کاوشگر
تمام کارگاه‌ها، از ساده به مشکل.
اعداد و قیمت مقامی
۴۷
- شمارش و مقایسه اعداد تا ۱۰سیب‌ها را جوره کنید، بشمارید و مقایسه کنید. بعد علامه‌های <، > و = را بشناسید.
- اعداد ۱۰ تا ۲۰: یک ده و چند یکبا دو چوکات ده اعداد ۱۰ تا ۲۰ را بخوانید و بسازید. یکی زیادتر، عدد بین، و عدد ترتیبی.
- خط اعداد و شمارش متناوباعداد را بالای خط اعداد پیدا کنید. دو دو، پنج پنج و ده ده پیش بروید و اعداد جفت و تاق را بشناسید.
- قیمت مقامی: ده‌ها و یک‌ها، اعداد دورقمیده یک را به یک ده عوض کنید. با ده‌ها و یک‌ها اعداد را تا ۱۰۰ بسازید و بخوانید.
- اعداد سه‌رقمی و چهاررقمی و شکل توسعه‌ییبا چوت اعداد تا ۱۰۰۰۰ را بسازید، بخوانید و به شکل توسعه‌یی بنویسید؛ بعد دو عدد را از بزرگ‌ترین خانه مقایسه کنید و با ارقام رومی آشنا شوید.
- اعداد بزرگ، تقریب و تخمیناعداد ملیونی را طبقه به طبقه بخوانید و بسازید، اعداد را به نزدیک‌ترین ده، صد یا هزار تقریب کنید و پیش از حساب، حاصل را تخمین کنید.
- تخمین و گرد کردن تا دهگان و صدگانعددها را تا نزدیک‌ترین دهگان یا صدگان گرد کنید و جمع و تفریق را بدون حساب دقیق تخمین کنید.
- اعداد تام (مثبت و منفی)محور اعداد را از صفر به طرف چپ ادامه بدهید. درجهٔ حرارت زیر صفر و عمق زیر سطح بحر را نشان بدهید و با خیز جمع و تفریق کنید.
- تقریب کسرهای اعشاریبین دو همسایهٔ یک عدد را کلان ببینید و پیدا کنید که عدد به کدام نزدیک‌تر است: تا یک‌ها، تا دهم‌ها و تا صدم‌ها.
- قاسم‌ها، مضرب‌ها و اعداد اولیهدانه‌ها را به شکل مستطیل بچینید تا قاسم‌های یک عدد را پیدا کنید. ببینید چرا بعضی اعداد فقط یک مستطیل دارند.
- قابلیت تقسیم، بزرگ‌ترین قاسم مشترک، کوچک‌ترین مضرب مشترک و طاقتدر جدول اعداد مضرب‌ها را رنگ کنید و قاعده‌های قابلیت تقسیم را کشف کنید. بعد قاسم و مضرب مشترک، مربع عددها و طاقت.
- ضرب و تقسیم اعداد تام و قیمت مطلقهاعداد منفی را با خیز بالای خط اعداد ضرب و تقسیم کنید، الگوی علامه‌ها را پیدا کنید و فاصله از صفر را اندازه بگیرید.
- اعداد نسبتی: مقایسه و چهار عملیهکسرها و کسرهای اعشاری منفی را بالای یک محور اعداد بگذارید، آن‌ها را مقایسه کنید و بعد با حرکت و بزرگ‌نمایی بالای خط جمع و ضرب کنید.
- غربال برای عددهای اولیهعددهای ۱ تا ۵۰ را بنویسید و مضرب‌ها را رنگ کنید تا تنها عددهای اولیه بمانند؛ بعد بفهمید کجا باید بایستید.
- تفریق یک عدد منفیهر تفریق را به جمع تبدیل کنید، کم کردن یک عدد منفی را روی محور ببینید و عددهای دو رقمی را با ده‌ها و یک‌ها حساب کنید.
- طاقت عددهای منفی و رشد دو برابریترتیب عملیه‌ها را با طاقت‌ها دنبال کنید، فرق (۳−)² و ۳²− را بفهمید و ببینید چرا دو برابر شدن پی‌هم به زودی عدد را بسیار بزرگ می‌کند.
- تجزیه به اجزای ضربی اولیه، قاسم و مضرب مشترک و جذردو عدد را با درخت به اجزای ضربی اولیه تجزیه کنید. از اجزای ضربی مشترک بزرگ‌ترین قاسم مشترک و کوچک‌ترین مضرب مشترک را بسازید و با جوره و سه‌تایی کردن اجزای ضربی، جذر مربع و جذر مکعب را پیدا کنید.
- قوانین طاقت، طاقت صفر و طاقت منفیاعداد طاقت‌دار را به شکل ضرب عوامل بالای یک خط کسر بنویسید: در ضرب، عوامل را کنار هم بگذارید؛ در تقسیم، عوامل مساوی بالا و پایین را قلم بزنید؛ و ببینید چرا a۰ = ۱ است و توان‌نمای منفی یعنی کسر.
- تقسیم عددهای ناطقمعکوس یک عدد ناطق را پیدا کنید و تقسیم عددهای علامه‌دار را به ضرب تبدیل کنید. ببینید چرا تقسیم بر صفر معنا ندارد.
