Обзор
Все мастерские, от простых к сложным.
Числа и разряды
47
- счет и сравнение в пределах 10Разложи яблоки по одному, посчитай их и сравни. Потом познакомься со знаками <, > и =.
- Числа до 20: десяток и единицыЧитай и составляй числа от 10 до 20 с помощью двух рамок по десять. На один больше, число между и первый, второй, третий.
- Числовая прямая, счёт группами, чётные и нечётныеНаходи числа на числовой прямой, считай двойками, пятёрками и десятками и узнай, какие числа чётные, а какие нечётные.
- Десятки и единицы: числа до 100Собирай десять единиц в десяток. Составляй и читай числа до 100 из десятков и единиц.
- Сотни и тысячи: разряды и сумма разрядных слагаемыхСоставляй, читай и записывай числа до 10 000 с помощью брусков, раскладывай их на разрядные слагаемые и сравнивай, начиная со старшего разряда.
- Большие числа, округление и прикидкаЧитай и составляй числа до миллионов по классам из трех цифр, округляй до десятков, сотен или тысяч по следующему разряду и делай прикидку суммы до точного вычисления.
- Округление до десятков и сотен, прикидкаОкругляй числа до десятков и сотен и делай прикидку суммы и разности без точного вычисления.
- Отрицательные и целые числаПродолжи числовую прямую влево от нуля. Отмечай температуру ниже нуля и глубину ниже уровня моря, а потом складывай и вычитай прыжками.
- Округление десятичных дробейУвеличь отрезок между двумя соседями числа и посмотри, к какому из них оно ближе: округление до единиц, до десятых и до сотых. Потом найди все числа, которые округляются до одного и того же значения.
- Делители, кратные и простые числаВыкладывай фишки прямоугольником и находи делители числа. Посмотри, почему некоторые числа дают только один прямоугольник.
- Делимость, НОД, НОК и степениЗакрашивай кратные на сотенной таблице и открой признаки делимости. Потом общие кратные и делители, квадраты и степени.
- Умножение и деление целых чисел; модуль числаУмножай и дели отрицательные числа прыжками по числовой прямой, найди закономерность в знаках и измеряй расстояние до нуля.
- Рациональные числа: сравнение и четыре действияОтметь отрицательные дроби и десятичные дроби на одной числовой прямой, сравни их, потом складывай их как перемещёния и умножай как растяжения и сжатия.
- Решето для простых чиселЗапиши числа от 1 до 50 и вычёркивай кратные, пока не останутся только простые числа. Потом выясни, где можно остановиться.
- Вычитание отрицательного числаЗаменяй каждое вычитание сложением, увидь вычитание отрицательного числа на прямой и вычисляй разности двузначных чисел по разрядам.
- Степени отрицательных чисел и рост удвоениемСоблюдай порядок действий со степенями, пойми разницу между (−3)² и −3² и увидь, почему последовательное удвоение так быстро даёт большие числа.
- Простые множители, НОД · НОК и точные корниРазложи два числа на простые множители с помощью дерева. Составь из простых множителей НОД и НОК и найди квадратный и кубический корень, разбивая множители на пары и тройки.
- Свойства степени, нулевой и отрицательный показательРаспиши степени в виде множителей над дробной чертой и под ней: при умножении множители собираются вместе, при делении равные множители сверху и снизу сокращаются. Посмотри, почему a⁰ = 1 и почему отрицательный показатель означает дробь.
- Деление рациональных чиселНаходи число, обратное рациональному, и заменяй деление чисел с разными знаками умножением. Пойми, почему на нуль делить нельзя.
- Корни n-й степени и степени с рациональным показателемИзучай корни n-й степени через степени: чётные и нечётные показатели, произведение корней, а потом дробные показатели, например 2713 и 823.
- Стандартный вид числаСдвигай цифры кнопками :10 и ·10, пока перед запятой не останется одна ненулевая цифра, и смотри, как показатель степени десяти считает сдвиги.
- Оценка квадратных корней; иррациональные числа на прямойНайди квадратный корень между натуральными числами, уточни его до десятых и сотых, возводя в квадрат, и отличи рациональные числа от иррациональных на числовой прямой.
- Выражения с корнями и их упрощениеРазложи число под корнем на множители и вынеси каждую пару: √12 = 2√3. Умножай корни, складывай подобные корни и освобождайся от иррациональности в знаменателе.
- Алгоритм Евклида: наибольший общий делитель (НОД)Найди наибольший общий делитель двух чисел цепочкой делений, не выписывая делители.
- Модуль действительного числа и приближённые вычисленияПойми модуль как расстояние от начала отсчёта, разбери три случая, сравни |a + b| и |a| + |b| и вычисляй с приближёнными значениями корней.
- Свойства корня, степени с рациональным показателем, иррациональные уравненияНайди корень из частного и корень из корня, сравни корни разных степеней, реши иррациональное уравнение через уравнение-следствие с проверкой (посторонние корни) и методом замены переменной.
- Числа словами: десятки тысяч, сотни тысяч и миллиардыСтрой и читай большие числа: пятизначные, сто тысяч и числа больше миллиона.
- Корни: квадратный и кубический, знакиСосчитай, сколько чисел в квадрате дают положительное число. Посмотри, почему из отрицательного числа квадратного корня не существует, а кубический корень существует, и почему √(a²) равен модулю числа a.
- Округление на числовой прямойНайди число на числовой прямой и посмотри, к какому десятку, сотне или тысяче оно ближе. Число, которое лежит ровно посередине, округляют в большую сторону.
- Числа словамиСтрой двузначные и трёхзначные числа из десятков и единиц, читай их и записывай словами.
- Делимость целых чиселДеление с остатком, свойства делимости и запись НОД двух чисел в виде их линейной комбинации.
- Таблица чисел и счёт группамиСчитай по 3, по 4, по 6 и по 7 в таблице чисел и посмотри на сложение одинаковых слагаемых с помощью полосок.
- Сравнения целых чисел по модулюЧисла, которые при делении на m дают одинаковые остатки, называют сравнимыми по модулю m. Посмотри, как с ними вычислять.
- Разряды десятичной дробиЗаписывай и читай десятичные дроби в таблице разрядов со столбцами единиц, десятых и сотых, составляй их из разрядных слагаемых и сравнивай.
- Приближение: округление и отбрасывание цифрПриближай число до десятков, сотен, единиц или десятых двумя способами — округлением и отбрасыванием цифр, узнавай округлённое значение, приближай дробь и прикидывай произведение.
- Приближённые значения и погрешностьНайди абсолютную и относительную погрешность, сравни точность измерений и оцени погрешность суммы.
- Состав чисел 6–10 и число нульРаскладывай числа 6, 7, 8, 9 на два слагаемых с помощью фишек. Потом узнай, что будет, если убрать всё или ничего не убирать.
- Таблица состава числа и полоскиЗапиши две части, из которых составлено число 6, и построй полоску из 7 клеток.
- Свойства арифметического квадратного корняВычисляй корень из квадрата, произведения, частного и степени по свойствам арифметического квадратного корня, как в учебнике 8 класса.
- Натуральный ряд и координатный лучНайди число перед данным, узнай, почему нет наибольшего натурального числа, отметь точку K(5) на координатном луче и прочитай шкалу.
- Деление с остатком, признаки делимости на 9 и на 3Выясни, почему остаток меньше делителя, найди делимое по формуле a = bq + r и проверяй делимость на 9 и на 3 по сумме цифр.
- Вложенные корни: √(a ± 2√b)Избавляйся от корня под корнем: представь подкоренное выражение как квадрат суммы или разности и найди числа подбором по сумме и произведению.
- Сравнение и порядок больших чиселСравнивай числа до миллиона по разрядам, расставляй их по порядку и увеличивай на тысячи.
- Двоичные числа и римские цифрыЧитай и записывай двоичные числа с разрядами 1, 2, 4, 8, 16 и сравни римские цифры с нашей позиционной системой счисления.
- Расстояние между точками и уравнения с модулемНаходи расстояние между точками числовой прямой как |a − b| и решай уравнения вида |x − a| = b, отмечая точки на прямой.
- Делимость суммы, разности и произведения; признаки на 4, 8, 6 и 11Узнавай, делится ли сумма, разность или произведение, не вычисляя их, и пользуйся признаками делимости на 4, 8, 6 и 11.
- Метод Герона и иррациональные числаНайди приближённое значение квадратного корня методом Герона (прямоугольник, который становится квадратом), а потом увидь, почему √2 не дробь.
Вычисления
30
- Сложение и вычитание в пределах 10Складывай яблоки вместе, убирай часть и сравнивай. Потом составь 10 из двух чисел.
- В пределах 20: переход через десяток и связь сложения и вычитанияСначала дополни до десяти, потом добавь остальное. Сложи три числа, поменяй слагаемые местами и найди четыре равенства с одними и теми же числами.
- Устное сложение и вычитание прыжкамиПокажи каждое сложение и вычитание прыжками по числовой прямой: сначала десятки, потом единицы, или сначала до круглого десятка.
- Равные группы: умножение и делениеРаскладывай яблоки на равные группы, выкладывай фишки рядами и посмотри, как связаны умножение и деление.
- Таблица умноженияУчи таблицу умножения по картинкам и тренируйся в короткой игре: сначала умножение на 2, 5 и 10, потом на 0 и 1, потом остальные случаи до 10 · 10.
- Умножение и деление на 10, 100 и 1000При умножении на 10 каждая цифра сдвигается на один разряд влево, при делении на 10 — на один разряд вправо. Посмотри это в таблице разрядов: сначала с натуральными числами, потом с десятичными дробями.
- Сложение и вычитание столбикомЗапиши числа столбиком и складывай или вычитай по одному разряду: переноси десяток в следующий разряд, занимай единицу у соседнего разряда и делай проверку.
- Умножение столбикомУмножай столбиком: на однозначное число с переносом, на двузначное число — два неполных произведения, второе со сдвигом на разряд влево, а потом десятичные дроби.
- Деление с остатком и деление уголкомДели уголком цифру за цифрой, узнай, что такое остаток и что с ним делать в задаче, и проверь деление умножением.
- Дополнительно: сложение и вычитание на счётахСкладывай и вычитай двузначные числа, передвигая бусины на счеты. Меняй десять бусин единиц на одну бусину десятков и обратно.
- Умножение круглых чисел и действия с десятичными дробямиУмножай числа, оканчивающиеся нулями (40 · 30, 650 · 300), складывай и вычитай десятичные дроби в столбик, а две десятичные дроби умножай, считая цифры после запятой.
- Письменное умножение на многозначное и круглое числоУмножай в столбик на трёхзначное число, на число с нулём и на круглое число: по неполным произведениям.
- Умножение брусками: раскладываем по разрядамСначала круглые десятки, потом многозначное число на однозначное с брусками сотен, десятков и единиц: умножь каждый разряд и сложи.
- Сложение и вычитание четырёхзначных чисел: бруски тысячСкладывай и вычитай четырёхзначные числа в таблице разрядов с брусками единиц, десятков, сотен и тысяч. Если в разряде стало десять, обменяй их на один следующего разряда.
- Счёт группами и задачи на умножениеСчёт по 7 и по 200, задачи «в несколько раз больше», стоимость нескольких одинаковых наборов в рублях и задачи на скорость с машиной, которая умножает.
- Части равенства: слагаемые, сумма, разностьПрибавляй и вычитай по частям на числовом луче, называй части равенства и вычитай с помощью сложения.
- Неизвестный компонент и изменение суммыНаходи неизвестное слагаемое, уменьшаемое и вычитаемое по правилу, сравнивай выражения без вычислений и следи, как изменяется сумма.
- Двузначные числа: поразрядно, по частям, приём округленияПрибавляй и вычитай двузначные числа поразрядно и по частям, а 38 + 9 считай через 10 и верни лишнюю единицу. 2 класс; устные приёмы 3 класса — в другой студии.
