einer Ebene, überlege, wie ein Volumen bei einer Streckung wächst, und finde alle Symmetrieebenen eines Würfels und einer Kugel.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernVielflache, Netze und kürzeste WegeEntscheide, welche Vielflache konvex sind, verwende den Eulerschen Polyedersatz, klappe ein Prisma auf und finde den kürzesten Weg einer Spinne über einen Quader.
- TrigonometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSymmetrie und Rückführung auf spitze WinkelEntdecke, dass der Sinus punktsymmetrisch und der Kosinus achsensymmetrisch ist. Führe dann Winkel wie π + α oder π/2 + α auf einen spitzen Winkel zurück: Wann wechselt die Funktion, und welches Vorzeichen bekommt sie?
Klasse 11
76
- Zahlen und StellenwerteTeilbarkeit in den ganzen ZahlenDivision mit Rest, Eigenschaften der Teilbarkeit und der ggT zweier Zahlen als Vielfachsumme der beiden Zahlen.
- Zahlen und StellenwerteKongruenz modulo m: Rechnen mit RestenZahlen, die bei der Division durch m denselben Rest lassen, sind kongruent modulo m. Lerne, mit diesen Resten zu rechnen.
- Größen und MessenPrismen, Quader und Pyramiden: Eigenschaften, Schnitte, PyramidenstumpfBestimme eine Raumdiagonale, das Volumen eines schiefen Prismas, die Mantelfläche einer geraden Pyramide, das Volumen eines Pyramidenstumpfs und einen Schnitt durch eine Pyramide.
- Größen und MessenSchnitte an Zylinder, Kegel und KugelBestimme die Diagonale eines Achsenschnitts, den Radius einer Schnittfläche am Kegel, die Fläche des Achsenschnitts eines Kegels und den Radius eines Kugelschnitts.
- Größen und MessenVolumen von Körpern: AufgabenBestimme das Volumen eines Werkstücks aus dem Anstieg des Wassers, den Radius einer umgeschmolzenen Kugel und das Volumen eines Körpers, der durch Drehen eines Dreiecks oder Trapezes entsteht. Lass π in der Antwort stehen.
- GeometrieKegelschnitte: einen Kegel schneidenSchneide einen Kegel mit verschiedenen Ebenen und sieh, woher Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel kommen. Dann siehst du, was das Verhältnis der Abstände von einem Brennpunkt und von einer Leitlinie ergibt.
- GeometrieGeraden und Ebenen im RaumUntersuche an einem Quader, wie zwei Geraden im Raum liegen können: parallel, sich schneidend oder windschief. Betrachte dann Gerade und Ebene, eine Gerade senkrecht zu einer Ebene und den Winkel zwischen zwei windschiefen Geraden.
- GeometrieGrundtatsachen der Raumgeometrie und SchnitteLege eine Ebene durch drei Punkte, finde die Gerade, in der sich zwei Ebenen schneiden, erkenne eine Gerade, die zu einer Ebene parallel ist, und benenne die Form eines Schnitts durch einen Würfel.
- GeometrieParallele Ebenen, Projektion und SenkrechtePrüfe, ob zwei Ebenen parallel sind, vergleiche Strecken zwischen parallelen Ebenen, bestimme die Länge einer Parallelprojektion und den Abstand eines Punktes von einer Ebene.
- GeometrieLot und Schrägstrecke, Winkel zwischen Gerade und Ebene, FlächenwinkelBerechne eine Schrägstrecke aus dem Lot und ihrer Projektion, miss den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene sowie einen Flächenwinkel an seinem ebenen Winkel und zeige, dass zwei Ebenen aufeinander senkrecht stehen.
- GeometrieParallele Geraden und Ebene, ParallelprojektionBestimme Längen von Strecken zwischen parallelen Geraden, die eine Ebene schneiden, und Streckenverhältnisse bei der Parallelprojektion.
