Il prodotto scalare: moduli, angolo, coordinate
Trova il prodotto scalare dai moduli e dall'angolo, calcola il quadrato di una somma di vettori, trova il coseno dell'angolo tra due vettori e l'angolo di un triangolo dai suoi vertici.
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Guida
I vettori e il prodotto scalare si studiano nel liceo scientifico (nel piano nel secondo biennio, nello spazio spesso in classe quinta). L'angolo tra due vettori non nulli a e b è l'angolo AOB, dove OA = a e OB = b. Si scrive ∠(a, b) e vale 0° ≤ ∠(a,b) ≤ 180°. I vettori sono perpendicolari se l'angolo è di 90°.
Il prodotto scalare è il prodotto dei moduli per il coseno dell'angolo tra i vettori: a · b = |a| |b| cos ∠(a, b). Il prodotto scalare a · a si scrive a² e a² = |a|². I vettori sono perpendicolari esattamente quando a · b = 0.
Per a (a1;a2;a3) e b (b1;b2;b3): a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3. Quindi cos∠(a,b) = a1b1 + a2b2 + a3b3√(a12 + a22 + a32)·√(b12 + b22 + b32).
Il prodotto scalare è commutativo, (ka) · b = k(a · b) ed è distributivo rispetto all'addizione. Quindi (a + b)² = a² + 2a · b + b².