- جذر n ام و توان‌های ناطقجذر n ام را با توان‌ها یاد بگیرید: جذرهای جفت و تاق، ضرب جذرها، بعد توان‌های کسری مانند ۲۷۱۳ و ۸۲۳.
- روش علمی عددنویسیارقام را با ÷۱۰ و ×۱۰ جابه‌جا کنید تا فقط یک رقم غیرصفر پیش از ممیزه بماند و ببینید توان ۱۰ چطور تعداد جابه‌جایی‌ها را می‌شمارد.
- جذر دوم تقریبی و اعداد حقیقی بالای خط اعدادجذر دوم یک عدد را بین دو عدد تام پیدا کنید، با مربع کردن تا دهم و صدم نزدیک شوید و اعداد ناطق و غیر ناطق را بالای خط اعداد حقیقی از هم جدا کنید.
- اعداد جذردار و ساده ساختن آن‌هاعدد تحت جذر را به عوامل اولیه تجزیه کنید و هر جوره را بیرون بیاورید: √۱۲ = ۲√۳. جذرها را ضرب کنید، جذرهای مشابه را جمع کنید و مخرج را ناطق کنید.
- طریقهٔ اقلیدس برای بزرگ‌ترین قاسم مشترکبزرگ‌ترین قاسم مشترک دو عدد را با یک زنجیر از تقسیم‌ها پیدا کنید، بدون این‌که قاسم‌ها را بنویسید.
- قیمت مطلقهٔ اعداد حقیقی و حساب تقریبیقیمت مطلقه را به شکل فاصله از مبدأ ببینید، سه حالت آن را بشناسید، |a + b| را با |a| + |b| مقایسه کنید و با ریشه‌های تقریبی حساب کنید.
- خاصیت‌های جذر، توان‌های ناطق و معادله‌های جذردارجذر خارج قسمت و جذر یک جذر را پیدا کنید، جذرهای دارای فرجهٔ مختلف را مقایسه کنید و یک معادلهٔ جذردار را با مربع کردن، امتحان شرط و جاگذاری حل کنید. این کارگاه توسعهٔ ریاضی صنف‌های هشتم تا دهم است.
- اعداد به حروف: ده‌هزارها، صدهزارها و ملیارداعداد بزرگ را بسازید و بخوانید: اعداد پنج‌رقمی، صدهزار و اعداد بعد از ملیون.
- جذرها: جذر مربع و جذر مکعب و علامه‌های آن‌هاعددهایی را بشمارید که مربع آن‌ها یک عدد مثبت است، ببینید چرا عدد منفی جذر مربع ندارد ولی جذر مکعب دارد، و چرا جذر مربع یک عدد قیمت مطلقه است.
- تقریب زدن روی محور عددیعدد را روی محور عددی پیدا کنید و ببینید به کدام ده‌تایی، صدتایی یا هزارتایی نزدیک‌تر است. عددی که درست وسط باشد به عدد بزرگ‌تر تقریب می‌شود.
- عددها با حرفعددهای دو رقمی و سه رقمی را از ده‌ها و یک‌ها بسازید و با حرف بخوانید و بنویسید.
- قابلیت تقسیم در اعداد تامقضیهٔ تقسیم، خاصیت‌های قابلیت تقسیم و نوشتن بزرگ‌ترین قاسم مشترک به شکل ترکیب دو عدد.
- جدول عددها و شمارش با پرشروی جدول عددها سه‌تا سه‌تا، چهارتا چهارتا، شش‌تا شش‌تا و هفت‌تا هفت‌تا بشمارید و جمع تکراری را با میله‌ها ببینید.
- هم‌نهشتی در اعداد تامعددهایی که در تقسیم بر m باقیمانده یکسان دارند هم‌نهشت اند. ببینید با آن‌ها چطور حساب می‌شود.
- قیمت مقامی در عددهای اعشاریعددهای اعشاری را در جدول قیمت مقامی با ستون‌های یکی، دهم و صدم بنویسید و بخوانید، به شکل توسعه‌یی بسازید و مقایسه کنید.
- تقریب: گرد کردن و قطع کردنیک عدد را با دو روش، گرد کردن و قطع کردن، به نزدیک‌ترین ۱۰، ۱۰۰، ۱ یا ۰٫۱ تقریب بزنید، بگویید کدام گرد شده است، یک کسر را تقریب بزنید و حاصل ضرب را تخمین کنید.
- قیمت تقریبی و خطاخطای مطلق و خطای نسبی را پیدا کنید، دقت اندازه‌گیری‌ها را با هم مقایسه کنید و حد خطای جمع را بنویسید.
- ترکیب اعداد ۶ تا ۱۰ و صفراعداد ۶، ۷، ۸ و ۹ را با مهره‌ها به دو قسمت تقسیم کنید. بعد ببینید وقتی همه یا هیچ برداشته شود چه می‌شود.
- کارت ترکیب و نوارهادو قسمتی را که ۶ را می‌سازند بنویسید و یک نوار ۷ خانه‌یی بسازید.