- GeometrieVielflächner: Flächen, Kanten, EckenFinde Grundflächen, Seitenflächen und Kanten von Pyramide, Prisma und Quader und zähle ihre Flächen und Kanten.
- GeometrieFlächeninhalt der senkrechten Projektion eines VielecksNutze den Satz über den Flächeninhalt einer Projektion, S′ = S · cos α, um den Flächeninhalt des Bildes oder des Vielecks selbst zu bestimmen.
- GeometrieEinbeschriebene und umbeschriebene KörperBestimme den Radius einer Kugel in einem Würfel oder einem Kegel und einer Kugel um einen Quader, außerdem das Volumen eines Zylinders um ein Prisma.
- Muster und FolgenFolgen, allgemeines Glied und RekursionBerechne mit der Schreibweise a_n die Glieder einer Folge, bilde eine Folge aus einer Rekursionsgleichung, erkenne periodische Folgen und zähle Dreieckszahlen.
- Muster und FolgenSummenzeichen und Summen von ReihenLies das Summenzeichen Σ, berechne die Summe der Glieder einer arithmetischen und einer geometrischen Folge und sieh, warum eine unendliche Summe manchmal eine Zahl ergibt.
- Muster und FolgenBesondere Summen, Differenzen und ModellierenBilde die Summe der Quadratzahlen, berechne eine Teleskopsumme, finde den Term einer quadratischen Zahlenfolge und löse eine Sachaufgabe mit einer arithmetischen Reihe.
- AlgebraHorner-Schema und ganzzahlige NullstellenTeile ein Polynom mit dem Horner-Schema durch x − a, bestimme den Rest und finde die ganzzahligen Nullstellen unter den Teilern des Absolutglieds.
- AlgebraNäherungen mit (1 + x)^nMit den ersten Gliedern der Entwicklung von (1 + x)^n Wurzeln und Kehrwerte von Zahlen nahe 1 abschätzen.
- AlgebraGleichungen mit ParameterEin Parameter ist eine Zahl, die nicht angegeben, aber fest gewählt ist. Sieh dir den Graphen an und unterscheide Fälle: Für welche a gibt es Lösungen, und wie viele?
- KoordinatengeometrieEllipse, Hyperbel und eine Gerade dazuBestimme die Brennpunkte von Ellipse und Hyperbel aus der Gleichung, konstruiere eine Ellipse mit beliebigem Mittelpunkt, zeichne die Asymptote einer Hyperbel und prüfe eine Gerade gegen eine Parabel.
- KoordinatengeometrieParameterdarstellung und PolarkoordinatenZeichne eine Kurve aus ihrer Parameterdarstellung Punkt für Punkt, eliminiere den Parameter, modelliere eine Bewegung und rechne Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten um.
- KoordinatengeometrieKoordinaten eines Punktes im RaumEntscheide, wo ein Punkt im Raum liegt, und bestimme den Abstand zweier Punkte, den Mittelpunkt einer Strecke und einen symmetrischen Punkt aus den Koordinaten.
- Funktionen und GraphenSumme, Verkettung und UmkehrfunktionAddiere zwei Funktionen, achte bei der Verkettung auf die Reihenfolge, finde die Umkehrung einer Rechenmaschine, indem du ihre Schritte rückgängig machst, zeichne den Graphen der Umkehrfunktion durch Spiegeln an der Geraden y = x und erkenne mit einer Waagrechten, welche Funktionen eine Umkehrfunktion haben.
- Funktionen und GraphenKubische Graphen, Skizzieren von Polynomen und AsymptotenFülle die Wertetabelle einer kubischen Funktion aus und zeichne ihren Graphen, skizziere einen Polynomgraphen aus Nullstellen und y-Achsenabschnitt, erkenne eine doppelte Nullstelle und zeichne die senkrechte, die waagrechte und die schräge Asymptote einer gebrochen-rationalen Funktion.
