Area e volume con il prodotto vettoriale
Il modulo del prodotto vettoriale di due vettori è l'area del loro parallelogramma. Con tre vettori, un determinante dà il volume del parallelepipedo.
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Guida
Questo argomento va oltre il programma di matematica della scuola italiana: i vettori nello spazio, il prodotto vettoriale e il prodotto misto compaiono soprattutto in fisica (liceo scientifico, quarto e quinto anno) e nella geometria analitica nello spazio. Se a e b sono due lati di un parallelogramma, la sua area è il modulo del loro prodotto vettoriale, |a×b|. Un triangolo costruito sugli stessi due vettori ha area metà.
Tre vettori che non stanno in uno stesso piano formano un parallelepipedo. Il suo volume è |a·(b×c)| (valore assoluto del prodotto misto). È il valore assoluto del determinante 3 × 3 le cui righe sono le componenti di a, b e c. Se il determinante è zero, il volume è zero: i tre vettori stanno in uno stesso piano.
Errori frequenti: dimenticare di dimezzare per un triangolo, dimenticare il segno meno del termine centrale quando si sviluppa il determinante e addizionare le componenti invece di calcolare il modulo del vettore.