Développement de (1 + x)^n pour toute puissance : valeurs approchées
Utilise les premiers termes du développement pour estimer des racines et des inverses de nombres proches de 1.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Portugal : classe 12
- Italie : classe 11
- Royaume-Uni : Year 13
- Afghanistan : classe 11
Conseils pour les adultes
Ce thème ne figure pas au programme français ; il prolonge le développement de (1 + x)n vu avec les identités remarquables (3e, 2de) et le binôme de Newton (Terminale, spécialité). Pour une puissance entière, tu connais : (1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3. La même formule marche quand n est une fraction ou un nombre négatif, mais elle ne s'arrête alors jamais.
(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)2!x2 + …. Quand x est petit, x² est bien plus petit que x : les premiers termes donnent donc une valeur très proche.
Exemple : √1,04 = (1 + 0,04)12 ≈ 1 + 0,042 = 1,02. Deux termes seulement, et le résultat est déjà très proche.
Règle : quand n n'est pas un entier, le développement n'est valable que pour |x| < 1. Place l'estimation sur la droite graduée agrandie, écris le coefficient au pavé numérique, puis trace l'intervalle où le développement est valable.