- Funktionen und GraphenWachstum und Abnahme mit dem WachstumsfaktorWähle das passende Modell für eine Abnahme um 20 % pro Jahr, rechne mit wiederholtem Verdoppeln, bestimme den Wachstumsfaktor aus einer Wertetabelle und erkenne, ob eine Wertetabelle zu linearem oder zu exponentiellem Wachstum gehört.
- Funktionen und GraphenDer LogarithmusErkenne, dass der Logarithmus die Hochzahl ist, mit der man die Basis potenzieren muss, zeichne den Graphen der Logarithmusfunktion als Spiegelbild der Exponentialfunktion, berechne einen Logarithmus mit dem Taschenrechner und lerne die Werte log_b b = 1 und log_b 1 = 0 kennen.
- Funktionen und GraphenLogarithmensätze und ExponentialgleichungenEntdecke die Logarithmensätze für Produkt, Quotient und Potenz, löse eine logarithmische Gleichung und Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus (Verdopplungszeit, k · a^x = c) und sieh, wie Logarithmen Messwerte zu einer Geraden machen.
- Funktionen und GraphenAbschnittsweise Funktionen, Signum und BetragLies eine abschnittsweise definierte Funktion ab, zeichne die Signumfunktion, erzeuge y = |x − 1| + 2 durch Verschieben des V und lies Betragsungleichungen am Graphen ab.
- Funktionen und GraphenGrößter und kleinster Funktionswert, PotenzfunktionenBestimme den größten und kleinsten Funktionswert einer Funktion auf einer Menge, vergleiche die Graphen von y = xⁿ für gerades und ungerades n und lerne den Graphen von y = x⁻ⁿ kennen.
- Funktionen und GraphenExponentialgleichungen und Ungleichungen: MethodenKlammere eine gemeinsame Potenz aus, substituiere t = 2ˣ, lies eine Lösung am Graphen ab und entscheide, wann sich das Ungleichheitszeichen umdreht.
- Funktionen und GraphenLogarithmus: Grundidentität, Basiswechsel, LogarithmusfunktionNutze die Grundidentität des Logarithmus, wechsle die Basis und vergleiche Logarithmen mit einer Basis zwischen 0 und 1. Die Logarithmusgleichungen stehen in einem anderen Studio.
- Funktionen und GraphenLogarithmusgleichungen und UngleichungenLöse Gleichungen mit einer Summe von Logarithmen, prüfe Lösungen an der Definitionsmenge, substituiere t = lg x, bestimme eine unbekannte Basis und löse Ungleichungen mit einer Basis zwischen 0 und 1.
- Funktionen und GraphenFunktionsterm aus BedingungenÜbersetze Eigenschaften in Gleichungen für f, f′ und f″, bestimme Parameter und die Ortskurve von Extrempunkten einer Schar.
- VektorenVektoren im Raum: Betrag, Abstand und MittelpunktEin Vektor im Raum ist die Raumdiagonale eines Quaders. Bestimme den Betrag eines Vektors, den Abstand zweier Punkte, einen Mittelpunkt, den Vektor zwischen zwei Punkten und den Endpunkt eines Vektors aus den Koordinaten.
- TrigonometrieZusammengehörige Winkel, Bogenlänge und KreissektorSpiegle einen Punkt am Einheitskreis und sieh, wie Sinus und Kosinus von α und 180° − α zusammenhängen. Nutze den Bezugswinkel für cos 120°, entdecke sin(90° − α) = cos α und berechne dann die Länge eines Kreisbogens und den Flächeninhalt eines Kreissektors im Bogenmaß.
- TrigonometrieTrigonometrische Beziehungen und BeweiseBerechne mit sin2θ + cos2θ = 1 und tanθ = sinθcosθ eine Größe aus einer anderen, finde die falsche Zeile in einem „Beweis“ und lerne, was ein Beweis einer allgemeingültige Gleichung ist.
- TrigonometrieAdditionstheoreme und doppelte WinkelBestimme mit den Additionstheoremen und exakten Werten sin 75° und arbeite mit dem doppelten Winkel.