- خاصیت‌های جذر مربعجذر مربع، حاصل ضرب، خارج قسمت و طاقت را با خاصیت‌های جذر مربع پیدا کنید. این کارگاه ریاضی صنف هشتم را دنبال می‌کند؛ جذر n ام در کارگاه صنف‌های بالاتر است.
- دنبالهٔ عددهای طبیعی و نیم‌خط عددیعدد پیش از یک عدد را پیدا کنید، بفهمید چرا بزرگ‌ترین عدد طبیعی وجود ندارد، نقطهٔ K(5) را روی نیم‌خط عددی مشخص کنید و یک مقیاس را بخوانید.
- تقسیم با باقیمانده، قابلیت تقسیم بر ۹ و ۳بفهمید چرا باقیمانده از مقسوم علیه کوچک‌تر است، مقسوم را با a = bq + r بسازید و قابلیت تقسیم بر ۹ و ۳ را با مجموع رقم‌ها امتحان کنید.
- جذر تودرتو: √(a ± 2√b)جذر زیر جذر را کنار بزنید: عبارت را مربع یک مجموع یا یک تفاضل بنویسید و دو عدد را از مجموع و حاصل ضربشان پیدا کنید.
- مقایسه و ترتیب اعداد بزرگاعداد تا یک میلیون را رقم به رقم مقایسه کنید، به ترتیب بگذارید و چند هزار تمام به آن‌ها اضافه کنید.
- عددهای دودویی و عددهای رومیعددهای دودویی را با قیمت مقامی ۱، ۲، ۴، ۸ و ۱۶ بخوانید و بنویسید و عددنویسی رومی را با سیستم قیمت مقامی خودمان مقایسه کنید.
- فاصلهٔ دو نقطه و معادله با قیمت مطلقفاصلهٔ دو نقطهٔ خط اعداد را به شکل |a - b| بنویسید و معادله‌های |x - a| = b را با گذاشتن نقطه روی خط اعداد حل کنید.
- قابلیت تقسیم مجموع، تفاضل و حاصل ضرب؛ قاعده‌های ۴ و ۸ و ۶ و ۱۱بدون حساب کردن تشخیص بدهید که یک مجموع، تفاضل یا حاصل ضرب قابل تقسیم است یا نه، و قاعدهٔ قابلیت تقسیم بر ۴ و ۸ و ۶ و ۱۱ را به کار ببرید.
- روش هیرون و عددهای غیر ناطقجذر دوم را با روش هیرون تقریب بزنید؛ یعنی مستطیلی که کم‌کم مربع می‌شود. بعد ببینید چرا جذر دوم ۲ کسر نیست.
عملیه‌های چهارگانه
۳۰
- جمع و تفریق تا ۱۰سیب‌ها را یکجا کنید، بردارید و مقایسه کنید. با دو عدد، ۱۰ بسازید.
- جمع و تفریق تا ۲۰ و گذشتن از دهاول ۱۰ را پر کنید، بعد باقی را بگذارید. سه عدد را جمع کنید، جای عددها را عوض کنید و چهار جملهٔ یک خانوادهٔ عددی را پیدا کنید.
- جمع و تفریق ذهنی بالای خط اعدادهر جمع و تفریق را با حرکت بالای خط اعداد نشان بدهید: اول ده‌ها، بعد یک‌ها، یا اول تا ده بعدی.
- ضرب و تقسیم با گروههای مساویسیبها را در گروههای مساوی بگذارید، قطارها بسازید و ببینید ضرب و تقسیم چطور با هم ارتباط دارند.
- جدول ضربضربها را با شکل بیاموزید و با بازی تمرین کنید: اول ۲، ۵ و ۱۰، بعد صفر و یک، بعد باقی جدول ضرب.
- ضرب و تقسیم یک عدد به ۱۰، ۱۰۰ و ۱۰۰۰وقتی عددی را به ۱۰ ضرب میکنید، هر رقم یک خانه به طرف چپ میرود؛ وقتی بر ۱۰ تقسیم میکنید، یک خانه به طرف راست. این را در جدول قیمت مقامی ببینید، اول با اعداد طبیعی و بعد با کسرهای اعشاری.
- جمع و تفریق عمودیاعداد را زیر هم بنویسید و مرتبه به مرتبه جمع و تفریق کنید؛ حاصل را به مرتبهٔ بعدی ببرید، از مرتبهٔ پهلو قرض بگیرید و جواب را امتحان کنید.
- ضرب به شکل عمودیضرب را به شکل عمودی بنویسید: اول ضرب به یک عدد یکرقمی با رقم یادداشتشده بالای ستون، بعد ضرب اعداد دورقمی به دورقمی، و در آخر ضرب کسرهای اعشاری.
- تقسیم با باقیمانده و تقسیم طولانیتقسیم را رقم به رقم بنویسید، ببینید باقیمانده چیست و در سوال با آن چه کنید، و تقسیم را با ضرب امتحان کنید.
- تکمیلی: جمع و تفریق اعداد با چوتبا مهرههای چوت اعداد دورقمی را جمع و تفریق کنید. ده مهرهٔ یکیها را به یک مهرهٔ دههها عوض کنید، و برعکس.
