Binomio con esponente qualsiasi: approssimazioni
Usa i primi termini dello sviluppo del binomio per stimare radici e reciproci di numeri vicini a 1.
📖 Parti da qui: leggi i passi della «Lezione» in ordine (1, 2, 3 …) e rispondi a ogni domanda. Poi continua con «Esercizi».
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Guida
Nei programmi italiani lo sviluppo del binomio di Newton si studia con esponente naturale (liceo scientifico, secondo biennio, con il triangolo di Tartaglia). Lo sviluppo con esponente frazionario o negativo non fa parte del programma; la stessa idea ritorna nell'ultimo anno come approssimazione lineare con la derivata ((1 + x)n ≈ 1 + nx) e nelle serie di Taylor. Qui lo usiamo per il calcolo approssimato.
Per le potenze intere conosci lo sviluppo del binomio: (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3. La stessa formula funziona quando l'esponente n è una frazione o è negativo, ma allora non finisce mai.
(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)2!x2 + …. Quando x è piccolo, x² è molto più piccolo di x, quindi i primi termini danno un risultato molto vicino.
Esempio: √1,04 = (1 + 0,04)12 ≈ 1 + 0,042 = 1,02. Solo due termini, e il risultato è molto vicino.
Regola: quando n non è un numero intero lo sviluppo vale solo per |x| < 1. Metti la stima sulla retta ingrandita, scrivi il coefficiente e disegna dove lo sviluppo vale.