Variância, distribuição geométrica e a desigualdade de Chebyshev
Calcula a variância a partir de uma tabela de distribuição, determina a variância de uma soma de variáveis independentes, calcula a probabilidade de «até ao primeiro sucesso» e majora um afastamento com a desigualdade de Chebyshev.
📖 Começa aqui: lê os passos da «Lição» por ordem (1, 2, 3 …) e responde a cada pergunta. Depois continua com «Praticar».
- Portugal: 11.º ano
- França: 11.º ano
- Itália: 11.º ano
- Rússia: 10.º ano
Guia
O valor médio, a variância e o desvio padrão de uma variável aleatória aparecem no secundário (12.º ano), ligados à distribuição binomial e à distribuição normal. A distribuição geométrica, a variância de uma soma e a desigualdade de Chebyshev não fazem parte do programa português; aqui são um complemento para quem quer saber mais.
A variância mede a dispersão dos valores em torno do valor médio: Var(X) = E(X²) − (E(X))². Para variáveis independentes, Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y), e um fator constante sai ao quadrado: Var(a · X) = a² · Var(X). Para o número de sucessos em n experiências, E(X) = n · p e Var(X) = n · p · q. Se se repete uma experiência até ao primeiro sucesso, P(X = k) = q^(k − 1) · p. Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X) : ε².
Erros típicos: esquecer-se de subtrair o quadrado do valor médio, não elevar o fator ao quadrado e multiplicar onde se devem somar variâncias.