Distances dans l'espace
Distance d'un point à un plan avec la formule du vecteur normal, projeté orthogonal, plans parallèles et droites non coplanaires.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- France : classe 11
- Allemagne : classe 12
- Portugal : classe 11
- Italie : classe 13
- Espagne : classe 12
- Syrie : classe 12
Conseils pour les adultes
La distance d'un point à un plan se calcule en 1re et en Terminale (spécialité) avec un vecteur normal. Pour le plan E : n₁x + n₂y + n₃z = k et le point P(p₁ ; p₂ ; p₃), la distance est |n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − k| ÷ ‖n⃗‖, où ‖n⃗‖ est la norme du vecteur normal.
Pour la distance d'un point à une droite, on utilise un plan auxiliaire passant par P et perpendiculaire à la droite g. Il coupe g au projeté orthogonal F de P sur g, et la distance est PF.
Des plans parallèles sont à la même distance partout : on prend un point de l'un et on calcule sa distance à l'autre. Pour des droites non coplanaires, la perpendiculaire commune a pour direction n⃗ = u⃗ ∧ v⃗ (produit vectoriel). Ce thème ne figure pas au programme français ; c'est une extension.