- TrigonometrieTrigonometrische Gleichungen: quadratisch und mit zwei UnbekanntenLöse trigonometrische Gleichungen, indem du alle Winkel von 0° bis 360° findest: tan x = −1, quadratische Gleichungen in sin x oder cos x (eine braucht erst eine Umformung mit sin² x + cos² x = 1), eine Gleichung im Bogenmaß und ein Gleichungssystem mit x und y.
- TrigonometrieDer Tangens: Graph, Definitionsmenge und PeriodeLies am Graphen von y = tan x ab: das Vorzeichen in jedem Quadranten, die Stellen, an denen er nicht definiert ist, seine Periode und die Lösungen von tan x = 1.
- TrigonometrieEigenschaften trigonometrischer FunktionenLies die Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Kotangens an ihren Graphen ab: Periode, Symmetrie, Nullstellen, monotone Bereiche, Definitions- und Wertemenge.
- TrigonometrieAllgemeine Lösungen trigonometrischer GleichungenDie Gerade y = b schneidet den Graphen von Sinus, Kosinus oder Tangens in unendlich vielen Punkten. Schreibe alle Lösungen als Formel mit n ∈ ℤ und verwirf bei einer Gleichung, die auf eine quadratische führt, die Lösung, die nicht vorkommen kann.
- TrigonometrieDreiecke berechnenBerechne ein Dreieck in vier Fällen: eine Seite und zwei Winkel, zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, drei Seiten sowie zwei Seiten mit einem Winkel, der einer von ihnen gegenüberliegt. Dazu kommen Aufgaben mit keiner, einer oder zwei Lösungen und die Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt.
- TrigonometrieTrigonometrische Ungleichungen und Auswahl von LösungenErkenne am Graphen, wo ein Sinus oder Kosinus größer oder kleiner als eine Zahl ist, und wähle die Lösungen einer Gleichung in einem vorgegebenen Intervall aus.
- StatistikUngleiche Klassen und zwei MerkmaleZeichne ein Histogramm mit verschieden breiten Klassen mithilfe der Häufigkeitsdichte, lies die Häufigkeit an einer Säule ab und lies zwei Merkmale derselben Gruppe in einem Streudiagramm.
- StatistikTrend, Interpolation und ExtrapolationLies Muster und Trend einer Zeitreihe ab und schätze Werte zwischen den Daten (Interpolation) und darüber hinaus (Extrapolation).
- StatistikMerkmalsarten, Datenerhebung und SchätzenUnterscheide qualitative und quantitative sowie diskrete und stetige Merkmale, ziehe eine geschichtete Stichprobe, finde die faire Fragebogenfrage und schätze einen Mittelwert aus einer Stichprobe.
- StatistikSignifikanztest, Kovarianz und kleinste QuadrateEntscheide, bei wie vielen Würfen mit Kopf die Hypothese «faire Münze» nicht mehr plausibel ist, berechne Kovarianz und Korrelationskoeffizient für fünf Punkte und finde die Gerade mit der kleinsten Summe der Fehlerquadrate.
- WahrscheinlichkeitStochastische Unabhängigkeit und totale WahrscheinlichkeitPrüfe mit einer Vierfeldertafel, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, erkenne, warum sich ausschließende Ereignisse nicht unabhängig sind, und addiere die Pfade eines Baumdiagramms, um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu bestimmen, das auf mehreren Wegen entstehen kann.
- WahrscheinlichkeitZufallsgröße und ErwartungswertGib jedem Ergebnis zweier Würfel eine Zahl, finde die Wahrscheinlichkeiten dieser Zahlen, berechne den Mittelwert eines Würfels und entscheide, was ein Spiel pro Wurf wert ist.
- WahrscheinlichkeitUngleiche Chancen und Umkehrung des BaumdiagrammsGib jedem Ergebnis sein eigenes Gewicht und addiere. Lies dann ein Baumdiagramm von hinten: Eine defekte Schraube wurde gefunden. Von welcher Maschine stammt sie?
