Áreas, volumes e comprimentos de arco com integrais

O cálculo de primitivas e de integrais surge no ensino secundário avançado (12.º ano). O volume de um sólido de revolução, o comprimento de um arco e a área em coordenadas polares vão além do programa português e são um complemento. A área debaixo de y = f(x), de a até b, é o integral definido de f(x)dx entre a e b: calcula-se a primitiva em b e em a e subtrai-se. Entre duas curvas, integra-se sempre «a de cima menos a de baixo».

Se a região rodar à volta do eixo dos xx, o volume é V = π∫(f(x))²dx: eleva-se a função ao quadrado e mantém-se o π. O comprimento do arco é L = ∫√(1 + (f′(x))²)dx.

Em coordenadas polares, a área varrida pelo raio r é A = 12∫r²dθ. Mantêm-se o meio e o quadrado.