- Таблица умножения и зависимости между результатами действийИсследуем таблицу умножения, умножаем и делим последовательно, смотрим, как произведение и частное зависят от компонентов.
- Устные приёмы: по разрядам, округление, деление по частямСкладываем и вычитаем по разрядам и способом округления, делим числа на части и круглые числа разрядными единицами. 3 класс; двузначные числа 2 класса — в другой студии.
- Рациональные способы умножения и деленияУмножай и дели на 5, 25, 50, 11, 101, 9 и 99 удобными способами.
- Законы действий и удобные вычисленияПользуйся переместительным, сочетательным и распределительным законами, чтобы вычислять удобно, а также упрощай выражения с рациональными числами.
- Выражение, равенство, неравенствоРазличаем выражения, равенства и неравенства, вычёркиваем неверные равенства и сравниваем выражения без вычисления. 2 класс: числовые выражения, знаки =, < и >.
- Деление с остатком на 10 и 100Делим с остатком на 10 и 100, закрывая цифры справа, а числа с нулями на конце — зачёркивая одинаковое число нулей. 4 класс.
- Цепочки вычисленийИди по стрелкам: в кружке число, на флажке действие. Найди число в конце цепочки и восстанови стёртый флажок. 1 класс.
- Таблицы сложенияЧитай таблицы сложения чисел 1, 2, 5 и 7, закрывай результаты и записывай их. Потом разбери состав чисел второго десятка. 1–2 классы.
- Вычитаем числа 6, 7, 8, 9Замени уменьшаемое суммой удобных слагаемых: одно из них равно вычитаемому. Тогда после вычитания останется другое слагаемое. 1 класс.
- Прибавляем и вычитаем суммуПрибавь сумму к числу, вычти сумму из числа и число из суммы, записывай равенства со скобками, как в учебнике начальной школы.
- Внетабличное умножение и деление по частямУмножай и дели двузначные числа на однозначные, разбивая число на удобные слагаемые, и проверяй результат обратным действием.
- Проверка вычислений: прикидка и обратное действиеПрикинь ответ до вычисления, вычисли в столбик, проверь обратным действием и реши, правдоподобен ли результат, в том числе на калькуляторе.
Дроби
18
- Что такое дробь?Раздели одно целое на равные части и запиши дробью, сколько частей взято.
- Дроби на числовой прямойДроби — это тоже числа, и у каждой есть своё место на числовой прямой. Раздели отрезок от 0 до 1 на равные части и отметь точки.
- Равные дробиОдну и ту же долю можно записать разными дробями. Посмотри, как меняется дробь, когда части становятся мельче или крупнее, а доля остаётся прежней.
- Сравнение дробейКакая дробь больше? Поставь полоски одну под другой и посмотри, чья закраска идёт дальше.
- Сложение и вычитание дробейПоложи дроби рядом на полосках, сложи и вычти их. Если знаменатели разные, сначала сделай части одного размера.
- Умножение и деление дробейС помощью полосок увидишь, что умножить на дробь — значит взять «столько раз» или «такую часть от», а разделить на дробь — узнать, «сколько раз содержится».
- Десятичные дробиНайди десятые и сотые на числовой прямой и посмотри, как записывают и читают десятичные дроби.
- Деление и дробиРаздели уголком цифру за цифрой и убедись, что каждая дробь — это на самом деле деление, которое можно превратить в десятичную дробь.
- Доля от числаРаздели яблоки поровну и возьми несколько частей. Потом увеличь и уменьши рецепт.
- Проценты: дробь, десятичная дробь, процентПроцент — это «одна сотая». С помощью квадрата из ста клеток и полоски в 100 % увидишь, что дробь, десятичная дробь и процент — три названия одной и той же доли.
- Умножение и деление смешанных чиселС помощью полосок увидишь, как умножают и делят смешанные числа и какое действие в выражении выполняют первым.
- Деление десятичных дробей и периодические дробиСведи деление десятичных дробей к делению натуральных чисел, дели дальше, пока цифры не начнут повторяться, и обрати периодическую дробь в обыкновенную.
- Многоэтажные дробиДробь, в числителе или знаменателе которой есть дробь: раздели дробь на полоске, посчитай дроби внутри дробей и дели, переворачивая нижнюю дробь.
- Вычитание смешанных чисел и действия с дробямиВычитай смешанные числа, занимай единицу, когда нужно, находи значения выражений с многоэтажными дробями и увеличивай рецепт.
- Доля числа и число по его долеНаходи долю числа и число по его доле: сначала одну долю, потом целое или несколько долей.
- Неправильные дроби, число по дроби, процентное отношение, десятичное приближениеПокажи неправильную дробь на полосках, найди целое по значению его части или процентов, вычисли процентное отношение двух чисел и округли дробь до сотых.
- Доли единиц измеренияКакую часть метра составляют 6 см и какую часть года — 3 месяца? Выразим долю единицы в более мелких единицах и сравним её с именованным числом.
- Пятая и десятая частиРаздели целое на 5 и на 10 равных частей, сравни доли 15 и 110 и найди пятую и десятую часть величины.
Отношения и пропорции
17
- Отношение и деление в данном отношенииС помощью двухцветных полосок пойми, что значит 2 : 3, сокращай отношения и дели число в данном отношении.
- Пропорция и приведение к единицеНайди неизвестную величину с помощью таблицы: сначала значение для одной единицы, потом для любого числа. В конце — обратная пропорциональность.
- Коэффициент подобия и подобный фигурыУвеличь фигуру в заданное число раз, найди подобные фигуры, определи коэффициент подобия и построй подобную фигуру по одной стороне.
- Изменение в процентах, множитель и нахождение числа по его процентуНачальная величина — полоска 100 %. При увеличении полоска становится длиннее (120 %), при уменьшении — короче (85 %). По полоскам находи множитель, изменение в процентах и первоначальную цену.
- Цена за единицу, «на каждый» и плотностьС помощью таблицы найди, сколько приходится «на одну единицу»: цену 1 килограмма, литры на 100 рублей и массу каждого кубического сантиметра.
- Масштаб: планы и картыИзмерь линейкой расстояние на карте и стену на плане комнаты и с помощью масштаба найди настоящие размеры.
- Графики прямой и обратной пропорциональностиПострой график прямой пропорциональности по таблице, найди k по одной точке, подбери ползунком кривую y = kx через точку, узнай график прямой пропорциональности и построй график обратной.
- Дополнительно: сложная пропорциональная зависимостьВ задачах на сложную пропорциональную зависимость меняются сразу три величины. Меняй в таблице по одной величине и каждый раз решай, прямая это зависимость или обратная.
- Расстояние, скорость, время: s = v · tНайди расстояние, скорость и время по таблице и по формулам s = v · t, v = s : t, t = s : v.
- Движение двух тел и совместная работаНайди расстояние между двумя телами, которые движутся одновременно, и время совместной работы по таблице и по плану решения. Раздел: 4–5 классы, движение двух тел и совместная работа; четвёртая пропорциональная — в другой студии.
- Пропорциональное деление и одинаковая величинаРешай задачи с краткой записью «цена, количество, стоимость»: пропорциональное деление и нахождение одинаковой величины по двум разностям или двум суммам.
- Четвёртое пропорциональное и двойное приведение к единицеРешай задачи способом отношений и приведением к единице, а также задачи, где изменяются две величины.
- Подобные фигуры: длина, площадь и объёмЕсли фигуру увеличить с коэффициентом подобия k, длины увеличатся в k раз, площади — в k² раз, а объёмы — в k³ раз. Найди недостающую величину с помощью таблицы отношений.
- Работа: производительность, время, объём работыРешай задачи на работу: производительность · время работы = объём работы, с таблицей и со схемой-треугольником.
- Четвёртое пропорциональное: одинаковая величинаРешай задачи с величиной, которая остаётся одной и той же (масса одного ящика, цена, общая масса): сначала найди её, потом ответь на вопрос.
- Процессы: движение и работаРешай задачи на одновременное движение и на совместную работу по одному плану: скорость · время = расстояние, производительность · время = объём работы.
- Проценты: целое, часть, доля в процентахНайди часть от целого, сколько процентов составляет часть или целое по его части. Пользуйся полоской процентов, нахождением 1 % и записью «часть = целое · p %».
Деньги
7
- Монеты и купюрыПознакомься с монетами и купюрами, набери сумму денег разными способами и убедись, что больше монет — не всегда больше денег.
- Покупки и сдачаСложи цены покупок, заплати и найди сдачу, досчитывая от цены.
- Проценты и деньги: скидка, прибыль и убытокС помощью полоски «100 %» посмотри, на сколько скидка уменьшает цену и сколько процентов от себестоимости продавец получает или теряет.
- Простые и сложные процентыСледи за вкладом год за годом: при простых процентах каждый год прибавляется одна и та же сумма, а при сложных деньги умножаются на одно и то же число. Потом посмотри, как вещь каждый год дешевеет.
- НДС, скидки, цена продажи и промиллеЦена без налога и цена с налогом при ставках 19 % и 7 %, торговая скидка и скидка за быструю оплату, расчёт цены продажи и промилле.
- Проценты и процентные пунктыЧем отличается «выросла на 5 %» от «выросла на 5 процентных пунктов»: ставка 20 % → 25 %, доля отличников, банковская задача.
- Кредиты: два вида платежейВозьми кредит и посмотри, как растёт долг и как он гасится: равными долями долга или равными платежами. Сравни, сколько в итоге переплатит заёмщик.
Величины и измерения
33
- Сравниваем: длиннее, тяжелее, вместительнееЧто длиннее? Что тяжелее? Измеряем скрепками, пядями и стаканами.
- Измеряем длину, массу и вместимостьИзмеряй линейкой, весами и мерным кувшином. Сначала прикинь, потом измерь.
- Часы и календарьПоворачивай стрелки часов, записывай дневное время в 24-часовом формате и находи дни в календаре.
- Периметр и площадьОбойди фигуру и найди её периметр, покрой её единичными квадратами и найди её площадь, а ещё убедись, что у фигур с одинаковой площадью периметры могут быть разными.
- Четверть часа и порядок во времениПокажи на часах четверть часа, запиши время двумя способами и определи, какое дело длилось дольше.
- Перевод единиц измеренияПереводи метры в сантиметры, граммы в килограммы и литры в миллилитры. Тебе поможет полоска единиц.
- Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции и кругаПерекладывай части фигур и посмотри, почему площадь параллелограмма равна основанию, умноженному на высоту, почему треугольник — половина этого, как две равные трапеции складываются в параллелограмм, и оцени площадь круга.
- Объём прямоугольного параллелепипедаСтрой коробки из единичных кубиков, считай кубики слой за слоем и посмотри, почему объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
- Дополнительно: термометрОпредели температуру по термометру и покажи на нём температуру ниже нуля.
- Объём и площадь поверхности призмы и цилиндраПоворачивай призмы и цилиндры, находи основание, заполняй тело слоями и смотри, почему объём равен произведению площади основания на высоту, а потом раскрой развёртку и найди площадь боковой и полной поверхности.
- Точнее измеряем: часть единицыИзмеряй своей меркой, считай маленькие части сантиметра и находи середину отрезка.
- Пирамида, конус, шар и составные телаПерелей пирамиду в её призму и шар в его цилиндр и посмотри, откуда берутся 13 и 23. Разверни конус в сектор, найди его образующую по теореме Пифагора и вычисли объём и площадь поверхности башни.
- Трубка, банка и коробка: задачи на объём и поверхностьСверни лист в трубку и найди её вместимость в литрах, сравни, сколько жести нужно на банку и на коробку, и найди объём открытой коробки.
- Границы точности: верхняя и нижняя границыОкруглённый результат измерения на самом деле лежит в некотором промежутке. Изобрази промежуток, а потом используй границы, чтобы найти наибольший и наименьший ответ.
- Измеряем время: минуты и секундыНайди время прихода, вычисли время между двумя часами по стрелкам на оси времени и переводи секунды, минуты и часы.
