Dalla primitiva all'integrale definito
Trova una primitiva e capisci perché serve + C, calcola un integrale definito con F(b) − F(a), trova il valore medio di una funzione e conosci l'integrale di 1x.
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Guida
Integrare è l'operazione inversa del derivare. Una primitiva di f è una funzione F con F′(x) = f(x). Spostare un grafico in alto o in basso non cambia il suo coefficiente angolare, perciò ogni primitiva porta con sé una costante: ∫f(x)dx = F(x) + C (l'integrale indefinito).
Per l'integrale definito da a a b si trova F e si calcola F(b) − F(a): prima il valore nell'estremo superiore, poi si sottrae quello nell'estremo inferiore. È l'area sotto il grafico (sotto l'asse x conta come negativa).
Il valore medio di f su [a, b] è l'integrale definito diviso per la lunghezza b − a. La regola ∫xndx = xn + 1/(n + 1) + C vale per ogni n tranne −1: ∫1xdx = ln|x| + C. Nella scuola italiana l'argomento si studia nel liceo scientifico, in classe quinta (calcolo integrale, dopo le derivate).