نتائج علاقة الكاشي

هذه الورشة تكميلية وتعتمد على «علاقة الكاشي» (تُدرَس في الصف الحادي عشر العلمي، الجزء الثاني، الوحدة ٤: «العلاقات العددية في المثلث»). أضلاع المثلث a وb وc والزوايا المقابلة لها α وβ وγ. علاقة الكاشي: a^٢ = b^٢ + c^٢ − ٢bccosα. ومنها ٢bccosα = b^٢ + c^٢ − a^٢.

نتيجة. ليكن a طول أكبر أضلاع المثلث. إذا كان a^٢ < b^٢ + c^٢ فالمثلث حاد الزوايا. وإذا كان a^٢ > b^٢ + c^٢ فالمثلث منفرج الزاوية. وإذا كان a^٢ = b^٢ + c^٢ فالمثلث قائم. والسبب إشارة تجيب أكبر الزوايا: موجب أو سالب أو صفر.

المسألة ١. مجموع مربعي قطري متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعات أضلاعه الأربعة: BD^٢ + AC^٢ = ٢a^٢ + ٢b^٢ حيث a وb ضلعان متجاوران. للإثبات نكتب علاقة الكاشي في المثلثين ABD وACD (الزاويتان α و١٨٠° − α) ونجمع.

المسألة ٢. تقود علاقة الكاشي أحيانًا إلى معادلة من الدرجة الثانية. نهمل الجذر الذي لا يوافق شرط المسألة، لأن الطول لا يكون سالبًا. الأشكال مرسومة بمقياس رسم: كل مربع في الصفحة يساوي ١ سم.