- WahrscheinlichkeitBinomialverteilung und Poisson-VerteilungZähle die Pfade eines Baumdiagramms mit genau k Treffern, erkenne, woher die Formel der Binomialverteilung kommt, und lerne die Poisson-Formel für Ereignisse kennen, die zufällig eintreten.
- WahrscheinlichkeitVarianz, geometrische Verteilung und die Ungleichung von TschebyscheffBerechne die Varianz aus einer Verteilungstabelle, bestimme die Varianz einer Summe unabhängiger Zufallsgrößen, berechne die Wahrscheinlichkeit für «bis zum ersten Treffer» und schätze eine Abweichung mit der Ungleichung von Tschebyscheff ab.
- WahrscheinlichkeitGeometrische Wahrscheinlichkeit, Dichte und stetige ZufallsgrößenBestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Punkt in einem Teil einer Figur, einer Strecke oder eines Kreisbogens landet, als Verhältnis von Maßen, verstehe die Dichte und lerne die Gleichverteilung und die Exponentialverteilung kennen.
- WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit und KombinatorikBestimme die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit P(A) = m : n, wenn du die Ergebnisse einer Auswahl mit dem Binomialkoeffizienten «n über k» und mit dem Zählprinzip abzählst.
- WahrscheinlichkeitEinseitiger SignifikanztestFormuliere H₀, bestimme den Ablehnungsbereich zum Signifikanzniveau 5 %, beurteile den Fehler 1. Art und deute das Ergebnis richtig.
- Mengen und LogikAnordnungen und Auswahlen: Permutationen und KombinationenLass das Baumdiagramm der Anordnungen wachsen, um zu zählen, wer Gold und Silber gewinnen kann, stelle Freunde in eine Reihe und sieh, warum eine Gruppe von Personen seltener gezählt wird als eine Anordnung.
- Mengen und LogikDer binomische Lehrsatz und das Pascalsche DreieckSieh (a + b)³ als drei Klammern und zähle die Pfade, die zu jedem Term gehören, lies die Koeffizienten am Pascalschen Dreieck ab und nutze sie für Entwicklungen mit Zahlen.
- Mengen und LogikZählen ohne Doppelzählung und das SchubfachprinzipZähle die Kinder in zwei AGs, ohne die in beiden doppelt zu zählen, zähle die Vielfachen von 2 oder 3 und nutze das Schubfachprinzip, um sicher zu sein, dass zwei Dinge in einem Fach liegen.
- Mengen und LogikZählen mit gleichen Elementen: Anordnungen, Gruppen und Sterne-und-StricheOrdne gleichfarbige Kugeln in einer Reihe an, zähle Codes mit wiederholten Ziffern, verteile Schülerinnen und Schüler auf Zimmer und zähle Blumensträuße mit der Sterne-und-Striche-Methode.
- Mengen und LogikBinomialkoeffizienten, das Pascalsche Dreieck und Beweisen durch ZählenTeile Gruppen von Freundinnen und Freunden in zwei Arten, beweise die Pascal-Regel durch Zählen und sieh, warum jede Zeile eine Zweierpotenz als Summe hat.
- Mengen und LogikSummenregel, Produktregel, Fakultät und BinomialkoeffizientUnterscheide die Summenregel von der Produktregel, nutze die Formeln für Permutationen, geordnete und ungeordnete Auswahlen und löse eine Gleichung mit Fakultäten.
- Komplexe ZahlenKomplexe Zahlen: i, Addieren, Multiplizieren, DividierenLerne die Zahl i mit i² = –1 kennen, addiere komplexe Zahlen als Punkte der Ebene, multipliziere sie wie Klammern und dividiere mit der konjugierten Zahl.
- Komplexe ZahlenQuadratische Gleichungen mit komplexen LösungenErkenne, warum x² + 4x + 13 = 0 keine reellen Lösungen hat, löse Gleichungen mit komplexen Lösungen, zeichne sie in die Zahlenebene und finde die fehlende Nullstelle einer Gleichung dritten Grades.