- ضرب عددهای گرد و محاسبه با کسرهای اعشاریعددهای دارای صفر در آخر را ضرب کنید (۴۰ × ۳۰، ۶۵۰ × ۳۰۰)، کسرهای اعشاری را در ستون جمع و تفریق کنید و دو کسر اعشاری را با شمردن رقمهای اعشاری ضرب کنید.
- ضرب تحریری در عدد چندرقمی و عدد دارای صفردر ستون در عدد سه‌رقمی، عدد دارای صفر و عدد پوره ضرب کنید و از حاصل ضربهای جزئی کار بگیرید.
- ضرب با بلاکها: تقسیم به جزءهااول مضربهای ده، بعد ضرب عدد چندرقمی در عدد یکرقمی با بلاکهای صد، ده و یک: هر جزء را ضرب کنید و جمع کنید.
- جمع و تفریق عددهای چهار رقمی با مکعبهای هزارعددهای چهار رقمی را در جدول ارزش مکانی با مکعبهای یکی، ده، صد و هزار جمع و تفریق کنید و ده را به یکی از جای بعدی تبدیل کنید.
- شمارش گروهگروه و قصههای ضربشمارش با گام ۷ و ۲۰۰، قصههای «چند برابر»، تبدیل کیلوگرام به افغانی و مسئلههای سرعت با ماشین ضرب.
- جزءهای مساوات: جزء، حاصل جمع، حاصل تفریقجمع و تفریق به جزءها روی خط عددی، نام جزءهای مساوات و تفریق از راه جمع.
- جزء نامعلوم و تغییر حاصل جمعجزء نامعلوم، مفروق منه و مفروق نامعلوم را با قاعده پیدا کنید، افادهها را بدون حساب کردن مقایسه کنید و ببینید حاصل جمع چطور تغییر می‌کند.
- عددهای دو رقمی: با رقم‌ها، به جزءها، حیلهٔ گرد کردنجمع و تفریق عددهای دو رقمی با رقم‌ها و به جزءها، و حساب ۳۸ + ۹ از راه ۱۰ و پس دادن یک اضافی. این بخش صنف دوم است؛ روش‌های شفاهی صنف سوم در کارگاه دیگری اند.
- جدول ضرب و وابستگی نتیجهها به عددهاجدول ضرب را بررسی کنید، پیایی ضرب و تقسیم کنید و ببینید حاصل ضرب و خارج قسمت چطور به جزءهای خود وابسته اند.
- روش‌های شفاهی: با رقم‌ها، گرد کردن، تقسیم به جزءهاجمع و تفریق با رقم‌ها و با گرد کردن، تقسیم عددها با جدا کردن آن‌ها و تقسیم عددهای پوره با واحدهای قیمت مقامی. این بخش صنف سوم است؛ عددهای دو رقمی صنف دوم در کارگاه دیگری اند.
- راههای ماهرانهٔ ضرب و تقسیمضرب و تقسیم بر ۵، ۲۵، ۵۰، ۱۱، ۱۰۱، ۹ و ۹۹ به راههای آسان.
- قانونهای عملیه و حساب آساناز خاصیت تبدیلی، اتحادی و توزیعی برای حساب آسان استفاده کنید و افادهها را با عددهای ناطق ساده کنید.
- افاده، مساوات، نامساواتافاده، مساوات و نامساوات را از هم جدا کنید، مساواتهای غلط را خط بزنید و افادهها را بدون حساب کردن مقایسه کنید. صنف دوم: افادهٔ عددی، علامه‌های =، < و >.
- تقسیم با باقیمانده بر ۱۰ و ۱۰۰با پوشاندن رقمهای راست بر ۱۰ و ۱۰۰ با باقیمانده تقسیم کنید و عددهای دارای صفر را با خط زدن صفرهای برابر تقسیم کنید. صنف چهارم.
- زنجیرهٔ عملیه‌های حسابیپیکانها را دنبال کنید: یک عدد در دایره و یک عملیه روی پرچم. عدد آخر زنجیر را پیدا کنید و پرچم پاکشده را دوباره بنویسید.
- جدولهای جمعجدولهای جمع ۱، ۲، ۵ و ۷ را بخوانید، نتیجهها را بپوشانید و بنویسید. بعد جمعهای ده دوم را ببینید.
- تفریق ۶، ۷، ۸، ۹مفروق منه را به حاصل جمع جزءهای مناسب بنویسید که یکی از آن‌ها با مفروق برابر باشد. بعد جزء دیگر میماند. صنف اول.
- جمع و تفریق حاصل جمعجمع کردن حاصل جمع با یک عدد، تفریق حاصل جمع از عدد و تفریق عدد از حاصل جمع؛ مساواتها با قوس نوشته میشوند.
- ضرب و تقسیم با شکستن عدد به قسمتهااعداد دورقمی را با شکستن به قسمتهای آسان در اعداد یکرقمی ضرب یا بر آن‌ها تقسیم کنید و با عملیهٔ معکوس بررسی کنید.
- بررسی حساب: تخمین و عملیهٔ معکوسپیش از حساب کردن جواب را تخمین کنید، زیر هم حساب کنید، با عملیهٔ معکوس بررسی کنید و بسنجید که یک جواب، حتی جواب ماشینحساب، منطقی است یا نه.
