پیامدهای قانون کوساین

قانون کوساین در صنف یازدهم آمده است؛ پیامدهای آن برای تشخیص نوع مثلث و برای متوازی‌الاضلاع بخش توسعه‌یی این کارگاه است. ضلع‌های مثلث را ⁦a، b، c⁩ و زاویه‌های مقابل شان را ⁦α، β، γ⁩ می‌نامیم. قانون کوساین: a^۲ = b^۲ + c^۲ − ۲bccosα. از آن ۲bccosα = b^۲ + c^۲ − a^۲ به دست می‌آید.

یک پیامد قانون کوساین. فرض کنید a طول درازترین ضلع مثلث باشد. اگر a^۲ < b^۲ + c^۲ باشد، مثلث حاده‌الزاویه است. اگر a^۲ > b^۲ + c^۲ باشد، منفرجه‌الزاویه است. اگر a^۲ = b^۲ + c^۲ باشد، قایم‌الزاویه است. سبب آن علامت کوساین بزرگ‌ترین زاویه است: مثبت، منفی یا صفر.

مسئلهٔ اول. مجموع مربعات قطرهای متوازی‌الاضلاع با مجموع مربعات همهٔ ضلع‌هایش برابر است: BD^۲ + AC^۲ = ۲a^۲ + ۲b^۲، که a و b دو ضلع مجاور اند. برای ثبوت آن، قانون کوساین را برای مثلث‌های ABD و ACD (با زاویه‌های α و ⁦۱۸۰° − α⁩) می‌نویسیم و جمع می‌کنیم.

مسئلهٔ دوم. قانون کوساین شده می‌تواند معادلهٔ درجه دوم بدهد. جذری که شرط را پوره نمی‌کند (طول منفی شده نمی‌تواند) دور انداخته می‌شود. حل را این‌طور می‌نویسیم: معلوم، مطلوب، حل، جواب. مثلث‌ها به مقیاس رسم شده اند: ۱ خانه روی تخته ۱ سانتی‌متر است.