- Komplexe ZahlenGaußsche Zahlenebene: Betrag, Argument und DrehungLies komplexe Zahlen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene ab, bestimme Betrag und Argument, spiegle an der reellen Achse und multipliziere durch Drehen und Strecken.
- Komplexe ZahlenPotenzen, Wurzeln und Kreise in der ZahlenebeneNutze e^(iφ) als Punkt auf dem Einheitskreis, potenziere mit dem Satz von Moivre, bestimme die vier Wurzeln einer Zahl als Quadrat und zeichne einen Kreis mit |z – c| = r.
- MatrizenCramersche Regel und Gauß-VerfahrenLöse ein Gleichungssystem mit Determinanten (Cramer) und dann mit Zeilenumformungen (Gauß) und sieh, warum eine Determinante null zu parallelen Geraden gehört.
- MatrizenMatrizen als AbbildungenEine Matrix bewegt die Punkte der Ebene: Wende sie auf einen Punkt an, baue sie aus den Bildern der Einheitsvektoren und finde die Punkte, die sie festlässt.
- AnalysisGrenzwerte: Annäherung an eine ZahlFülle eine Wertetabelle nahe einer Stelle aus, an der die Funktion nicht definiert ist, lies den Grenzwert am Graphen ab und erkenne, warum linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen müssen.
- AnalysisStetigkeit und ÄnderungsrateErkenne, wann du einen Graphen zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen, bestimme das k, das eine Funktion stetig macht, und verkleinere eine mittlere Änderungsrate zur momentanen Änderungsrate.
- AnalysisFlächen abschätzen: Ober- und Untersummen und TrapezregelSchätze den Flächeninhalt unter y = x² mit schmalen Rechtecken und mit Trapezen ab und sieh, welcher Zahl sich die Schätzwerte nähern, wenn die Streifen schmaler werden.
- AnalysisIntegrationsmethodenSubstituiere und passe die Grenzen mit an, integriere partiell, zerlege Brüche in Partialbrüche, wähle eine trigonometrische Substitution und entscheide, ob ein uneigentliches Integral einen Wert hat.
- Größen und MessenZusatz: nicht in deinen SchulbüchernTeile einer Kugel und das schiefe PrismaBerechne den Flächeninhalt einer Kugelzone, das Volumen eines Kugelabschnitts und eines Kugelsektors sowie das Volumen eines schiefen Prismas. Gib Antworten mit π ein: 20π tippst du als 20π.
- GeometrieZusatz: nicht in deinen SchulbüchernTeste dich: Körper mit Ecken, Rotationskörper, VolumenMultiple-Choice-Aufgaben mit den Antworten A, B, C, D zur Mantelfläche von Prisma, Zylinder und Kegel und zum Volumen einer Kugel.
- AlgebraZusatz: nicht in deinen SchulbüchernSysteme und Vereinigungen von Ungleichungen; Exponential- und LogarithmussystemeUnterscheide «und» (ein System, der gemeinsame Teil) von «oder» (die Vereinigung), löse gemischte Systeme und Systeme von Exponential- und Logarithmusgleichungen.
- StatistikZusatz: nicht in deinen SchulbüchernArmutsgrenze, Preisindex und InflationBestimme eine Armutsgrenze aus dem Median der Einkommen, berechne einen Preisindex und erkenne, was Inflation bewirkt.
Klasse 12
5
- TrigonometrieKotangens, Identität und das rechtwinklige Dreieck lösenLerne den Kotangens und die Grundbeziehung zwischen Sinus und Kosinus, berechne rechtwinklige Dreiecke aus der Hypotenuse und einem Winkel oder aus zwei Katheten und löse Anwendungsaufgaben.
- AnalysisVon der Sekante zur Tangente: Was ist eine Ableitung?Schiebe einen Punkt Q auf dem Graphen auf P zu, beobachte in einer Tabelle, wie sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung nähert, zeichne die Tangente und sieh, warum eine Ecke keine Ableitung hat.