کسرها
۱۸
- کسر چیست؟یک چیز را به بخشهای مساوی تقسیم کنید و با کسر نشان دهید چند بخش را گرفتهاید.
- کسر بالای خط اعدادکسرها هم عدد هستند و هر کدام جای خود را بالای خط اعداد دارد. فاصلهٔ صفر تا یک را به حصههای مساوی ببینید و نقطه قرار دهید.
- کسرهای معادلیک مقدار را میتوان با کسرهای مختلف نشان داد. ببینید که وقتی حصهها کوچک‌تر یا بزرگ‌تر میشوند، کسر تغییر می‌کند، اما مقدار تغییر نمیکند.
- مقایسهٔ کسرهاکدام کسر بزرگ‌تر است؟ نوارها را زیر هم بگذارید و ببینید رنگ کدام یک پیشتر رفته است.
- جمع و تفریق کسرهاکسرها را بالای نوار پهلوی هم بگذارید، جمع و تفریق کنید. وقتی مخرجها فرق دارند، اول حصهها را هماندازه بسازید.
- ضرب و تقسیم کسرهابا نوار ببینید که ضرب در کسر یعنی «چند بار» یا «چه کسری از»، و تقسیم بر کسر یعنی «چند مرتبه شامل است».
- کسر اعشاریدهمها و صدم‌ها را بالای خط اعداد پیدا کنید و ببینید کسر اعشاری چطور نوشته و خوانده می‌شود.
- تقسیم و کسرتقسیم را رقم به رقم بنویسید و ببینید که هر کسر در اصل یک تقسیم است و آن را میتوان به کسر اعشاری تبدیل کرد.
- کسری از یک مقدارسیبها را مساوی تقسیم کنید و چند حصه را بگیرید. بعد یک طرز تهیهٔ غذا را بزرگ و کوچک کنید.
- فیصد و تبدیل کسر، اعشاری و فیصدفیصد یعنی «چند از صد». با مربع صدخانهای و نوار ۱۰۰٪ ببینید که کسر، عدد اعشاری و فیصد سه نام برای یک مقدار هستند.
- ضرب و تقسیم کسرهای مخلوطبا نوارها ببینید که ضرب و تقسیم عدد مخلوطها چطور کار می‌کند و در یک افاده اول کدام عملیه را انجام دهید.
- تقسیم کسرهای اعشاری و کسرهای اعشاری متوالیتقسیم اعشاری را به تقسیم اعداد صحیح تبدیل کنید، تقسیم را ادامه بدهید تا ببینید کجا رقم‌ها تکرار میشوند، و یک کسر اعشاری متوالی را به کسر عام تبدیل کنید.
- کسرالکسرکسری که صورت یا مخرج آن کسر است: یک کسر را بالای نوار تقسیم کنید، کسر در کسر را بشمارید و با معکوس کسر پایین تقسیم کنید.
- تفریق عددهای مخلوط و محاسبه با کسرهاعددهای مخلوط را از هم تفریق کنید، در صورت لزوم یک واحد را باز کنید، افادههای دارای کسر مرکب را حل کنید و دستور پخت را بزرگ کنید.
- حصهای از یک عدد و پیدا کردن عدد از روی حصهحصهای از یک عدد را پیدا کنید و عدد را از روی حصهاش پیدا کنید: اول یک حصه، بعد کل یا چند حصه.
- کسر غیرحقیقی، پیدا کردن عدد از روی کسرش، نسبت فیصدی و قیمت تقریبی اعشاریکسر غیرحقیقی را روی نوارها نشان بدهید، تمام را از روی مقدار یک قسمت یا یک فیصدی پیدا کنید، نسبت فیصدی دو عدد را حساب کنید و یک کسر را تا رقم صدم گرد کنید.
- کسر واحدهای اندازه‌گیری۶ سانتیمتر چه قسمتی از یک متر است و ۳ ماه چه قسمتی از یک سال؟ کسر یک واحد را به واحدهای کوچک‌تر تبدیل کنید و با یک عدد نامدار مقایسه کنید.
- یکپنجم و یکدهمیک چیز را به ۵ و به ۱۰ بخشٔ مساوی تقسیم کنید، ۱۵ و ۱۱۰ را مقایسه کنید و یکپنجم و یکدهمِ یک مقدار را پیدا کنید.
نسبت و تناسب
۱۷
- نسبت و تقسیم به اجزای متناسبهبا نوار دورنگه ببینید که ۲:۳ یعنی چه، نسبتها را ساده کنید و یک مقدار را به نسبت دادهشده تقسیم کنید.
- تناسب و احدیتبا جدول تناسب، مقدار مجهول را پیدا کنید: اول مقدار برای یک واحد، بعد برای هر مقدار دیگر. در آخر تناسب معکوس.
- بزرگسازی و اشکال متشابهیک شکل را با نسبت معلوم بزرگ کنید، اشکال متشابه را پیدا کنید، نسبت تشابه را بخوانید و یک شکل متشابه رسم کنید.
