Função integral e teorema fundamental

Nota para pais e professores: o cálculo integral vai além do que é habitual no ensino secundário português; aqui é um tema de aprofundamento. A função integral J_a(x) = ∫ₐˣ f(t) dt dá o balanço das áreas entre a e x: as áreas acima do eixo dos xx contam como positivas e as áreas abaixo como negativas. A área geométrica é sempre positiva.

Teorema fundamental: J_a′(x) = f(x). Onde f é positiva, J cresce; onde f é negativa, J decresce. Se f muda de sinal de + para −, J tem aí um máximo; se f tem um extremo, J tem um ponto de inflexão.

Com uma primitiva F: J_a(x) = F(x) − F(a). Num problema, se f for o caudal de entrada, J é a variação da quantidade de líquido; a quantidade inicial soma-se.