- AnalysisDie AbleitungsregelnWende Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt- und Quotientenregel an einer Stelle an und prüfe sie an Tangenten im Graphen.
- AnalysisTangentengleichung und Extremwerte auf einem IntervallStelle die Tangentengleichung mit y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) auf, finde eine Tangente parallel zu einer Geraden und eine durch einen Punkt außerhalb der Kurve und bestimme dann den größten und kleinsten Funktionswert auf [a;b].
- AnalysisVom Graphen von f zum Graphen von f′Bestimme die Nullstellen von f′, lies f′ aus dem Graphen von f ab und finde die Wendestelle als Extremum von f′ sowie den Zeitpunkt des stärksten Wachstums.
Klasse 13
27
- KoordinatengeometrieSteigungswinkel, Steigung und kollineare VektorenBestimme die Steigung m aus dem Steigungswinkel einer Geraden (m = tan α, auch für stumpfe Winkel), senkrechte Geraden, den Schnittwinkel zweier Geraden und einen zu einem gegebenen Vektor kollinearen Vektor.
- VektorenSkalarprodukt und KreuzproduktDas Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl, die etwas über den Winkel zwischen ihnen verrät; das Kreuzprodukt ist ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht. Berechne beide und wende sie an.
- VektorenFlächeninhalt und Volumen mit dem KreuzproduktDer Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das sie aufspannen. Mit drei Vektoren liefert eine Determinante das Volumen des Spats.
- VektorenGleichungen einer Geraden und einer Ebene im RaumEine Gerade im Raum ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festgelegt, eine Ebene durch einen Punkt und einen Normalenvektor. Stelle ihre Gleichungen auf und prüfe Punkte.
- VektorenWinkel, Schnittpunkte und Abstände im RaumBestimme den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene, den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, den Abstand eines Punkts von einer Ebene und den Winkel zwischen zwei Ebenen mit dem Skalarprodukt und mit Gleichungen.
- VektorenVektoren beim Beweisen und Lösen von AufgabenBestimme den Schwerpunkt zweier gewichteter Punkte, beweise mit Vektoren, dass die Verbindung der Seitenmitten im Dreieck parallel zur dritten Seite und halb so lang ist, und löse Aufgaben zur Geschwindigkeit und zum Parallelogramm, indem du Vektoren zeichnest.
- VektorenDas Skalarprodukt: Beträge, Winkel, KoordinatenBerechne das Skalarprodukt aus den Beträgen und dem Winkel, quadriere eine Summe von Vektoren, bestimme den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren und den Winkel eines Dreiecks aus seinen Eckpunkten.
- VektorenVektoren im Raum: Summe, Vielfache, kollinear und komplanarAddiere Vektoren mit der Spatregel und mit Koordinaten, multipliziere einen Vektor mit einer Zahl, bilde Linearkombinationen und finde heraus, wann drei Vektoren in einer Ebene liegen.
- VektorenVektoren am Prisma und am Quader: gleich, Summe, parallelUnterscheide gleiche, gleichgerichtete und entgegengesetzte Vektoren an einem Prisma, addiere Vektoren nach der Dreiecksregel, drücke einen Vektor durch andere aus und erkenne parallele Vektoren an ihren Koordinaten.
- VektorenLagebeziehungen im RaumPunktprobe bei einer Geraden, Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt, Lage zweier Geraden und Schnittpunkt von Gerade und Ebene.
- VektorenAbstände im RaumAbstand Punkt–Ebene mit der Hesse-Normalenform, Lotfußpunkt, parallele Ebenen und windschiefe Geraden.
- StatistikNormalverteilung und σ-RegelnStelle μ und σ der Gauß-Kurve ein und nutze die σ-Regeln 68,3 %, 95,4 % und 99,7 %.