- فیصدی تغییر، ضریب و قیمت اصلیمقدار اول یک نوار ۱۰۰٪ است. زیادشدن نوار را درازتر می‌کند (۱۲۰٪) و کمشدن، کوتاهتر (۸۵٪). با نوار ضریب، فیصدی تغییر و قیمت اصلی را پیدا کنید.
- اندازهٔ فی واحد، قیمت فی واحد و کثافتبا جدول نسبت، مقدار «برای هر یک» را پیدا کنید: قیمت هر کیلوگرام، لیتر برای هر ۱۰ افغانی، و کتلهٔ هر سانتیمتر مکعب.
- نقشه و رسم با مقیاسبا خطکش روی نقشه و نقشهٔ خانه اندازه کنید و با مقیاس اندازهٔ حقیقی را پیدا کنید.
- گراف تناسب مستقیم و تناسب معکوسگراف تناسب مستقیم را از روی جدول رسم کنید، k را از یک نقطه پیدا کنید، منحنی y = kx را با لغزنده از یک نقطه تیر کنید، گراف تناسب مستقیم را بشناسید و یک تناسب معکوس رسم کنید.
- اضافی: تناسب مرکبدر تناسب مرکب سه مقدار با هم تغییر میکنند. در جدول هر بار فقط یک مقدار را تغییر دهید و تصمیم بگیرید که تناسب مستقیم است یا معکوس.
- فاصله، سرعت، وقت: s = v · tفاصله، سرعت و وقت را از جدول و با فورمولهای s = v · t، v = s : t، t = s : v پیدا کنید.
- حرکت دو جسم و کار مشترکفاصلهٔ دو جسمی را که همزمان حرکت میکنند و وقت کار مشترک را از جدول و نقشهٔ حل پیدا کنید.
- تقسیم متناسب و مقدار ثابتمسئلهها را با خلاصهٔ قیمت، شمار، مبلغ حل کنید: تقسیم متناسب و پیدا کردن مقدار ثابت از دو تفاوت یا دو مجموع.
- چهارم متناسب و دوبار برگشت به واحدمسئلهها را با روش نسبتها و برگشت به واحد حل کنید، همچنین مسئلههایی که دو چیز تغییر می‌کند.
- اشکال متشابه: طول، مساحت و حجموقتی شکلی با نسبت تشابه k بزرگ می‌شود، طولها k چند، مساحتها k² چند و حجمها k³ چند میشوند. با جدول نسبت، اندازهٔ نامعلوم را دریابید.
- کار: توانایی کار، وقت، مقدار کارمسئلههای کار را حل کنید: توانایی کار · وقت کار = مقدار مجموعی کار، با جدول و با چوکات مثلثی.
- چهارم متناسب: مقدار ثابتمسئلههایی را حل کنید که یک مقدار ثابت دارد (وزن یک صندوق، یک قیمت، وزن مجموعی): اول آن را پیدا کنید، بعد به سوال جواب بدهید.
- پروسهها: حرکت و کارمسئلههای حرکت همزمان و کار مشترک را با یک نقشه حل کنید: سرعت · وقت = فاصله، توانایی کار · وقت = مقدار کار.
- فیصد: کل، بخش و فیصدبا نوار فیصد، تناسب و رابطهٔ «بخش = کل × فیصد»، بخشی از کل، فیصد یا کل را پیدا کنید.
پول و محاسبات مالی
۷
- آشنایی با پول: سکه و نوتسکهها و نوتها را بشناسید، با آن‌ها یک اندازه پول جور کنید و ببینید که سکهٔ زیاد همیشه پول زیاد نیست.
- سودا خریدن و باقی پولقیمت چند چیز را با هم جمع کنید، پول آن را بدهید و باقی پول را با شمردن رو به پیش حساب کنید.
- فیصد در خرید و فروش: تخفیف، مفاد و ضرربا نوار ۱۰۰٪ ببینید که تخفیف چقدر از قیمت کم می‌کند و مفاد و ضرر دکاندار چند فیصد قیمت خرید است.
- ربح ساده و ربح مرکبسرمایه را سال به سال دنبال کنید: با ربح ساده هر سال همان مقدار علاوه می‌شود و با ربح مرکب هر سال در همان عدد ضرب می‌شود. بعد ببینید قیمت یک چیز چطور هر سال کم می‌شود.
- مالیات بر ارزش افزوده، تخفیف نقدی، قیمت فروش و «در هزار»قیمت با مالیات و بدون مالیات برای نرخهای ۱۹٪ و ۷٪، تخفیف و بعد تخفیف نقدی، جدول قیمت فروش و «در هزار».
- فیصد و نقطهٔ فیصدی«۵ فیصد بالا رفت» با «۵ نقطهٔ فیصدی بالا رفت» چه فرقی دارد: نرخ ۲۰ فیصد تا ۲۵ فیصد، سهم شاگردان ممتاز، یک مسئلهٔ بانک.
- قرضه: اقساط با سهم مساوی از اصل قرضه و اقساط مساوییک قرضه بگیرید و ببینید قرض چطور زیاد و کم می‌شود: وقتی هر سال سهم مساوی از اصل قرضه پرداخته شود و وقتی همهٔ قسطها مساوی باشند. بعد مقایسه کنید در پایان چقدر پرداخته می‌شود.