- Километры, вместимость и масса водыПереводи метры в километры и обратно, отличай вместимость сосуда от объёма жидкости в нём и узнай, что 1 литр воды — это 1000 кубических сантиметров, и он весит 1 кг.
- Площадь ромба и кругаНайди площадь ромба по четырём треугольникам и по диагоналям, увидь, почему ромб — половина прямоугольника вокруг него, и вычисли площадь круга по секторам и по формуле π · r · r.
- Метры с сантиметрами, килограммы с граммамиЧитай и записывай величины двумя единицами (325 см = 3 м 25 см), выбирай удобную единицу и читай полсантиметра на линейке.
- Дециметр и действия с величинамиУзнай, что 1 дм = 10 см, измеряй ленты в дециметрах и складывай длины, записанные в дециметрах и сантиметрах.
- Именованные числа: действия с нимиСкладывай, вычитай, умножай и дели именованные числа: запиши их в одних единицах, выполни действие и запиши результат в двух единицах.
- Площадь прямоугольника и единицы площадиНаходи площадь прямоугольника по формуле S = a · b, ищи неизвестную сторону и изучай единицы площади: см², дм², м², ар, гектар.
- Время: сложение и вычитание именованных чиселЗаменяй крупные единицы времени мелкими, складывай и вычитай, а ответ записывай в двух единицах. Находи, сколько длилось событие по его началу и концу.
- Призмы, параллелепипеды и пирамиды: свойства, сечения, усечённая пирамидаНайди диагональ параллелепипеда, объём наклонной призмы, площадь боковой поверхности правильной пирамиды, объём усечённой пирамиды и сечение пирамиды.
- Сечения цилиндра, конуса и шара, уравнение сферыНайди диагональ осевого сечения, радиус сечения конуса и шара и прочитай центр и радиус по уравнению сферы.
- Призмы: задачи с углами и диагоналямиНайди высоту и боковое ребро прямой призмы по диагонали и углу, вычисли площадь боковой поверхности и запиши ответ с корнем.
- Пирамиды: куда проектируется вершинаПо равным боковым рёбрам или равным двугранным углам определи, в какой центр основания проектируется вершина, а затем найди высоту и площадь боковой поверхности.
- Объёмы тел: задачиНайди объём детали по подъёму воды, радиус переплавленного шара и объём тела, полученного вращением треугольника или трапеции. Оставляй π в ответе.
- Периметр многоугольникаНайди периметр треугольника ABC и прямоугольника DMPK как сумму длин всех сторон.
- Длина дуги, площадь сектора и сегментаНаходи длину дуги окружности с градусной мерой n°, площадь кругового сектора и сегмента по формулам l = πRn/180 и S = πR²n/360.
- Сектор, дуга и сегментСектор — это n/360 круга: найди длину его дуги и площадь, найди угол по длине дуги и площадь кругового сегмента.
- Части шара и наклонная призмаНайди площадь шарового пояса, объём шарового сегмента и шарового сектора и объём наклонной призмы. Ответы записывай с π: 20π вводится как 20π.
- Единицы массы, скорости и площадиПереводи тонны, центнеры и килограммы, километры в час в метры в секунду, гектары в квадратные километры и выбирай подходящую единицу.
- Центнеры, тонны и векаПереводи тонны и центнеры в килограммы и определяй, к какому веку относится год.
Фигуры и геометрия
82
- Плоские фигуры и симметрияПострой треугольник и квадрат на доске с точками, найди треугольники и проведи ось симметрии.
- Углы, окружность, прямоугольник и симметрияСосчитай углы, найди фигуру без углов, нарисуй прямоугольник, сложи фигуру пополам и раздели фигуру на равные части.
- Геометрические телаУзнай куб, прямоугольный параллелепипед, цилиндр, конус, шар и пирамиду, посчитай грани и ребра и сделай развертку куба.
- Прямые, лучи, отрезки и углыНайди лучи, начерти параллельные и перпендикулярные прямые на доске с точками и сравни углы с моделью прямого угла.
- Треугольники и четырёхугольникиРаздели треугольники на виды по сторонам и углам, познакомься с семьёй четырёхугольников и проведи диагонали ромба.
- Многоугольники и сумма угловНайди правильные многоугольники, узнай сумму углов треугольника и раздели многоугольники на треугольники, чтобы найти сумму их углов.
- Измерение углов транспортиромИзмеряй и строй углы транспортиром. Найди угол, смежный с данным, вертикальные углы и биссектрису угла.
- Окружность: радиус, диаметр и число πИзмерь диаметр и радиус окружности. Оберни ленту вокруг окружности и узнай, сколько диаметров укладывается в её длину.
- Построения циркулем и линейкойС помощью циркуля и линейки строй хорды и дуги, серединный перпендикуляр к отрезку, биссектрису угла и треугольник по трем сторонам.
- Углы при параллельных прямыхДвигай и поворачивай две параллельные прямые и секущую: посмотри, какие углы всегда остаются равными, какие в сумме дают 180° и что происходит, когда прямые не параллельны. Потом с помощью параллельной прямой покажи, почему сумма углов треугольника равна 180°.
- Неравенство треугольника; медианы, высоты и биссектрисыСобери треугольник из трех палочек и узнай, из каких трех длин треугольник получается, а из каких нет. Потом проверь медиану, высоту и серединный перпендикуляр на треугольнике, форму которого можно менять, и посмотри, где всегда пересекаются три медианы.
- Равные фигуры и равные треугольникиСдвигай, поворачивай и переворачивай фигуру, чтобы наложить её на другую. Потом найди соответственные вершины двух треугольников, выбери признак равенства, запиши доказательство по строкам и найди контрпример, который показывает, что «две стороны и угол не между ними» — не признак.
- Теорема Пифагора и обратная теоремаПострой квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и сравни их площади, пойми с помощью четырех одинаковых треугольников, почему теорема верна, найди неизвестную сторону, проверь по обратной теореме, прямой ли угол, и отметь √2 на числовой прямой циркулем.
- Рассуждение и доказательство в геометрииДвигай равнобедренный треугольник и убедись, что углы при его основании всегда остаются равными. Потом докажи это с обоснованиями, примени в новом доказательстве и покажи, что другое утверждение ложно, с помощью контрпримера.
- Теорема Фалеса и подобные треугольникиДвигай прямую, параллельную стороне треугольника, и убедись, что отрезки, которые она отсекает на двух других сторонах, всегда остаются в одном отношении. Потом попробуй обратную теорему, подобные треугольники и коэффициент подобия.
- Геометрическое место точекНайди все точки, которые находятся на заданном расстоянии от точки, от отрезка, от двух точек или от двух сторон угла, и посмотри, какую фигуру они образуют. Потом с помощью циркуля закрась область, где выполняются сразу два условия.
- Прямая и окружность, центральные и вписанные углы, касательнаяДвигай прямую по окружности и смотри, когда она пересекает окружность, когда только касается её и когда проходит мимо. Сближай две окружности, веди точку касания по окружности и убедись, что вписанный угол всегда равен половине центрального.
- Вписанные и описанные окружности, отрезки хордПострой описанную и вписанную окружности треугольника и посмотри, где лежат их центры. Потом двигай вершины вписанного четырёхугольника по окружности и проверь две пересекающиеся хорды: какое соотношение всегда остается верным?
- Виды фигуры и теорема Пифагора в пространствеПоворачивай башню из кубиков, узнавай ее виды спереди, сбоку и сверху и рисуй их на клетчатом поле. Потом найди диагональ коробки, дважды применив теорему Пифагора.
- Свойства прямоугольного треугольникаВ прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, а медиана, проведённая к гипотенузе, тоже равна её половине. Убедись в обоих свойствах, докажи одно и примени их.
- Аксиомы, отрезки и теоремыУвидь, что через две точки проходит одна прямая и что AB = AC + CB, найди середину отрезка и отличи теорему от обратной.
- ПаркетыПрикладывай копии правильного многоугольника вокруг точки и смотри, какие из них ложатся без щелей и наложений, почему правильный пятиугольник оставляет щель, и выкладывай паркет из двух видов многоугольников.
- Правильные многогранники и сеченияПоворачивай правильные многогранники, считай их грани, вершины и рёбра и открой формулу В − Р + Г = 2. Потом разрежь куб ножом и посмотри, какой фигурой может быть сечение.
- Внешний угол, стороны и углы, прямоугольные треугольникиУбедись, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, что против большей стороны лежит больший угол, и применяй признаки равенства прямоугольных треугольников.
- Хорды, ГМТ и четыре этапа построенияУвидь, что отрезок от центра к середине хорды перпендикулярен ей, найди расстояние до хорды и сосчитай решения задачи на построение методом ГМТ.
- Конические сечения: разрезаем конусРазрежь конус разными плоскостями и увидь, откуда берутся окружность, эллипс, парабола и гипербола. Потом посмотри, что строит отношение расстояний до фокуса и до директрисы.
- Правильные многоугольники и вневписанная окружность треугольникаНайди сторону и апофему правильного многоугольника по радиусу описанной или вписанной окружности, а также радиус вневписанной окружности треугольника.
- Прямые и плоскости в пространствеНа прямоугольном параллелепипеде выясни, как две прямые могут располагаться в пространстве: параллельно, пересекаясь или скрещиваясь. Затем рассмотри прямую и плоскость, прямую, перпендикулярную плоскости, и угол между скрещивающимися прямыми.
- Аксиомы стереометрии и сеченияПроведи плоскость через три точки, найди прямую, по которой пересекаются две плоскости, узнай прямую, параллельную плоскости, и назови вид сечения куба.
- Параллельные плоскости, проекция и перпендикулярПроверь признак параллельности плоскостей, сравни отрезки между параллельными плоскостями, найди длину параллельной проекции и расстояние от точки до плоскости.
- Симметрия многоугольников, внутренние и внешние углыСосчитай оси симметрии правильных многоугольников, найди угол при каждой вершине и увидь, почему внешние углы всегда дают в сумме 360 градусов.
- Теоремы об окружности и о биссектрисе углаДокажи, что две касательные из одной точки равны, и узнай, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении двух других сторон.
- Перпендикуляр и параллельная прямая через точку, построение по даннымИз точки вне прямой построй перпендикулярные прямые и параллельные прямые, затем построй циркулем ромб и равнобедренный треугольник, сначала разобрав задачу.
- Построение угла и треугольников циркулем и линейкойПострой угол, равный данному, треугольник по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам и прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.
- Метод ГМТ в задачах на построение: точка, окружность, треугольникИскомую точку находим как пересечение двух геометрических мест точек. Реши три задачи: точка на прямой на заданном расстоянии от другой прямой, окружность, касающаяся прямой в заданной точке, и треугольник по стороне и радиусу описанной окружности.
- Доказательство от противногоНаучись доказывать теоремы методом от противного: предположить, что вывод неверен, прийти к противоречию и сделать заключение.
- Чева, Менелай, Птолемей и прямая ЭйлераДополнительные теоремы: когда три чевианы пересекаются в одной точке, когда три точки лежат на одной прямой, произведение диагоналей вписанного четырёхугольника и прямая Эйлера.
- Луч, отрезок и диагональОбозначь точки буквами, назови луч и отрезок, начерти отрезок заданной длины и сосчитай диагонали многоугольника, сначала решив более простую задачу.
- Симметрия и сгибание бумагиСосчитай клетки симметричных фигур с помощью оси симметрии, нарисуй фигуру, симметричную данной, и предскажи вид фигуры после сгибания и вырезания.
- Решение геометрических задач: дано, доказать, планОтдели то, что дано, от того, что нужно доказать, составь план до доказательства, найди кратчайший путь с помощью перпендикуляра и теоремы Пифагора и увидь применение окружности.
- Семейство четырёхугольниковРаскладывай трапеции, дельтоиды, параллелограммы, ромбы, прямоугольники и квадраты по симметрии и диагоналям и построй дельтоид.
- Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике и свойства пропорцииПроведи высоту к гипотенузе прямоугольного треугольника и убедись, что AH² = BH·HC; найди сторону по этому правилу, примени производную пропорцию и получи теорему Пифагора из того же чертежа.
- Угол на диаметре, описанная окружность и касательнаяДокажи, что угол, опирающийся на диаметр, прямой, и обратное утверждение, найди описанную окружность треугольника и построй касательную.
- Окружность и кругОтличи окружность от круга, найди центр и радиусы и отметь точки, лежащие на окружности.
- Построение треугольника по плануЧертёж-эскиз, описание построения по шагам и число решений при построении треугольника, в том числе по высоте.
- Теорема, обратная теорема и доказательствоРазбери теорему на условие и заключение, составь обратную теорему и опровергни её контрпримером, докажи и применяй теорему Пифагора.
- Изображение тел в косоугольной проекцииСокращай рёбра, уходящие вглубь, с коэффициентом q, находи ошибки в чертежах и находи по рисунку настоящие размеры.
- Плоскости симметрии и сеченияСчитай плоскости симметрии тел, находи осевые сечения цилиндра и конуса и применяй координаты в пространстве для диагонали параллелепипеда.
- Гомотетия в координатахНаходи образы точек и прямых при гомотетии по координатам, находи коэффициент k и точку пересечения медиан треугольника.
- Перпендикуляр и наклонная, угол между прямой и плоскостью, двугранный уголНайди наклонную по перпендикуляру и проекции, измерь угол между прямой и плоскостью и двугранный угол по его линейному углу, а потом убедись, что плоскости перпендикулярны.
- Параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадратУзнай элементы четырёхугольника, свойства и признаки параллелограмма, диагонали прямоугольника и ромба, как в школьном учебнике геометрии 8 класса.
- Трапеция, средняя линия, описанный четырёхугольник и площадь трапецииУзнай свойства равнобедренной трапеции, среднюю линию, признак четырёхугольника, в который можно вписать окружность, и площадь трапеции.
- Второй и третий признаки подобия треугольниковНайди подобные треугольники по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам, вычисли неизвестную сторону и не попадись на угол, который лежит не между сторонами.
- Отрезок, его длина и прямаяСравни отрезки наложением, найди длину AB по двум частям, измерь расстояние между точками и узнай, сколько прямых проходит через две точки.
- Многоугольники, равные фигуры, площадь, ар и гектарНазови многоугольник по вершинам, найди равную фигуру наложением, узнай, чем равные фигуры отличаются от фигур с равной площадью, и переведи площадь поля в гектары. Формула S = a · b есть в студии 4 класса.
- Цилиндр и конус: основания и развёрткаНайди основания цилиндра и конуса и вычисли площадь боковой поверхности цилиндра по его развёртке.
- Точка, прямая, кривая, луч, отрезок, ломанаяНайди на рисунке точки, прямые и кривые. Назови части прямой, на которые её делят точки, и измерь длину ломаной. 1 класс.
- Секущие и касательная к окружностиЧерез точку вне окружности проведены две секущие или секущая и касательная. Произведение отрезков одной и той же: PA · PB = PC · PD и PT² = PA · PB.
- Параллельные прямые, пересекающие плоскость, и параллельное проектированиеНайди длины отрезков параллельных прямых, пересекающих плоскость, и отношения отрезков при параллельном проектировании.
- Удвоение медианы и теорема ВариньонаДостраивай чертёж: удвой медиану, получи параллелограмм и докажи неравенство для медианы; соедини середины сторон любого четырёхугольника и посмотри, какая фигура получается.
- Отношение площадей треугольниковСравнивай площади, не вычисляя их: у треугольников с общей высотой площади относятся как основания, медиана делит треугольник на два равновеликих, а вершина на параллельной прямой не меняет площадь.
- Подобие на практике: высота по тени, недоступное расстояниеИспользуй подобные треугольники для измерений на местности: найди высоту дерева по тени, расстояние через реку и отношение площадей подобных фигур. Решения оформляй: Дано, Найти, Решение, Ответ.
- Углы между хордами, секущими и касательнойУгол, вершина которого не лежит на окружности, измеряется дугами: угол между пересекающимися хордами — полусумма дуг, угол между секущими — полуразность дуг, угол между касательной и хордой — половина дуги.
- Две окружности и общие касательныеРасположение двух окружностей определяется расстоянием между центрами d и радиусами R и r: двигай окружность и смотри, сколько общих точек и общих касательных получается.
- Повторение стереометрии 10 классаВыбери верный шаг доказательства о скрещивающихся прямых и реши задачи на угол между прямыми, параллельное проектирование и перпендикуляр к плоскости.
- Проверь себя: многогранники, тела вращения, объёмыТесты с вариантами А, Б, В, Г на площадь боковой поверхности призмы, цилиндра и конуса и на объём шара.
- Многогранники: грани, рёбра, вершиныНайди основания, боковые грани и рёбра пирамиды, призмы и параллелепипеда и сосчитай их грани и рёбра.
- Площадь ортогональной проекции многоугольникаПрименяй теорему о площади проекции: S′ = S · cos φ. Находи площадь проекции и площадь самого многоугольника.
- Где прямая пересекает плоскость и где пересекаются две плоскостиПострой точку пересечения прямой с плоскостью основания куба и прямую пересечения двух плоскостей тетраэдра, пользуясь аксиомами стереометрии.
- Точка, равноудалённая от вершин или сторон многоугольникаЕсли M равноудалена от вершин треугольника, её проекция — центр описанной окружности; если от сторон — центр вписанной. Найди расстояние от M до плоскости.
- Угол, прямой угол, прямоугольник и квадратНазови угол по буквам, найди прямой угол с помощью модели, отличи прямоугольник от других четырёхугольников и квадрат от других прямоугольников.
- Правильные многоугольники: угол, число сторон, построениеНайди число сторон правильного многоугольника по его углу, проверь, существует ли он, и построй шестиугольник хордами, равными R, и 2n-угольник.
- Симметрия и гомотетия в пространствеНайди точку, симметричную данной относительно плоскости, посчитай, во сколько раз растёт объём при гомотетии, и найди все плоскости симметрии куба и шара.
- Многогранники, развёртки и кратчайшие путиВыясни, какие многогранники выпуклые, примени формулу Эйлера, разверни призму и найди кратчайший путь паука по поверхности кирпича.
- Вписанные и описанные телаНайди радиус шара, вписанного в куб или конус и описанного около параллелепипеда, и объём цилиндра, описанного около призмы.
- Построение по клеткамРисуй на клетчатой бумаге, как в тетради: отрезок заданной длины, квадрат, прямоугольник и фигуру с заданным периметром.
- Угольник и фигуры из прямоугольниковЧертим прямой угол и перпендикуляр угольником и находим площадь фигуры, составленной из прямоугольников.
- Постройки из кубиков: план и видыЧитай план постройки с высотами, рисуй вид спереди и вид сверху и находи, сколько самое большее кубиков может быть в постройке.
- Клетчатая бумага: построения, маршрут и площадь по клеткамСтрой прямоугольник по клеткам, измеряй длину маршрута, находи площадь фигуры по клеткам и оценивай площадь круглой фигуры палеткой.
- Угольник, линейка и транспортирПроводи перпендикуляр и параллельную прямую с помощью угольника, измеряй и строй углы транспортиром, проводи высоту треугольника.
- Паркеты и бордюрыСчитай фигуры вокруг точки в паркете, продолжай бордюр сдвигом и симметрией и находи оси симметрии.
- Преобразования одно за другимВыполняй два преобразования подряд, находи кривую, на которой лежат образы движущейся точки, и следи за порядком.
Расположение и движение
6
- Положение, направление и поворотыНайди слева и справа, выше, ниже и между. Потом поверни стрелку на четверть оборота, на пол-оборота и на три четверти оборота.
- координаты и параллельный переносОтмечай точки по координатам, находи недостающую вершину фигуры и переноси фигуры по клеткам.
- Осевая симметрия, поворот и центральная симметрияОтмечай точки во всех четырёх координатных четвертях, отражай фигуры относительно оси, поворачивай их вокруг точки и находи фигуры с центром симметрии.
- Движения и гомотетияПосмотри, какие преобразования сохраняют длины, углы и направление обхода, построй гомотетию с коэффициентом 2 и 12, найди центр гомотетии и узнай, что происходит с площадью.
- Осевая симметрия и поворотПострой фигуру, симметричную данной относительно вертикальной прямой, наклонной прямой и оси x, дострой фигуру по её половине, поверни фигуры вокруг разных точек и найди координаты образа.
- Композиции движений, симметрия и приём с отражениемПознакомься с двумя осевыми симметриями подряд, скользящей симметрией, осями симметрии многоугольника и кратчайшим путём, который находят с помощью симметрии.
Закономерности и последовательности
8
- Повторяющиеся и числовые узорыФигуры и числа, которые подчиняются правилу. Найди закономерность, продолжи её и исправь ошибку.
- Числовые машины и правила последовательностейЧисло входит в машину, а выходит другое. Узнай, что делает машина, а потом найди правило числовой последовательности.
- Формула n-го члена и геометрическая прогрессияСоставь таблицу по узору из спичек, найди формулу n-го члена и с её помощью посчитай спички в 20-й фигуре, не рисуя ее. Потом познакомься с последовательностями, в которых каждый раз умножают.
- Последовательности, n-й член и рекуррентная формулаНаходи члены по обозначению aₙ, строй последовательность по рекуррентной формуле, замечай периодическую последовательность и считай треугольные числа.
- Сигма и суммы рядовЧитай запись со знаком Σ, находи суммы арифметической и геометрической прогрессий и пойми, почему бесконечная сумма может быть числом.
- Особые суммы, разности и моделированиеПострой сумму квадратов, сложи ряд методом разностей, найди n-й член квадратичной последовательности и реши практическую задачу с помощью арифметической прогрессии.
- График последовательности, монотонность и ограниченностьНарисуй последовательность точками (n; aₙ): арифметическая прогрессия ложится на прямую, геометрическая — на кривую. Потом определи, растёт ли последовательность и не уходит ли она за границу.
- Закономерности в числах: цепочки примеров, числа-перевёртыши, числовая пирамидаПродолжай цепочки примеров, находи правило, составляй числа-перевёртыши и находи пропущенное число в числовой пирамиде.
Алгебра
47
- Порядок действий, буквы и формулыВычисляй значения выражений по шагам в правильном порядке. Потом обозначай число буквой и пользуйся формулами.
- Выражения, подобные слагаемые и подстановкаСтрой выражения из алгебраических плиток, приводи подобные слагаемые, убирай нулевые пары, а потом подставляй значение x.
- Решаем линейные уравнения на весахУравнение — это весы в равновесии. Подбирай значения, а потом решай уравнения с x в одной или в обеих частях, с дробями и скобками, делая одно и то же на обеих чашах.
- Составление и решение уравнений по условию задачиОбозначь неизвестное буквой, переведи условие задачи на язык уравнения, реши его и проверь ответ по условию.
- Раскрытие скобок и разложение на множителиПосмотри на скобку как на прямоугольник: раскрой скобки, закрашивая его площадь плитками, а потом иди обратно — найди стороны прямоугольника и разложи выражение на множители.
- Умножение двучленов и тождестваПеремножь две скобки как прямоугольник из плиток и в таблице, посмотри, почему в (a + b)² две полоски ab, и научись отличать тождество от уравнения.
- Неравенства, числовые промежутки и их решениеИзобрази решения неравенства на числовой прямой: закрашенная или выколотая точка, отрезок или луч. Потом решай неравенства и узнай, почему при умножении на отрицательное число знак меняется на противоположный.
- Многочлены: стандартный вид, вычитание, умножениеЗапиши многочлен в стандартном виде, вычти многочлены с раскрытием скобок, умножь трёхчлен на двучлен в таблице и возведи произведение в степень.
