تابع‌های پولینوم: رفتار دو سر، ریشه‌ها و فورمول

این کارگاه تکمیلی است و در کتاب‌های درسی افغانستان نیامده است. پولینوم‌ها و تغییر متغیر در صنف دهم می‌آیند، ولی رفتار گراف پولینوم در دو سر به‌طور کامل در درس‌های دیگر هم نیست.

تابع پولینوم f(x) = a_nxⁿ + … + a_۰ برای |x| های بزرگ مثل جملهٔ پیشروی خودش، یعنی a_nxⁿ، رفتار می‌کند. اگر درجه زوج باشد، دو سر گراف به یک سمت می‌روند. اگر درجه فرد باشد، دو سر به دو سمت مخالف می‌روند. علامه a_n می‌گوید سر راست بالا می‌رود یا پایین.

اگر فکتور (x − x_۰) دو بار بیاید، x_۰ ریشهٔ مکرر است: گراف بر محور x مماس می‌شود و آن را قطع نمی‌کند. ریشهٔ ساده را گراف قطع می‌کند.

معادله‌ای مثل x^۴ − ۵x^۲ + ۴ = ۰ دومربعی است. تغییر متغیر z = x^۲ می‌دهد z^۲ − ۵z + ۴ = ۰؛ آن را حل کنید و بعد با x^۲ = z به x برگردید.

اگر ریشه‌ها را بدانید، f(x) = a·(x − x_۱)(x − x_۲)… را بنویسید و a را از یک نقطهٔ دیگر پیدا کنید.