اندازه‌گیری
۳۳
- مقایسهٔ اندازهها: درازتر، سنگینتر، پُرترکدام درازتر است؟ کدام سنگینتر است؟ با گیرهٔ کاغذ، بلست و گیلاس اندازه بگیرید.
- اندازه‌گیری طول، کتله و ظرفیتبا خطکش، ترازو و جگ درجهدار اندازه بگیرید. اول تخمین کنید، بعد اندازه بگیرید.
- ساعت و جنتریعقربههای ساعت را بچرخانید، وقت بعد از ظهر را مانند موبایل بنویسید و روزها را در جنتری پیدا کنید.
- محیط و مساحتدور شکل را بپیمایید تا محیط را دریافت کنید، شکل را با واحدهای سطح بپوشانید تا مساحت را دریافت کنید، و ببینید که دو شکل با مساحت مساوی میتوانند محیطهای مختلف داشته باشند.
- ربع ساعت و ترتیب وقتساعت ۹ و ربع و ده کم ربع را روی ساعت نشان بدهید، وقت را به دو شکل بنویسید و بگویید کدام کار بیشتر وقت گرفت.
- تبدیل واحدهامتر را به سانتیمتر، گرام را به کیلوگرام و لیتر را به ملیلیتر تبدیل کنید. چارت تبدیل با شما کمک می‌کند.
- مساحت مثلث، متوازیالاضلاع، ذوزنقه و دایرهپارچهها را جابه‌جا کنید تا ببینید چرا مساحت متوازیالاضلاع «قاعده × ارتفاع» است، چرا مثلث نصف آن است، ذوزنقه را با یک ذوزنقهٔ دیگر تکمیل کنید و مساحت دایره را تخمین کنید.
- حجم مکعب مستطیلبا واحدهای مکعبی جعبه بسازید، مکعبها را طبقه به طبقه بشمارید و ببینید چرا حجم مکعب مستطیل «طول × عرض × ارتفاع» است.
- اضافی: خواندن درجهٔ حرارت با ترمامترترمامتر را بخوانید و درجهٔ حرارت زیر صفر را نشان بدهید.
- مساحت و حجم منشور و استوانهمنشور و استوانه را دور بدهید، قاعده را پیدا کنید، آن را طبقه طبقه پر کنید تا ببینید چرا «حجم = مساحت قاعده × ارتفاع» است، و شکل باز شده را باز کنید تا مساحت سطح جانبی و مساحت کلی را حساب کنید.
- اندازه‌گیری دقیقتر و قسمتی از واحدبا واحد خود اندازه کنید، قسمتهای خورد سانتیمتر را بشمارید و وسط یک خط را پیدا کنید.
- مساحت و حجم هرم، مخروط و کرههرم را در منشورش و کره را در استوانهاش آب کنید تا ببینید ۱۳ و ۲۳ از کجا میآیند. مخروط را باز کنید تا قطاع دایره را ببینید، مولد را با قضیهٔ فیثاغورث دریافت کنید و حجم و مساحت یک برج را حساب کنید.
- نل، قطی و صندوق: مسألههای حجم و سطحیک ورق را نل کنید و ظرفیت آن را به لیتر بگویید، ورق لازم برای قوطی و صندوق را مقایسه کنید و حجم یک صندوق بیسرپوش را پیدا کنید.
- دقت اندازه‌گیری: حد بالایی و حد پایینیاندازهٔ تقریبشده در حقیقت جایی در یک فاصله است. فاصله را رسم کنید و با حدود آن بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین جواب را دریابید.
- اندازه‌گیری وقت: دقیقه و ثانیهساعت رسیدن را پیدا کنید، فاصلهٔ میان دو ساعت را با تیرهای وقت حساب کنید و ثانیه، دقیقه و ساعت را به هم تبدیل کنید.
- کیلومتر، ظرفیت و وزن آبمتر و کیلومتر را به هم تبدیل کنید، ظرفیت ظرف را از حجم مایع داخل آن فرق کنید و ببینید که یک لیتر آب ۱۰۰۰ سانتیمتر مکعب است و ۱ کیلوگرام وزن دارد.
- مساحت معین و دایرهمساحت معین را با چهار مثلث و با قطرهایش پیدا کنید، ببینید چرا معین نصف مستطیل دور خود است و مساحت دایره را از قطاعهای آن و با فورمول «پای × شعاع × شعاع» حساب کنید.
- متر با سانتیمتر، کیلوگرام با گراماندازههای دو واحدی را بخوانید و بنویسید (۳۲۵ سانتیمتر = ۳ متر و ۲۵ سانتیمتر)، واحد مناسب را انتخاب کنید و نیم سانتیمتر را بالای خطکش بخوانید.
- دیسی متر و عملها با مقدارهابیاموزید که ۱ دیسی متر = ۱۰ سانتیمتر است، فیتهها را با دیسی متر اندازه کنید و درازیهای دیسی متری و سانتیمتری را با هم جمع کنید.
- اندازههای مرکب: حساب با آنهااندازههای مرکب را جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کنید: همه را با یک واحد بنویسید، حساب را بکنید و جواب را با دو واحد بنویسید.
