Ceva, Menelao, Tolomeo e la retta di Eulero
Approfondimenti di geometria: quando tre ceviane passano per uno stesso punto, quando tre punti sono allineati, il prodotto delle diagonali di un quadrilatero inscritto in una circonferenza e la retta di Eulero.
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Guida
Questi teoremi non fanno parte del programma di base: si incontrano come approfondimento nel secondo biennio del liceo scientifico (classi 3 e 4) e nelle gare di matematica. I segmenti AA₁, BB₁, CC₁ che uniscono i vertici del triangolo ABC con punti A₁, B₁, C₁ dei lati opposti si chiamano ceviane.
Teorema di Ceva. Le ceviane AA₁, BB₁, CC₁ passano per uno stesso punto se e solo se (AC₁ : C₁B) · (BA₁ : A₁C) · (CB₁ : B₁A) = 1. Teorema di Menelao: i punti A₁, B₁, C₁, due sui lati e uno sul prolungamento di un lato, sono allineati se e solo se vale la stessa uguaglianza.
Teorema di Tolomeo. In un quadrilatero inscritto in una circonferenza il prodotto delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti: AB · DC + BC · AD = BD · AC.
La retta di Eulero. In ogni triangolo il circocentro O, il baricentro M e l'ortocentro H stanno su una stessa retta, e HM = 2MO.