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O produto escalar de vetores: comprimentos, ângulo, coordenadas

Calcula o produto escalar a partir dos comprimentos e do ângulo, eleva ao quadrado uma soma de vetores, descobre o cosseno do ângulo entre vetores e o ângulo de um triângulo a partir dos seus vértices.

📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».

Guia

Este estúdio corresponde ao 11.º ano (Matemática A: produto escalar de vetores, perpendicularidade e ângulo entre vetores, no plano e no espaço). O ângulo entre dois vetores não nulos a e b é o ângulo AOB, em que OA = a e OB = b. Escreve-se ∠(a, b), com 0° ≤ ∠(a,b) ≤ 180°. Os vetores são perpendiculares se o ângulo for 90°.

O produto escalar é o produto dos comprimentos pelo cosseno do ângulo entre os vetores: a · b = |a| |b| cos ∠(a, b). O produto escalar a · a escreve-se a², e a² = |a|². Os vetores são perpendiculares exatamente quando a · b = 0.

Para a (a1,a2,a3) e b (b1,b2,b3): a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3. Logo, cos∠(a,b) = a1b1 + a2b2 + a3b3√(a12 + a22 + a32)·√(b12 + b22 + b32).

O produto escalar é comutativo, (ka) · b = k(a · b) e é distributivo em relação à adição. Assim, (a + b)² = a² + 2a · b + b².