Teorema di Rolle, regola di de l'Hôpital e sviluppo di Maclaurin
Trova dove la tangente è orizzontale, trova il punto del teorema di Lagrange, calcola un limite 0/0 con le derivate e trova un coefficiente dello sviluppo di Maclaurin di cosh x.
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Guida
I teoremi di Rolle e di Lagrange e la regola di de l'Hôpital si studiano nella classe 5 del liceo scientifico, insieme alle derivate. Lo sviluppo di Maclaurin (un caso particolare della formula di Taylor) non è nelle Indicazioni nazionali: è qui un approfondimento. Teorema di Rolle: se f è continua in [a, b], derivabile in ]a, b[ e f(a) = f(b), esiste un c tra a e b tale che f′(c) = 0: una tangente orizzontale. Teorema di Lagrange: anche se gli estremi hanno valori diversi, esiste un punto in cui la tangente ha lo stesso coefficiente angolare della corda: f′(c) = f(b) − f(a)b − a.
Regola di de l'Hôpital: se numeratore e denominatore tendono tutti e due a zero, il limite di fxg(x) è uguale al limite di f′xg′(x). Si derivano numeratore e denominatore separatamente, non l'intera frazione.
cosh(x) = (ex + e−x) ÷ 2 e sinh(x) = (ex − e−x) ÷ 2 sono funzioni iperboliche (coseno iperbolico e seno iperbolico). La derivata di cosh(x) è sinh(x), e viceversa. Il coefficiente di xn nello sviluppo di Maclaurin è fn(0) ÷ n!.