Posição relativa de retas e planos no espaço

A geometria analítica no espaço (equações de retas e de planos, posições relativas) estuda-se no ensino secundário (11.º ano, com complementos no 12.º). O produto vetorial não faz parte do programa português: aqui é um complemento; em Portugal, o vetor normal de um plano obtém-se resolvendo as equações u⃗ · n⃗ = 0 e v⃗ · n⃗ = 0.

Uma reta no espaço tem a equação vetorial (x, y, z) = A + k · u⃗, com k real, o ponto A e o vetor diretor u⃗. Um ponto P pertence à reta se existir exatamente um k que satisfaça as três coordenadas (teste de pertença).

Um plano tem a equação a x + b y + c z = d, em que (a, b, c) é um vetor normal. O vetor normal n⃗ a partir de dois vetores u⃗ e v⃗ obtém-se com o produto vetorial u⃗ × v⃗.

Duas retas são coincidentes, paralelas (vetores diretores colineares), concorrentes (um só ponto comum) ou enviesadas (não paralelas e sem ponto comum). Uma reta corta um plano se se puder substituir a sua expressão na equação do plano e resolver em ordem a k.