- Системы линейных уравненийНайди точку, координаты которой удовлетворяют сразу двум уравнениям: прочитай её по графику в месте пересечения прямых, построй вторую прямую, исключи одну переменную, разберись с параллельными прямыми и получи точный ответ там, где график даёт только приближённый.
- Разложение квадратного трёхчлена и формулы сокращённого умноженияСложи плитки квадратного трёхчлена в прямоугольник и найди его стороны: две скобки. Используй нулевые пары для отрицательных чисел, сначала выноси общий множитель и познакомься с суммой кубов.
- Уравнения с двумя переменными и системы уравненийНайди пары, удовлетворяющие уравнению с двумя переменными, построй его график, составь систему по тексту задачи и найди её решение.
- Алгебраические дробиРазложи на множители числитель и знаменатель алгебраической дроби и сократи целые множители. Найди значения x, при которых дробь не имеет смысла, затем складывай, вычитай, умножай и дели алгебраические дроби, приводя их к общему знаменателю.
- Группировка и кубы: разложение на множителиРаскладывай многочлен из четырёх членов способом группировки, раскладывай сумму и разность кубов и выбирай, с чего начать, когда подходит несколько способов.
- Квадратные уравнения: разложение, полный квадрат, формулаРешай квадратные уравнения разложением на множители, выделяй полный квадрат с плитками, как аль-Хорезми, и по дискриминанту узнавай, сколько у уравнения корней.
- Многочлены и деление многочленовСтепень многочлена и его стандартный вид, а затем деление многочленов: таблицу умножения заполняют в обратную сторону, с остатком и с пропущенными степенями.
- Схема Горнера и целые корни многочленаДели многочлен на x − a таблицей Горнера, находи остаток и целые корни среди делителей свободного члена.
- Метод интервалов: рациональные неравенстваНайди, где выражение положительно, а где отрицательно: отметь нули, заполни таблицу знаков под числовой прямой и прочитай решение неравенства, например x − 1x + 2 ≥ 0.
- Неравенства с двумя переменными и области на плоскостиПроведи граничную прямую, сделай её сплошной или пунктирной, проверь точку и заштрихуй область; потом найди область, где верны сразу два или три неравенства.
- Числовые неравенства и их свойстваСравни числа по знаку разности a − b, докажи неравенства, сложи неравенства почленно и оцени значение выражения.
- Системы линейных неравенств с одной переменнойРеши каждое неравенство системы, изобрази решения на прямой и найди их общую часть: отрезок, одно число или пустое множество.
- Системы уравнений с двумя переменнымиНайди решения системы с уравнением второй степени как общие точки графиков, реши её способом подстановки и составь систему по условию задачи.
- Системы уравнений: способ подстановкиПодставь выражение для одной переменной во второе уравнение, сохрани скобки, сначала вырази одну переменную и проверь ответ по графику и в обоих уравнениях.
- Дробно-рациональные и иррациональные уравненияРешай уравнения с дробями и уравнения с квадратными корнями и отбрасывай посторонние корни с помощью проверки.
- Теорема Виета, замена переменной, прямая и параболаНайди сумму и произведение корней по коэффициентам, реши уравнение с x в четвёртой степени заменой переменной и найди точки пересечения прямой и параболы.
- Теорема Безу, корни многочлена и формулы ВиетаНайди остаток без деления, определи делитель по теореме Безу, найди корни кубического уравнения и коэффициенты по корням.
- Квадратные неравенства: метод интерваловРаскрой квадратный трёхчлен на множители, определи знаки на промежутках и запиши решение неравенства на числовой прямой.
- Преобразование формулВырази из формулы одну букву: выполняй те же действия, что и на весах, но с буквами.
- Бином Ньютона для любого показателя: приближённые вычисленияИспользуй первые члены разложения бинома, чтобы приближённо вычислять корни и числа, обратные числам, близким к 1.
- Парабола через три точкиСоставь и реши систему трёх линейных уравнений с неизвестными a, b, c и проверь параболу по графику.
- Уравнения: правило нахождения неизвестного компонентаСоставь уравнение по тексту, реши его по правилу нахождения неизвестного компонента и сделай проверку подстановкой. Раздел: 3–4 классы, уравнения с неизвестным компонентом.
- Действия с рациональными дробями: вычитание, противоположные знаменатели, степень, тождестваВычитай рациональные дроби со сменой знаков, находи дополнительные множители, работай с противоположными знаменателями, возводи дробь в степень и доказывай тождества, как в учебнике 8 класса.
- Равносильные уравнения, рациональные уравнения и текстовые задачиУзнай, что такое равносильные уравнения и посторонний корень, реши рациональное уравнение с проверкой и составь уравнение для задач на движение и работу.
- Неполные квадратные уравнения и квадратный трёхчленРешай три вида неполных квадратных уравнений, находи корни квадратного трёхчлена и раскладывай его на множители с учётом старшего коэффициента.
- Формулы, уравнения и корень уравненияИспользуй формулу пути, находи неизвестный компонент действия, проверяй корень подстановкой, переноси слагаемые с противоположным знаком и узнай, когда у уравнения ax = b нет корней. Раздел: 5–7 классы, формулы, корень уравнения, ax = b; уравнения 3–4 классов в другой студии.
- Системы уравнений как модели текстовых задачПереведи задачи на движение, работу, цифры и прямоугольники на язык уравнений: обозначь неизвестные x и y, составь систему, реши её и проверь, что ответ подходит по смыслу задачи.
- Выражения с переменнойБуква вместо окошка даёт выражение с переменной. Подставь значение переменной и найди значение выражения. 2–3 класс.
- Неравенства с переменной: как компонент влияет на результатРеши неравенства с переменной двумя способами: подбором и сведением к уравнению. Запиши ответ с многоточием. Российские 3–4 классы.
- Метод интерваловОтметь корни на числовой прямой, расставь знаки на промежутках и прочитай решение неравенства, например (x + 1)x − 4x − 2 ≤ 0.
- Задачи с параметромПараметр — это число, которое не задано, но фиксировано. Смотри на график и разбирай случаи: при каких a у уравнения есть корни и сколько их.
- Умножение и деление алгебраических дробейУмножай и дели рациональные дроби: раскладывай на множители, сокращай, заменяй деление умножением на обратную дробь и не забывай, при каких значениях переменной дробь не имеет смысла.
- Целая часть дроби и уравнения в целых числахВыделяй целую часть алгебраической дроби, находи последнюю цифру и остатки степеней по циклу и решай уравнения в целых числах.
- Квадратное уравнение с параметромДвигай ползунок a и смотри, как парабола поднимается и опускается: сколько корней у уравнения зависит от дискриминанта, а знаки корней — от теоремы Виета.
- Иррациональные неравенства и равносильные системыРеши неравенство с корнем, переходя к равносильной системе с учётом ОДЗ и знака правой части.
- Системы и совокупности неравенств; показательные и логарифмические системыРазличай «и» (система, пересечение) и «или» (совокупность, объединение), решай смешанные системы и системы показательных и логарифмических уравнений.
- Текстовые задачи: смеси, сплавы, процентыСоставь таблицу «было / стало» для раствора, сплава и цены, подбери x так, чтобы условие выполнилось, и проверь, подходит ли ответ по смыслу задачи.
- Строение выражения и порядок действийНазови последнее действие в выражении, выполни действия в правильном порядке и расставь скобки так, чтобы получить нужное значение.
- Уравнения с «окошком» и обратные действияЗапиши условие задачи как равенство с «окошком», найди число с помощью обратного действия, реши числовую загадку «с конца» и сделай проверку подстановкой.
Координаты
12
- Угловой коэффициент и уравнение прямой y = kx + bИзмерь наклон прямой с помощью треугольника-ступеньки, задай k и b ползунками, построй прямую по таблице значений и найди уравнение прямой, проходящей через две точки.
- Уравнение прямой, параллельные прямые и перпендикулярные прямые, расстояние и середина отрезкаПриведи общее уравнение прямой к виду y = kx + b, построй параллельную и перпендикулярную прямые, найди расстояние между двумя точками по теореме Пифагора и середину отрезка как среднее арифметическое.
- Деление отрезка в данном отношении и расстояние от точки до прямойНайди точку, которая делит отрезок в данном отношении, и вычисли расстояние от точки до прямой по формуле.
- Площадь треугольника по координатам и геометрические задачиНайди площадь треугольника по координатам трёх вершин и решай геометрические задачи методом координат.
- Окружность: уравнение, прямая и окружность, касательнаяСоставь и прочитай уравнение окружности, найди общие точки прямой и окружности и поработай с касательной и её длиной.
- Парабола: фокус, директриса и уравнениеУзнай параболу как множество точек, равноудалённых от фокуса и директрисы, и прочитай её уравнение с вершиной в начале координат и в любой точке.
- Эллипс, гипербола и параболаНайди фокусы эллипса и гиперболы по уравнению, построй эллипс с центром в любой точке, проведи асимптоту гиперболы и проверь прямую относительно параболы.
- Параметрические уравнения и полярные координатыПострой кривую по параметрическим уравнениям по точкам, исключи параметр, смоделируй движение и перейди от полярных координат к декартовым.
- Угловой коэффициент прямой и коллинеарные векторыНайди угловой коэффициент k по углу наклона прямой (k = tg α, в том числе для тупого угла α), перпендикулярные прямые и вектор, коллинеарный данному.
- Прямая и оси координат: треугольник, периметр и площадьНайди точки пересечения прямой ax + by = c с осями, периметр и площадь треугольника, который она отсекает, и точку пересечения двух прямых.
- Площадь через определительВычисли площадь параллелограмма и треугольника по векторам и координатам с помощью определителя второго порядка.
- Координаты точки в пространствеОпредели, где лежит точка, затем найди по координатам расстояние между двумя точками, середину отрезка и симметричную точку.
Функции и графики
32
- Соответствия, упорядоченные пары и функцииИзобрази соответствие схемой со стрелками, отметь его упорядоченные пары на плоскости, реши, какие соответствия являются функциями, и проверь график вертикальной прямой.
- Графики в жизни: скорость и ростПрочитай по графику движения остановки и скорости, построй график прогулки, подбери график к заполняемой бутылке и сравни удвоение с равномерным ростом.
- Графики квадратичной функцииЗаполни таблицу для y = x2 − 2x − 3 и построй график. Пойми, почему низ параболы круглый, найди по графику корни уравнения, точку пересечения с осью Oy и вершину параболы. Посмотри, как коэффициент a влияет на график y = ax2.
- Запись функции, область определения и множество значенийНаходи значения f(x) по формуле, находи x по значению функции, записывай область определения дроби и квадратного корня и читай множество значений по графику.
- Функции «модуль» и «целая часть»Увидь модуль в таблице и на графике, реши уравнение с модулем как два пересечения с прямой, прочитай ступеньки функции «целая часть числа» и построй график стоимости такси, которая растёт ступеньками.
- Возрастание, убывание, чётные и нечётные функцииНайди промежутки, на которых график поднимается или опускается, отрази точки относительно оси ординат и начала координат и с помощью f(−x) проверь, чётная функция, нечётная или ни та ни другая.
- Сумма, композиция и обратная функцияСложи две функции, сохрани порядок в сложной функции, найди обратную функцию, «развернув» шаги вычислений, построй график обратной функции симметрией относительно y = x и по горизонтальной прямой определи, у каких функций есть обратная.
- Сдвиг, отражение и растяжение графиковДвигай график y = (x − h)² + k ползунками, читай вершину параболы, посмотри, куда f(2x) переносит точку, и совмещай несколько преобразований на одной параболе.
- Кубическая функция, эскиз многочлена и асимптотыЗаполни таблицу значений кубической функции и построй точки, набросай график многочлена по его корням и точке пересечения с осью Oy, проведи вертикальную и горизонтальную асимптоты дробно-рациональной функции.
- Линейная функция: формула, таблица, графикЗадай функцию формулой, таблицей и графиком, построй прямую по k и b, найди нуль функции и промежуток, где функция положительна.
