Estimer une aire, sommes de Riemann et méthode des trapèzes
Estime l'aire sous la courbe y = x2 avec des rectangles étroits puis avec des trapèzes, et regarde vers quel nombre les estimations se rapprochent quand les bandes deviennent plus fines.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Allemagne : classe 12
- Italie : classe 11
- Royaume-Uni : Year 12
- Russie : classe 11
- Ukraine : classe 11
- Iran : classe 12
- Afghanistan : classe 12
- Palestine : classe 12
Conseils pour les adultes
On ne peut pas calculer directement l'aire sous une courbe, mais on peut la découper en bandes étroites. On remplace chaque bande par un rectangle : aire = largeur × hauteur. La hauteur se lit au bord gauche de la bande (somme à gauche) ou à son bord droit (somme à droite). Ce thème est abordé en Terminale, avec l'approximation d'une aire par la méthode des rectangles.
Pour une fonction croissante, la somme à gauche est inférieure et la somme à droite supérieure à l'aire exacte. Si on prend chaque bande comme un trapèze, son aire vaut a + b2×h, où a et b sont les deux hauteurs des côtés et h la largeur de la bande.
Plus les bandes sont étroites, plus les estimations se rapprochent d'un même nombre. Cette limite est l'intégrale définie, et les sommes qui y mènent sont des somme de Riemann.