Règle de Cramer et méthode du pivot de Gauss
Résous un système avec des déterminants (Cramer), puis par opérations sur les lignes (pivot de Gauss), et vois comment un déterminant nul donne des droites parallèles.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Italie : classe 11
- Espagne : classe 11
- Royaume-Uni : Year 12
- Russie : classe 10
- Iran : classe 12
- Afghanistan : classe 11
- Syrie : classe 12
- Palestine : classe 11
Conseils pour les adultes
Ce thème dépasse le programme du collège, où les systèmes se résolvent par substitution ou par combinaison (3e). Le déterminant de deux vecteurs apparaît en 1re (colinéarité) et les matrices dans l'option mathématiques expertes (Terminale) ; les noms « règle de Cramer » et « méthode du pivot de Gauss » ne sont pas dans les programmes, mais l'idée est la même que la combinaison linéaire des équations.
Règle de Cramer : pour ax + by = e et cx + dy = f, soit D le déterminant des coefficients. Dx est D où la colonne des x est remplacée par les seconds membres, et Dy la même chose pour y. Alors x = DxD et y = DyD. Il faut D ≠ 0.
Méthode du pivot de Gauss : on écrit le système sous forme de matrice complète (les coefficients, puis les seconds membres). Avec des opérations sur les lignes (échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, ajouter à une ligne un multiple d'une autre), on fait apparaître des zéros sous les pivots ; puis on remonte, ou on continue jusqu'à la forme réduite.
Si D = 0, les deux droites ont le même coefficient directeur : elles sont parallèles (pas de solution) ou confondues (une infinité de solutions).
Demande à ton enfant pourquoi les opérations sur les lignes ne changent pas les solutions du système.