- Квадратичная функция и свойства функцийНайди вершину параболы по формуле, читай свойства функции по графику, реши квадратное неравенство графически и построй графики y = |f(x)| и y = f(|x|).
- Число e, рост и убываниеУзнай, почему (1 + 1n)n приближается к числу e, наложи график y = a·ex на заданную кривую и составь модели роста и убывания.
- Показательная функция с любым основанием и показательные уравненияЗаполни таблицу значений 2^x, убедись, что при основании больше 1 кривая возрастает, а при основании между 0 и 1 убывает, и реши показательное уравнение, записав обе части в виде степени с одним основанием.
- Логарифм и таблицы логарифмовПойми, что логарифм — это показатель степени, в которую возводят основание, построй график логарифма как отражение графика показательной функции и найди десятичные логарифмы по таблице: характеристика, мантисса, антилогарифм.
- Свойства логарифмов и уравненияУвидь правила логарифма произведения и степени, реши логарифмическое уравнение и выпрями данные с помощью логарифмов.
- Кусочные функции, знак числа и модульЧитай кусочно-заданную функцию, построй график знака числа, построй y = |x − 1| + 2 сдвигом «галочки» и читай неравенства с модулем по графику.
- Наибольшее и наименьшее значения, степенные функцииНайди наибольшее и наименьшее значения функции на множестве, сравни графики y = xⁿ при чётном и нечётном n и познакомься с графиком y = x⁻ⁿ.
- Сдвиг гиперболыДвигай гиперболу с помощью b и c, читай асимптоты, область определения и область значений и вычисляй точку пересечения с осью y.
- Семейства прямых и параболДвигай параметр семейства, найди линию, на которой лежат все вершины, и реши задачу о касании с помощью дискриминанта.
- Показательные уравнения и неравенства: методыВынеси общий множитель, сделай замену t = 2ˣ, найди корень по графику и определи, когда неравенство сохраняет знак.
- Функции y = k/x и y = √x и их графикиПострой гиперболу по таблице, определи, в каких координатных четвертях лежат её ветви, найди k по точке и построй график y = √x.
- Основное логарифмическое тождество, переход к новому основанию, логарифмическая функцияПользуйся основным логарифмическим тождеством, переходи к новому основанию и сравнивай логарифмы с основанием от 0 до 1. Раздел: логарифмы и логарифмическая функция, 10 класс; логарифмические уравнения — в другой студии.
- Логарифмические уравнения и неравенстваРеши уравнения с суммой логарифмов, проверь корни по ОДЗ, сделай замену t = lg x, найди переменное основание и реши неравенство с основанием между 0 и 1.
- Функция y = x² и её графикСоставь таблицу значений для y = x², отметь точки, узнай свойства графика и реши уравнения x² = 4 и x² = x + 2 по графику.
- Свойства функции по графикуПо графику функции на отрезке [−4; 7] найди нули, промежутки знакопостоянства, промежуток возрастания и наибольшее значение. Тема из курса алгебры: чтение свойств функции по графику.
- Графики функций y = ⁿ√x и степени с рациональным показателемСравни графики ³√x, ⁴√x и √x, найди область определения корня n-й степени и степени с рациональным показателем и сравнивай числа с помощью монотонности.
- Рост и убывание: B(t) = B0 · q^tОтличи линейную, квадратичную и показательную таблицы, найди время удвоения и период полураспада с помощью логарифма и посмотри, где показательная модель перестаёт быть реалистичной.
- Многочлены: поведение на концах, нули и формулаОпределяй поведение графика на концах по степени и старшему коэффициенту, отличай простые нули от двукратных, решай биквадратное уравнение и находи формулу по графику.
- Задачи на наибольшее значение без производнойСоставь целевую функцию для огороженного прямоугольника, прямоугольника в треугольнике и коробки и найди наибольшее значение по вершине параболы или по таблице. Укажи область определения переменной.
- Семейства функций и их параметрыСдвигай степенные и показательные функции ползунками, находи область определения, область значений и асимптоту, строй обратную функцию как отражение и подбирай формулу по графику.
- Дробно-рациональные функцииОтличай вертикальную асимптоту от выколотой точки, читай пределы, находи асимптоты и составляй формулу по свойствам.
- Формула функции по условиямПереведи свойства графика в уравнения для f, f′ и f″, найди параметры и геометрическое место точек экстремума семейства функций.
Векторы
16
- Направленные отрезки, векторы и параллельный переносРисуй векторы от начала к концу и записывай их координаты, находи равные и противоположные векторы и выполняй параллельный перенос фигуры на вектор.
- Сложение векторов, умножение вектора на число, координатные векторыСкладывай векторы по правилу треугольника и по правилу параллелограмма, вычитай один вектор из другого, растягивай и поворачивай вектор умножением на число и записывай любой вектор через i и j.
- Векторы в движенииСложи перемещения робота в одно перемещение, верни его домой противоположным вектором и посмотри, как течение реки меняет путь пловца.
- Векторы в пространстве: длина, расстояние и направляющие косинусыВектор в пространстве — диагональ прямоугольного параллелепипеда. По координатам найди длину вектора, расстояние между двумя точками, середину отрезка и косинусы углов с осями.
- Скалярное и векторное произведение векторовСкалярное произведение двух векторов — число, которое подсказывает угол между ними; векторное произведение — вектор, перпендикулярный обоим. Вычисли оба и применяй их.
- Площадь и объём с помощью векторного произведенияДлина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на них. С тремя векторами определитель даёт объём параллелепипеда.
- Уравнения прямой и плоскости в пространствеПрямая в пространстве задаётся точкой и направляющим вектором, а плоскость — точкой и вектором нормали. Запиши их уравнения и проверь, какие точки им принадлежат.
- Углы, пересечения и расстояния в пространствеНайди угол между прямой и плоскостью, точку пересечения прямой и плоскости, расстояние от точки до плоскости и угол между двумя плоскостями с помощью скалярного произведения и уравнений.
- Векторы в доказательствах и задачахНайди центр масс точек с разными массами, докажи векторами теорему о средней линии треугольника и реши задачи на скорость и на параллелограмм, рисуя векторы.
- Вектор на плоскости: координаты, длина, скалярное произведениеНаходи координаты и длину вектора, скалярное произведение по координатам и через угол, условие перпендикулярности векторов и угол между векторами.
- Скалярное произведение векторов: длины, угол, координатыНайди скалярное произведение по длинам и углу, возведи в квадрат сумму векторов, найди косинус угла между векторами и угол треугольника по координатам вершин.
- Векторы в пространстве: сумма, умножение на число, коллинеарные и компланарные векторыСкладывай векторы по правилу параллелепипеда и по координатам, умножай вектор на число и узнай, когда три вектора лежат в одной плоскости.
- Векторы в призме и кубе: равные, сумма, коллинеарныеРазличай равные, сонаправленные и противоположно направленные векторы на призме, складывай векторы по правилу треугольника, выражай один вектор через другие и находи коллинеарные векторы по координатам.
- Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамЛюбой вектор на плоскости можно составить из двух неколлинеарных векторов: p = xa + yb. Построй части разложения на сетке, найди коэффициенты, разложи вектор AM в параллелограмме и найди длину проекции вектора.
- Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространствеПроверка принадлежности точки прямой, вектор нормали через векторное произведение, взаимное расположение двух прямых и точка пересечения прямой с плоскостью.
- Расстояния в пространствеРасстояние от точки до плоскости по формуле, основание перпендикуляра, параллельные плоскости и скрещивающиеся прямые.
Тригонометрия
20
- Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольникаУвеличивай и уменьшай прямоугольный треугольник с углом 35° и посмотри: стороны меняются, а их отношение — нет. Потом найди противолежащий и прилежащий катеты и гипотенузу для каждого угла, а также сторону и угол по таблице Брадиса, без калькулятора.
- Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°Раздели пополам равносторонний треугольник и квадрат и найди точные значения синуса, косинуса и тангенса для 30°, 45° и 60°, свяжи тангенс с угловым коэффициентом прямой и реши уравнение вроде sin x = 12.
- Углы любой величины, единичная окружность и радианыПоворачивай точку по единичной окружности на углы больше 90°, в том числе отрицательные, считывай синус и косинус по её положению, измеряй угол в радианах и находи точные значения, например sin7π6.
- Приведение углов, длина дуги и площадь сектораОтрази точку на единичной окружности и посмотри, как связаны синус и косинус углов α и 180° − α, с помощью острого угла найди cos 120°, а затем вычисли длину дуги и площадь сектора, выразив угол в радианах.
- Графики синуса и косинуса, период и амплитудаЧитай графики синуса и косинуса: где косинус равен нулю, как меняются период и наибольшее значение у y = sin 2x и y = 2sinx + 1, и как по тем же кривым читаются секанс и арксинус.
- Тригонометрические тождества и доказательствоС помощью sin2α + cos2α = 1 и tgα = sinαcosα найди одну функцию по другой, найди неверную строку в «доказательстве» и узнай, что считается доказательством тождество.
- Формулы сложения, двойного и тройного угла, сумма и произведениеПрименяй формулы сложения с точными значениями, чтобы найти sin 75°, потом работай с двойным и тройным углом, преврати сумму синусов в произведение и запиши √3sinx + cos x в виде одного синуса.
- Тригонометрические уравнения: квадратные и системыРеши тригонометрические уравнения, найдя все углы от 0° до 360°: tg x = −1, квадратные уравнения относительно sin x или cos x (в одном нужна сначала тригонометрическая формула) и систему двух уравнений с неизвестными x и y.
- Теоремы синусов, косинусов и тангенсов; задачи в пространствеРеши треугольники, нарисованные в масштабе, с помощью теорема синусов, теорема косинусов и теоремы тангенсов, а затем найди угол в прямоугольном параллелепипеде, используя прямоугольные треугольники.
- Площадь треугольника: синус, формула Герона и окружностиНайди площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними или по трём сторонам с помощью формулы Герона, а потом по площади найди радиусы вписанной и описанной окружностей.
- Тангенс: график, область определения и периодПрочитай график y = tan x: знак в каждой четверти, где тангенс не определён, период и решения уравнения tan x = 1.
- Чётность и формулы приведенияВыясни, что синус, тангенс и котангенс — нечётные функции, а косинус — чётная, а затем примени правило приведения: когда функция меняет название и какой знак получает.
- Свойства тригонометрических функцийПрочитай по графикам свойства синуса, косинуса и котангенса: период, чётность, нули, промежутки убывания, область определения и множество значений.
- Общие решения тригонометрических уравненийПрямая y = b пересекает график синуса, косинуса или тангенса в бесконечном числе точек. Запиши все решения одной формулой с n ∈ Z, а в уравнении, которое сводится к квадратному, отбрось корень, который невозможен.
- Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180°Определи синус и косинус по координатам точки на единичной полуокружности, найди значения для тупых углов и воспользуйся тождеством sin²α + cos²α = 1.
- Решение треугольниковРеши треугольник в четырёх случаях: по стороне и двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам и по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них. Раздел: 9 класс, решение произвольных треугольников; прямоугольные треугольники — в студии 8 класса.
- Следствия из теоремы косинусовВид треугольника по его наибольшей стороне (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный), сумма квадратов диагоналей параллелограмма и задача о сторонах AB и BC. Тема из курса геометрии 9 класса: «Теорема косинусов».
- Котангенс, тождества и решение прямоугольных треугольниковИзучи котангенс и основное тригонометрическое тождество, реши прямоугольные треугольники по гипотенузе и углу или по двум катетам и решай практические задачи. Тема 8 класса, прямоугольные треугольники; произвольные треугольники — в студии для 9 класса.
- Тригонометрические неравенства и отбор корнейНайди по графику, где синус или косинус больше или меньше числа, и отбери корни уравнения на заданном отрезке.
