Retas paralelas que intersetam um plano e projeção paralela

Este tema é uma extensão: a geometria no espaço do ensino secundário português trata sobretudo de posições relativas de retas e planos e de sólidos, e a projeção paralela de segmentos com razões aparece em aprofundamento. Estuda-se aqui o caso de retas paralelas que intersetam um plano α.

Se, por pontos B e C de um segmento AB que tem o ponto A em comum com α, se traçarem retas paralelas, então CC₁ é a base média do triângulo ABB₁ e BB₁ = 2×CC₁.

Se AB não intersetar α, então AA₁B₁B é um trapézio e CC₁ (C ponto médio de AB) é a sua base média: CC₁ = AA₁ + BB₁2.

Projeção paralela: por cada ponto de uma figura F traça-se uma reta paralela a uma reta l que interseta o plano α. Os pontos em que essas retas intersetam α formam a figura F₁, a projeção paralela de F sobre α na direção de l. F₁ chama-se também a imagem de F.

Teorema 1. A projeção de uma reta é uma reta, e a de um segmento é um segmento. Teorema 2. A projeção de duas retas paralelas são duas retas paralelas ou uma só reta. Teorema 3. A razão das projeções de segmentos de uma reta, ou de retas paralelas, é igual à razão dos segmentos: A₁B₁C₁D₁ = ABCD.