Le produit scalaire : normes, angle, coordonnées
Calcule un produit scalaire avec les normes et l'angle, élève une somme de vecteurs au carré, trouve le cosinus de l'angle entre deux vecteurs et l'angle d'un triangle à partir de ses sommets.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- France : classe 11
- Allemagne : classe 12
- Portugal : classe 11
- Italie : classe 13
- Espagne : classe 11
- Russie : classe 9
- Ukraine : classe 10
- Syrie : classe 11
- Palestine : classe 11
Conseils pour les adultes
Le produit scalaire se travaille en 1re (spécialité) dans le plan et en Terminale dans l'espace. L'angle entre deux vecteurs non nuls a et b est l'angle AOB, où OA = a et OB = b. On le note ∠(a, b), avec 0° ⩽ ∠(a,b) ⩽ 180°. Deux vecteurs sont orthogonaux si l'angle vaut 90°.
Le produit scalaire est le produit des normes par le cosinus de l'angle : a · b = |a| |b| cos ∠(a, b). Le carré scalaire a · a se note a², et a² = |a|². Deux vecteurs sont orthogonaux exactement quand a · b = 0.
Pour a (a1;a2;a3) et b (b1;b2;b3) : a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3. On en déduit cos∠(a,b) = a1b1 + a2b2 + a3b3√(a12 + a22 + a32)·√(b12 + b22 + b32).
Le produit scalaire est symétrique, (ka) · b = k(a · b) et il est distributif par rapport à l'addition. Donc (a + b)² = a² + 2a · b + b².