Potenze, radici e circonferenze nel piano di Argand-Gauss
Usa e^{iθ} come punto della circonferenza unitaria, eleva i numeri a potenza con la formula di De Moivre, trova le quattro radici di un numero come vertici di un quadrato e disegna una circonferenza con |z − c| = r.
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Guida
Il numero eiθ è il punto della circonferenza unitaria all'angolo θ: eiθ = cosθ + i sen θ. Un numero con modulo r e argomento θ è reiθ. Mezzo giro è π radianti, quindi eiπ = −1.
Formula di De Moivre: per elevare un numero alla potenza n, si eleva il modulo alla n e si moltiplica l'argomento per n. Le n radici n-esime di un numero hanno tutte lo stesso modulo e i loro argomenti distano 360° : n, quindi sono i vertici di un poligono regolare. Le radici di zn = 1 sono le radici dell'unità, sulla circonferenza unitaria.
La distanza di z da un punto fisso c è |z − c|. Quindi |z − c| = r è una circonferenza di centro c e raggio r. I numeri complessi si studiano nel liceo scientifico, in classe quarta o quinta (secondo la scuola e il libro di testo).