Puissances, racines et cercles dans le plan complexe
Utilise e^{iθ} comme un point du cercle unité, élève des nombres à une puissance avec la formule de Moivre, trouve les quatre racines d'un nombre et trace un cercle avec |z − c| = r.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- France : classe 12
- Portugal : classe 12
- Italie : classe 11
- Royaume-Uni : Year 12
- Russie : classe 11
- Syrie : classe 12
Conseils pour les adultes
Les nombres complexes (forme algébrique, module, argument, forme exponentielle, formule de Moivre, racines n-ièmes) se travaillent en Terminale, dans l'option mathématiques expertes. Le nombre eiθ est le point du cercle unité d'angle θ : eiθ = cosθ + isinθ. Un nombre de module r et d'argument θ s'écrit reiθ. Un demi-tour vaut π radians, donc eiπ = −1.
Formule de Moivre : pour élever un nombre à la puissance n, on élève son module à la puissance n et on multiplie son argument par n. Les n racines d'un nombre ont toutes le même module et leurs arguments sont séparés de 360° ÷ n : ce sont les sommets d'un polygone régulier. Les racines de zn = 1 sont les racines de l'unité, sur le cercle unité.
La distance du point d'affixe z à un point fixe d'affixe c est |z − c|. Donc |z − c| = r est le cercle de centre c et de rayon r.