Derivate di seno, esponenziali, logaritmi e funzioni inverse
Verifica la derivata di sen x vicino a zero, disegna la tangente a ex, usa ln x come immagine speculare di ex per trovarne la derivata e porta la regola della funzione inversa fino ad arctg.
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Guida
Le derivate si studiano nell'ultimo anno del liceo scientifico (classe quinta). Qui il coefficiente angolare della tangente (la pendenza) si ricava dal disegno. (sen x)′ = cos x e (cos x)′ = −sen x. Vicino a 0 la curva sen x aderisce alla retta y = x, quindi la sua pendenza lì è 1, cioè cos 0.
(ex)′ = ex: in ogni punto la pendenza della curva è uguale alla sua altezza. ln x è la funzione inversa di ex, e (ln x)′ = 1x.
Se f(a) = b, la funzione inversa ha in b la derivata (f−1)′(b) = 1f′(a). La curva inversa è il simmetrico di f rispetto alla retta y = x, quindi le pendenze si capovolgono.