La varianza di una variabile casuale, la distribuzione geometrica e la disuguaglianza di Čebyšëv
Calcola una varianza da una tabella di distribuzione, trova la varianza di una somma di variabili indipendenti, calcola la probabilità «fino al primo successo» e limita uno scostamento con la disuguaglianza di Čebyšëv.
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Guida
Questo tema (variabili casuali, valore atteso, varianza, distribuzione binomiale, legge dei grandi numeri) si studia nel liceo scientifico, in classe quinta. La distribuzione geometrica e la disuguaglianza di Čebyšëv sono un approfondimento che non sempre compare nei libri di testo.
La varianza misura quanto i valori sono sparpagliati attorno al valore atteso: Var(X) = E(X²) − (E(X))². Per variabili indipendenti Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y), e un fattore costante esce al quadrato: Var(aX) = a²Var(X). Per il numero di successi in n prove E(X) = np e Var(X) = npq. Se le prove si ripetono fino al primo successo, P(X = k) = q^(k − 1) p. Disuguaglianza di Čebyšëv: P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) : ε².
Errori frequenti: dimenticare di sottrarre il quadrato della media, non elevare al quadrato il fattore, e moltiplicare dove le varianze vanno sommate.