Partie entière d'une fraction et équations en nombres entiers
Sépare la partie entière d'une fraction algébrique, trouve les derniers chiffres et les restes des puissances grâce à leur cycle, et résous des équations en nombres entiers.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Russie : classe 8
Conseils pour les adultes
Ce thème ne figure pas au programme français sous cette forme ; c'est une extension (arithmétique en spécialité mathématiques, Terminale, et exercices d'approfondissement de 3e). Elle peut être sautée dans une séance ordinaire.
Pour séparer la partie entière, on divise le numérateur par le dénominateur : n + 3n + 1 = 1 + 2n + 1. La fraction est un entier seulement si n + 1 divise 2.
Les derniers chiffres et les restes des puissances se répètent selon un cycle. Les puissances de 7 se terminent par 7, 9, 3, 1, puis de nouveau 7, 9, 3, 1. On divise un grand exposant par la longueur du cycle et on regarde le reste.
Pour les équations en nombres entiers, on utilise la factorisation et l'essai de valeurs. Si on connaît la somme et le produit de deux nombres, on cherche le couple.
Complète les tableaux et cherche la régularité ; dans le dernier exercice, choisis x et le tableau vérifie la condition.