- WahrscheinlichkeitDie Normalverteilung und der z-WertMarkiere Abstände vom Erwartungswert in Standardabweichungen auf einer Zahlengeraden, nutze die Sigma-Regeln, berechne einen z-Wert und bestimme die Wahrscheinlichkeit an einem Rand der Glockenkurve.
- WahrscheinlichkeitStichprobenmittel, Stichprobenanteil und zentraler GrenzwertsatzErkenne, dass die Mittelwerte von Stichproben viel weniger streuen als einzelne Werte, bestimme den Standardfehler eines Mittelwerts und eines Anteils und nutze den zentralen Grenzwertsatz, um eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
- AnalysisGrenzwerte berechnen: Grenzwertsätze, 0 durch 0 und SinusBestimme Grenzwerte von Summen und Produkten aus Graphen, löse die Form 0 durch 0 durch Faktorisieren und Kürzen und lerne den Grenzwert des Sinus kennen.
- AnalysisUnendliche Grenzwerte und Grenzwerte im UnendlichenErkenne, warum 1x2 nahe null riesig wird, zeichne eine waagrechte Asymptote und löse die Formen ∞ : ∞ und ∞ − ∞ auf.
- AnalysisAbleitungen von Sinus, Exponentialfunktion, Logarithmus und UmkehrfunktionPrüfe die Ableitung von sin x nahe null, zeichne die Tangente an ex, nutze ln x als Spiegelbild von ex, um seine Ableitung zu finden, und übertrage die Umkehrregel auf arctan.
- AnalysisImplizite, parametrische und zweite Ableitung, gekoppelte ÄnderungsratenBestimme die Steigung eines Kreises an einem Punkt durch implizites Differenzieren, die Steigung einer Parameterkurve, eine zweite Ableitung und die Änderung einer Fläche bei wachsender Seitenlänge.
- AnalysisDas Vorzeichen der Ableitung und die Form des GraphenBestimme mit dem Vorzeichen von f′(x), wo ein Graph steigt und fällt, setze die Extrempunkte, finde den Wendepunkt mit f″(x) und berechne einen Maximalwert.
- AnalysisRolle, l'Hospital und Maclaurin-ReiheFinde, wo die Tangente waagrecht ist, bestimme die Stelle des Mittelwertsatzes, berechne einen 0-durch-0-Grenzwert mit Ableitungen und finde einen Koeffizienten der Maclaurin-Reihe von cosh x.
- AnalysisVon der Stammfunktion zum bestimmten IntegralFinde Stammfunktionen und verstehe, warum +C nötig ist, berechne bestimmte Integrale mit F(b) − F(a), bestimme Mittelwerte und Flächeninhalte und lerne das Integral von 1x kennen.
- AnalysisFlächen und Volumina mit dem IntegralBerechne mit dem bestimmtes Integral den Flächeninhalt unter einer Kurve und zwischen zwei Kurven sowie das Volumen eines Rotationskörpers.
- AnalysisDifferentialgleichungenSchreibe eine Änderungsrate als Differentialgleichung, finde die Lösung y = Cekx im Graphen und löse eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit einer Anfangsbedingung.
- AnalysisKurvendiskussion und ExtremwertaufgabenFinde die wichtigen Punkte eines Graphen und nutze ein Maximum, um Aufgaben wie den größten Flächeninhalt oder das größte Volumen zu lösen.
- AnalysisEin Untersuchungsplan für das Skizzieren eines GraphenUntersuche eine Funktion nach einem Plan: Definitionsmenge, Symmetrie, Nullstellen, Monotonie, Extrempunkte, und markiere dann die wichtigen Punkte des Graphen.
- AnalysisDas MonotonieschemaTrage aus den Vorzeichen der Ableitung in jedem Abschnitt mit Pfeilen ein, wo die Funktion steigt ↗ und fällt ↘, und finde die Extrempunkte.
- AnalysisIntegralfunktion und HauptsatzBilanziere Flächen bis zur Stelle x, finde Extrema der Integralfunktion und rechne mit J(x) = F(x) − F(a).