- f(x) = a · sin(b · (x + c)) + dМеняй амплитуду, среднюю линию, период и сдвиг синусоиды, верно читай сдвиг в скобке и применяй модель к приливу.
Статистика
32
- Сбор данных, палочки и пиктограммыСпроси класс, посчитай ответы палочками и нарисуй пиктограмму.
- Столбчатые диаграммы и графикиПострой по таблице столбчатую диаграмму и график, прочитай их и выбери подходящую диаграмму для вопроса.
- Палочки, действия с палочками и картинная диаграмма с десяткамиРаскладывай и считай с помощью палочек, складывай и вычитай по палочкам и построй картинную диаграмму, где одна картинка — это 10.
- Круговые диаграммы и среднее арифметическоеРаскрашивай и читай круговые диаграммы, выравнивай столбики, чтобы найти среднее арифметическое, и отличай числовые данные от данных, выраженных словами.
- Мода, медиана, среднее и размахРасставь карточки с данными по порядку, чтобы найти медиану, найди моду и размах по точечной диаграмме, посмотри, как сдвигается среднее, когда меняется одно значение, и выбери лучшую среднюю величину.
- Выбросы и сравнение двух наборов данныхСравни прыжки в длину с места в двух классах по средней величине и размаху, отодвинь одно значение далеко и посмотри, как меняются среднее, медиана и размах, и реши, ошибка выброс или настоящее значение.
- Группировка данных, гистограммы и полигоны частотРазложи значения роста по равным интервалам, составь таблицу частот с относительными частотами, построй гистограмму, у которой столбики соприкасаются, и соедини середины интервалов в полигон частот.
- Среднее для сгруппированных данных и накопленная частотаОцени среднее арифметическое сгруппированных данных с помощью столбца «середина · частота», правильно объедини средние двух классов, заполни столбец накопленной частоты, построй график и найди по нему медиану.
- Парные данные и диаграммы рассеиванияОтмечай пары данных, определи вид данных, опиши корреляцию, проведи прямую наилучшего приближения, делай по ней прогноз и отличай корреляцию от причины и следствия.
- Генеральная совокупность, выборка и сбор данныхСделай случайные выборки из 10 и из 50 учеников школы, где учится 600 человек, и сравни их со всей школой. Найди непредставительную выборку и выбери правильный способ сбора данных для каждого вопроса.
- Дополнительно: среднее абсолютное отклонениеПосмотри, как далеко каждая точка от среднего, найди среднее этих расстояний, узнай, почему разности со знаками всегда дают в сумме ноль, и сравни два набора данных по разбросу.
- Квартили и диаграмма размахаРаздели упорядоченные данные на четыре равные части, найди Q₁ и Q₃, отметь пять чисел диаграммы размаха и измерь среднюю половину данных межквартильным размахом.
- Дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариацииИзмерь разброс данных по квадратам расстояний до среднего: дисперсия, стандартное отклонение и коэффициент вариации для сравнения разброса в разных единицах.
- Форма данных и нормальная криваяОпредели по гистограмме, симметрично распределение или скошено, посмотри, как скошенность сдвигает среднее относительно медианы, и применяй правило 68–95–99,7 для данных колоколообразной формы.
- Корреляция и прямая регрессииОпредели силу корреляции по r, найди среднюю точку, задай прямую регрессии с угловым коэффициентом и свободным членом и сделай прогноз внутри данных.
- Диаграммы «ствол и листья» и временные рядыЗапиши данные в диаграмму «ствол и листья» и прочитай её, потом построй временной ряд в виде линейного графика и сгладь его скользящим средним.
- Классы разной ширины и данные о двух признакахПострой гистограмму с классами разной ширины по плотности частоты, найди частоту по столбику и прочитай два признака одних и тех же людей на одном графике.
- Черта бедности, индекс цен и инфляцияНайди черту бедности по медиане доходов, вычисли индекс цен и посмотри, что делает инфляция.
- Тенденция, интерполяция и экстраполяцияОпредели закономерность и тенденцию в ряду данных по времени, оцени значение между известными данными (интерполяция) и за их пределами (экстраполяция).
- Сбор данных, масштаб и линейные графикиПодсчитай палочками ответы опроса, выбери удобный масштаб оси и прочитай линейный график температуры за 12 месяцев.
- Проценты в статистике и вероятностиЗапиши результат опроса в процентах, найди процент по углу сектора круговой диаграммы, построй процентную круговую диаграмму и запиши вероятность в процентах.
- Виды признаков, сбор данных и оценкаРазличай качественные и количественные, дискретные и непрерывные признаки, составляй расслоенную выборку, находи корректный вопрос анкеты и прикидка среднее генеральной совокупности по выборке.
- Таблицы данных: читаем и заполняемПрочитай простую таблицу, найди наибольшее значение, вычисли разность и заполни таблицу по данным.
- Группировка по признакуРазложи предметы на группы по цвету и по форме, сосчитай каждую группу и найди самую большую.
- Расписание: уроки и поездаЧитай расписание уроков и поездов: когда заканчивается урок, сколько длится перемена и поездка, какой поезд выбрать.
- Проверка простейших гипотез, ковариация и метод наименьших квадратовРеши, сколько орлов делают гипотезу о симметричной монете неправдоподобной, вычисли ковариацию и коэффициент корреляции для пяти точек и найди прямую, у которой сумма квадратов отклонений наименьшая.
- Общий признак и классификацияНайди общий признак набора, разложи фигуры на группы по двум признакам сразу и найди лишнюю.
- Читаем данные критическиСравнивай группы, замечай эффект Симпсона, оценивай выборку, отличай проценты от процентных пунктов, а связь между величинами — от причины.
- Частота и относительная частотаСоставь таблицу по результатам опроса, найди относительные частоты в виде дроби, десятичной дроби и процентов и сравни группы разного размера.
- Обманчивые диаграммыЗамечай диаграммы, создающие неверное впечатление (обрезанная ось, картинки разного размера), строй их честно и выбирай заголовки, которые подтверждают данные.
- Обманчивые диаграммы и выборкиПосмотри, как обрезанная ось меняет график, выбери диаграмму для утверждения, оцени, представительна ли выборка в опросе, и увидь, что одно и то же среднее может скрывать очень разный разброс.
- Нормальное распределение и правило сигмЗадай μ и σ для кривой Гаусса и пользуйся правилом сигм: 68,3 %, 95,4 % и 99,7 %.
Вероятность
18
- Шанс: достоверное, случайное, невозможноеДоставай фишки из мешочка, крути рулетку и бросай игральный кубик. Определи, какое событие достоверное, какое случайное, а какое невозможное.
- Частота и вероятностьКрути рулетку, бросай крышку от бутылки и игральный кубик: 10 раз, 100 раз, 1000 раз. Посмотри, как относительная частота приближается к вероятности.
- Элементарные события, сочетания опытов и противоположное событиеПеречисли все исходы для монеты и рулетки, для двух монет и для двух кубиков. Найди благоприятные клетки в таблице 6 · 6 и вычисли вероятность того, что событие не произойдёт, через вероятность того, что оно произойдёт.
- Диаграммы Эйлера, события и таблицы с двумя входамиРаспредели класс из 30 учеников по футболу и шахматам на диаграмма Эйлера, переведи те же данные в таблица с двумя входами и обратно, посмотри на события как на множества и найди вероятности событий «или» по правилу сложения.
- Дерево вариантов, правило умножения и независимые событияСтрой деревья, чтобы сосчитать наряды и места в забеге, пиши вероятности на рёбрах, умножай вдоль пути, складывай пути и посмотри, что меняется, когда бусину не возвращают в мешочек.
- Правила вероятности, геометрическая вероятность и ожидаемое числоСкладываем вероятности несовместных событий, проверяем, какой набор чисел может быть набором вероятностей, находим вероятность как часть длины и предсказываем, сколько раз что-то произойдёт.
- Условная вероятностьС помощью таблицы, диаграммы Эйлера и дерева найдём вероятность одного события, когда другое уже известно, поймём, почему важен порядок слов «при условии», и познакомимся с зависимыми событиями.
- Независимые события и формула полной вероятностиПроверим по таблице, независимы ли два события, поймём, почему несовместные события не бывают независимыми, и сложим пути дерева, чтобы найти вероятность исхода, который может получиться несколькими способами.
- Случайная величина и математическое ожиданиеПоставим в соответствие каждому исходу бросания двух кубиков число, найдём вероятности значений этого числа, вычислим среднее значение при бросании кубика и решим, сколько стоит игра за один бросок.
- Неравные шансы и формула БайесаДадим каждому исходу свой вес и сложим веса. Потом прочитаем дерево в обратную сторону: найден бракованный болт, какой станок его сделал?
- Биномиальное распределение и распределение ПуассонаПосчитаем пути дерева, которые дают ровно k успехов, увидим, откуда берётся формула Бернулли, и применим формулу Пуассона к событиям, которые происходят случайно.
- Нормальное распределение и стандартизацияОтметим на числовой прямой расстояния от среднего в стандартных отклонениях, применим правило трёх сигм, вычислим стандартное значение z и найдём вероятность в «хвосте».
- Выборочное среднее, выборочная доля и центральная предельная теоремаУбедимся, что средние значения выборок разбросаны гораздо меньше, чем отдельные значения, найдём стандартную ошибку среднего и доли и применим центральную предельную теорему, чтобы найти вероятность.
- Дисперсия случайной величины, геометрическое распределение и неравенство ЧебышёваВычисляй дисперсию по таблице распределения, находи дисперсию суммы независимых величин, считай вероятность «до первого успеха» и оценивай отклонение от среднего по неравенству Чебышёва.
- Геометрическая вероятность, плотность и непрерывные случайные величиныНаходи вероятность попадания случайной точки в часть фигуры, отрезка или дуги как отношение мер, пойми плотность распределения и познакомься с равномерным и показательным распределениями.
- Вероятность и сочетанияНаходим вероятность события по формуле P(A) = m : n, когда число исходов выбора считают с помощью сочетаний Cₙᵏ и размещений Aₙᵏ.
- Оценка числа π случайными точками и полоскамиПосчитай случайные точки в четверти круга, чтобы оценить π, посмотри, как разброс уменьшается с ростом числа точек, и сравни с методом полосок.
- Односторонняя проверка гипотезыЗапиши H₀, найди критическую область на уровне значимости 5 %, оцени ошибку первого рода и правильно прочитай результат.
Множества и логика
23
- Множества: элементы, подмножества, объединение, пересечение и дополнениеРаскладывай карточки с числами по кругам диаграммы Эйлера, записывай множества в фигурных скобках, закрашивай объединение, пересечение и разность и считай с помощью диаграммы.
- Размещения и группы: перестановки и сочетанияВырасти дерево вариантов, чтобы посчитать, кто может занять первое и второе места, выстраивай друзей в ряд, а потом пойми, почему группы людей считают реже, чем упорядоченные наборы.
- Бином Ньютона и треугольник ПаскаляРассмотри (a + b)³ как три скобки и сосчитай пути, дающие каждое слагаемое, прочитай коэффициенты в треугольнике Паскаля и пользуйся ими для разложений с числами.
- Считаем без повторов и принцип ДирихлеСосчитай учеников в двух кружках, не считая дважды тех, кто ходит в оба, сосчитай числа, кратные 2 или 3, а потом по принципу Дирихле убедись, что два предмета попадут в одну «клетку».
- Предложения с переменной, подмножества и законы множествОтличай утверждение от предложения с переменной, находи множество решений, считай подмножества и проверяй законы распределительности и поглощения на диаграмме Эйлера.
- Высказывания, «и», «или», «не» и «если …, то …»Определи, какие предложения являются высказываниями, правильно пользуйся словами «и», «или», «не», проверь обещание «если …, то …» и найди утверждение, противоположное обратному.
- Кванторы, верные рассуждения и законы де МорганаОтрицай слово «все», изображай утверждение «каждое число, кратное 6, кратно и 3», отличай верные рассуждения от неверных и применяй законы де Моргана к множествам.
