Théorème du reste, factorisation et racines d'un polynôme
Trouve un reste sans faire de division, repère un facteur, cherche les racines d'un polynôme de degré 3 et retrouve les coefficients à partir des racines.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Allemagne : classe 10
- Portugal : classe 10
- Italie : classe 9
- Espagne : classe 10
- Royaume-Uni : Year 12
- Russie : classe 10
- Iran : classe 12
- Afghanistan : classe 10
Conseils pour les adultes
Ce thème ne figure pas tel quel au programme français : le « théorème du reste » est rarement nommé. En revanche, chercher une racine évidente pour factoriser un polynôme de degré 3 se travaille en 1re (spécialité) et en Terminale. L'enfant peut s'arrêter aux premières missions s'il est plus jeune. théorème du reste : quand on divise un polynôme p(x) par x − a, le reste est p(a). On ne divise pas : on remplace x par le nombre a. Le nombre a est celui qui annule x − a, par exemple −2 pour x + 2.
théorème du facteur : si p(a) = 0, le reste est nul et x − a est un facteur de p(x). Donc a est une racine de p(x) = 0.
Pour résoudre une équation de degré 3, on cherche d'abord une racine évidente : on teste de petits nombres entiers qui divisent le terme constant. On met ce facteur en évidence ; il reste un trinôme du second degré, que l'on factorise.
Si l'on connaît les racines de x3 + px2 + qx + r, on développe (x − a)(x − b)(x − c) et on lit les coefficients. Dans chaque mission, écris le nombre ou place les racines comme des points sur la droite graduée.