- Доказательство: прямое, по случаям, от противного и по индукцииДокажи алгеброй, что сумма двух нечётных чисел чётна, проверь утверждение, разбив его на случаи, докажи от противного, что наибольшего чётного числа не существует, и сделай шаг индукции для нечётных чисел.
- Упорядоченные пары, отношения и эквивалентностьОтметь на плоскости декартово произведение A · B, выдели отношение, переверни его, чтобы получить обратное, и пойми, почему «одинаковый остаток» — отношение эквивалентности.
- Подсчёт с повторами: расположения, группы и «звёздочки и палочки»Расставь шарики одного цвета в ряд, посчитай коды с повторяющимися цифрами, распредели учеников по комнатам и сосчитай букеты цветов методом «звёздочек и палочек».
- Запись множеств по условию и сравнение бесконечных множествУзнавай ℕ, ℤ, ℚ и ℝ, записывай элементы множества по его условию, записывай условие для множества и пойми, почему чётных чисел «столько же», сколько натуральных.
- Биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля и доказательство подсчётомРаздели группу друзей на два вида, докажи правило Паскаля подсчётом и пойми, почему сумма чисел в каждой строке — степень числа 2.
- Графы: вершины, рёбра и степень вершиныЧитай граф: находи степень каждой вершины, сравнивай сумму степеней с числом рёбер и узнай, почему некоторых графов не существует.
- Графы: доминирующие множестваРасставь станции так, чтобы каждая точка карты была охвачена, и найди наименьшее число станций: число доминирования графа.
- Правила суммы и произведения, Pₙ, Aₙᵏ и CₙᵏОтличай правило суммы от правила произведения, вычисляй перестановки, размещения и сочетания по формулам и решай уравнения с факториалами.
- Комбинаторные задачи: перебор, дерево и правило умноженияНайди все способы распределить трёх девочек по этажам, построй дерево вариантов и узнай, почему число способов находят умножением.
- Правило суммы и правило произведенияСколькими способами можно выбрать «a или b» и «a и b»: правило суммы, правило произведения, пары (a; b), схема путей и задачи о цифрах.
- Верно или неверноЧитай утверждения про фрукты на рисунке со словами «все», «каждый», «есть» и решай, верны они или нет.
- Если..., то...Вычёркивай числа по подсказкам, делай выводы из правил «если..., то...» и строй цепочки рассуждений.
- Ориентированные графы и задачи с помощью графовЧитай ориентированные графы, считай рукопожатия и игры в турнире и находи кратчайший маршрут, превращая задачу в граф.
- Связность, цепи, циклы и обход графаСчитай компоненты связности, находи вершины нечётной степени и решай, можно ли обойти граф, не отрывая карандаша.
- Необходимые и достаточные условияУзнавай, когда условие необходимо, когда достаточно, а когда и то и другое, и опровергай неверное утверждение контрпримером.
- Дерево и плоские графыУзнавай деревья, считай рёбра дерева и остовное дерево, считай грани плоского графа по формуле Эйлера.
Комплексные числа
4
- Комплексные числа: i, сложение, умножение, делениеПознакомься с числом i, для которого i² = −1, складывай комплексные числа как точки плоскости, умножай их как скобки и дели с помощью сопряжённого числа.
- Квадратные уравнения и многочлены с комплексными корнямиПойми, почему уравнение x² + 4x + 13 = 0 не имеет действительных корней, решай уравнения с комплексными корнями, отмечай корни на плоскости и находи недостающий корень кубического многочлена.
- Комплексная плоскость: модуль, аргумент и поворотИзображай комплексные числа точками комплексной плоскости, находи их модуль и аргумент, отражай относительно действительной оси и умножай поворотом с растяжением.
- Степени, корни и окружности на комплексной плоскостиПользуйся e^{iθ} как точкой единичной окружности, возводи числа в степень по формуле Муавра, находи четыре корня числа как вершины квадрата и строй окружность по условию |z − c| = r.
Матрицы
6
- Матрицы: размер, элементы и особые видыЧитай матрицу как таблицу: находи элемент по номерам строки и столбца, называй размер матрицы и составляй нулевую, единичную и диагональную матрицы.
- Сложение, умножение на число, умножение и транспонирование матрицСкладывай и вычитай матрицы одного размера, умножай матрицу на число, умножай строку на столбец и превращай строки в столбцы.
- ОпределителиВычисляй определители 2 · 2 и 3 · 3, узнай, что будет, если поменять местами строки, и посмотри, как определитель меняет площади.
- Обратные матрицы и решение системНайди обратную матрицу 2 · 2 по определителю, обратную матрицу 3 · 3 действиями со строками и реши систему с помощью обратной матрицы.
- Правило Крамера и метод ГауссаРеши систему с помощью определителей (Крамер), потом действиями со строками (Гаусс) и посмотри, как нулевой определитель даёт параллельные прямые.
- Матрицы как преобразованияМатрица перемещает точки плоскости: применяй её к точке, составляй матрицу по образам точек (1; 0) и (0; 1) и находи точки, которые остаются на месте.
Математический анализ
21
- Предел: приближение к числуЗаполни таблицу значений около точки, где функция не определена, прочитай предел по графику и пойми, почему пределы слева и справа должны совпадать.
- Вычисление пределов: свойства, 0/0 и синусНаходи пределы суммы и произведения по графикам, раскрывай неопределённость 0/0 разложением на множители и сокращением и познакомься с пределом синуса.
- Бесконечные пределы и пределы на бесконечностиУвидь, почему 1x2 становится огромным около нуля, проведи горизонтальную асимптоту и раскрой неопределённости ∞ : ∞ и ∞ − ∞.
- Непрерывность и скорость измененияПосмотри, когда график можно начертить, не отрывая карандаша, найди k, при котором функция непрерывна, и сожми среднюю скорость изменения до мгновенной.
- От секущей к касательной: что такое производнаяПриближай точку Q по графику к точке P, смотри в таблице, как угловые коэффициенты секущих приближаются к угловому коэффициенту касательной, проведи касательную и узнай, почему в точке излома производной нет.
- Правила дифференцированияПримени правила производной степени, произведения, частного и сложной функции в одной точке и проверь их по касательным и нормалям на графике.
- Производные синуса, показательной функции, логарифма и обратной функцииПроверь производную sin x возле нуля, проведи касательную к ex, используй ln x как зеркальное отражение ex, чтобы найти его производную, и перенеси правило обратной функции на arctg.
- Неявная, параметрическая и вторая производные, связанные скоростиНайди угловой коэффициент касательной к окружности в точке с помощью неявного дифференцирования, вычисли угловой коэффициент параметрической кривой, найди вторую производную и посмотри, как изменение стороны меняет площадь.
- Уравнение касательной и наибольшее и наименьшее значения на отрезкеСоставь уравнение касательной по формуле y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀), найди касательную, параллельную данной прямой, и касательную, проведённую из точки вне кривой, а затем найди наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a;b].
- Знак производной и вид графикаПо знаку f′(x) определи, где график возрастает и убывает, поставь стационарные точки, найди точку перегиба с помощью f″(x) и вычисли наибольшее значение.
- Теоремы Ролля и Лагранжа, правило Лопиталя и ряд МаклоренаНайди, где касательная горизонтальна, найди точку из теоремы Лагранжа, вычисли предел 0/0 с помощью производных и найди коэффициент ряда Маклорена для cosh x.
- Оценка площади, интегральные суммы и формула трапецийОцени площадь под графиком y = x² узкими прямоугольниками и трапециями и посмотри, к какому числу приближаются оценки, когда полоски становятся уже.
- От первообразной к определённому интегралуНайди первообразную и пойми, зачем нужна постоянная C, вычисли определённый интеграл по формуле F(b) − F(a), найди среднее значение функции и познакомься с интегралом от 1x.
- Методы интегрированияЗамени переменную и пересчитай пределы, проинтегрируй по частям, разложи дробь на простейшие, выбери тригонометрическую подстановку и выясни, есть ли у несобственного интеграла значение.
- Площади, объёмы и длины дуг с помощью интегралаС помощью определенный интеграл найди площадь под кривой и между двумя кривыми, объём тела вращения, длину дуги и площадь в полярных координатах.
- Дифференциальные уравненияЗапиши скорость изменения в виде дифференциального уравнения, найди на графике решение y = Cekx и реши уравнение с разделяющимися переменными с начальным условием.
- Построение графиков и задачи на наибольшее значениеНайди асимптоты и характерные точки графика, а потом с помощью наибольшего значения реши задачи на наибольшую площадь и наибольший объём.
- План исследования функции и построение графикаИсследуй функцию по плану: область определения, чётность, нули, возрастание и убывание, точки экстремума — и отметь на графике ключевые точки.
- Схема знаков производнойПо знакам производной на каждом промежутке отметь стрелками, где функция возрастает ↗ и где убывает ↘, и найди точки максимума и минимума.
- От графика f к графику f′Найди нули производной f′, прочитай f′ по графику функции f, найди точку перегиба как экстремум f′ и момент самого быстрого роста.
- Интеграл с переменным верхним пределом и формула Ньютона—ЛейбницаНайди баланс площадей до x, найди экстремумы интегральной функции и вычисляй по формуле J(x) = F(x) − F(a).
Решение задач
17
- Решаем задачи: сделай рисунокПрочитай задачу. Скажи, что известно и что нужно найти. Сделай рисунок, потом реши задачу.
- Решение задач: запись с окошкомЗапиши задачу числовым равенством. Поставь окошко □ на место неизвестного числа, а потом найди его.
- Решаем задачи: перебор, закономерность, исключение, подборЧетыре способа решить задачу: перебери все случаи по порядку, найди закономерность, вычеркни невозможное, подбери ответ, проверь и уточни.
- Решаем задачи: по действиям, на простых числах, переборомРаздели большую задачу на шаги, сначала реши задачу попроще, перебери все случаи по порядку и выбери способ решения.
- решение задач: приёмы решения для 7 классаПотренируйся перебирать случаи по порядку, разбивать задачу на части и решать сначала задачу попроще — на задачах о деньгах и больших числах.
- решение задач: прибыль и достаточность данныхНайди прибыль продавца с помощью таблицы и определи, какие числа в задаче нужны, какие лишние, а какого числа не хватает.
- Задача: краткая запись и решениеЗапиши условие кратко, составь равенство, реши задачу в одно или два действия и запиши ответ.
- Задачи: «в несколько раз больше», «на сколько больше», обратная задачаУвеличивай число в несколько раз, сравнивай числа кратным сравнением, решай задачи в косвенной форме и обратные задачи.
- Задачи с таблицей: цена, количество, стоимостьЗапиши краткую запись в виде таблицы «цена, количество, стоимость» и реши задачи на сумму, разность и кратное сравнение двух произведений.
- Составные задачиОтличаем простые задачи от составных, затем записываем решение по действиям и одним выражением со скобками.
- Составные задачи на умножение и делениеРешаем составные задачи: остаток, сумма и разность произведений, «в несколько раз больше» и «в несколько раз меньше».
- Сравни задачи: что изменилось?Сравни две связанные задачи, предскажи, как изменится решение, и реши изменённую задачу.
- Дано, решение, ответЗапиши задачу так, как в тетради: «Дано», «Найти», «Решение» (по вопросам, по действиям, выражением) и «Ответ».
- Логические задачиРешай задачи на сообразительность: заполняй таблицу по подсказкам, находи рыцарей и лжецов, переливай воду и ищи виновника.
- Инструкции и алгоритмыВыполняй инструкции по шагам, запускай алгоритм-машину и расставляй шаги плана в правильном порядке.
- Расход и изменениеРешай задачи на расход («в день · дни») и на изменение («было — стало») по действиям и записывай ответ.
- Задачи Ферми: прикидка или точный ответ?Оценивай большие числа по шагам с помощью мерок, округляй для быстрой прикидки и решай, когда нужен точный ответ.