- مساحت مستطیل و واحدهای مساحتمساحت مستطیل را با S = a · b پیدا کنید، ضلع مجهول را بیابید و واحدهای مساحت را بیاموزید: سانتیمتر مربع، دسیمتر مربع، متر مربع، آر و هکتار.
- وقت: جمع و تفریق اندازههای مرکبواحدهای بزرگ وقت را به واحدهای کوچک تبدیل کنید، جمع و تفریق کنید و جواب را با دو واحد بنویسید. از شروع و پایان یک واقعه پیدا کنید که چقدر طول کشید.
- منشور، متوازیالسطوح و هرم: خاصیتها، مقطعها و هرم ناقصقطر مکعب مستطیل، حجم منشور مایل، مساحت جانبی هرم منظم، حجم هرم ناقص و مقطع هرم را پیدا کنید.
- مقطعهای استوانه، مخروط و کره، معادلهٔ کرهقطر مقطع محوری، شعاع مقطع مخروط و کره را پیدا کنید و مرکز و شعاع را از معادلهٔ کره بخوانید.
- منشور: مسألههای زاویه و قطرارتفاع و ضلع جانبی منشور قایم را از یک قطر و یک زاویه پیدا کنید، مساحت جانبی را حساب کنید و جوابها را با جذر بنویسید.
- هرم: رأس روی کجا تصویر میشوداز ضلعهای جانبی مساوی یا زاویههای دووجهی مساوی بفهمید رأس روی کدام مرکز قاعده تصویر می‌شود، بعد ارتفاع و مساحت جانبی را پیدا کنید.
- حجم جسمها: مسئلههاحجم یک قطعه را از بالا آمدن آب پیدا کنید، شعاع گلولهٔ آبشده را بیابید و حجم جسمی را که از دوران مثلث یا ذوزنقه ساخته می‌شود حساب کنید. π را در جواب نگه دارید.
- محیط مضلعمحیط مثلث ABC و مستطیل DMPK را به شکل مجموع درازی همهٔ ضلعها پیدا کنید.
- طول قوس، مساحت قطاع و قطعهٔ دایرهطول قوس n درجه، مساحت قطاع و قطعهٔ دایره را با l = πRn/180 و S = πR²n/360 پیدا کنید.
- قطاع، قوس و قطعهٔ دایرهقطاع دایره، n بر ۳۶۰ از کل دایره است. طول قوس و مساحت قطاع را حساب کنید، از روی طول قوس زاویه را پیدا کنید و مساحت قطعهٔ دایره را بیابید.
- بخشهایی از کره و منشور مایلمساحت کمربند کروی، حجم قطعه و حجم قطاع کروی و حجم منشور مایل را پیدا کنید. جواب را با π بنویسید؛ مثلاً ۲۰π را ۲۰π وارد کنید.
- واحدهای وزن، سرعت و مساحتتن، کوینتال و کیلوگرام، کیلومتر در ساعت و متر در ثانیه، هکتار و کیلومتر مربع را به هم تبدیل کنید و واحد مناسب را انتخاب کنید.
- تن، کیسه و قرنتن و کیسههای ۱۰۰ کیلوگرمی را به کیلوگرام تبدیل کنید و پیدا کنید هر سال میلادی در کدام قرن است.
هندسه و اشکال
۸۲
- شکلهای هندسی و تناظربالای تختهٔ نقطهدار مثلث و مربع بسازید، مثلثها را پیدا کنید و محور تناظر را رسم کنید.
- کنج، دایره، مستطیل و تناظرکنجها را بشمارید، شکلی را که کنج ندارد پیدا کنید، یک مستطیل رسم کنید، شکل را تا کنید و یک شکل را به بخشهای مساوی ببرید.
- اجسام: مکعب، استوانه، کره…مکعب، مکعب مستطیل، استوانه، مخروط، کره و هرم را بشناسید، سطحها و ضلعها را بشمارید و شکل باز شده مکعب را بسازید.
- خط مستقیم، نیم خط، قطعه خط و زاویهنیم خطها را پیدا کنید، بالای تختهٔ نقطهدار خط موازی و عمود رسم کنید و زاویهها را با یک کنج قایم مقایسه کنید.
- مثلثها و چهارضلعیهامثلثها را از لحاظ اضلاع و زاویهها دستهبندی کنید، خانوادهٔ چهارضلعیها را بشناسید و قطرهای معین را رسم کنید.
- چندضلعیها و مجموع زاویههاچندضلعیهای منظم را پیدا کنید، مجموع زاویههای مثلث را کشف کنید و با تقسیم به مثلثها، مجموع زاویههای چندضلعیها را پیدا کنید.
- اندازه‌گیری زاویه توسط نقالهزاویه را با نقاله بخوانید و رسم کنید. زاویههای بالای یک خط، زاویههای متقابل به رأس و ناصف زاویه را پیدا کنید.
- دایره، شعاع، قطر و عدد πقطر و شعاع دایره را اندازه کنید. فیتهیی را دَور دایره بپیچانید و ببینید محیط دایره چند برابر قطر آن است.
- ترسیمات هندسی با پرکار و خطکشبا پرکار و خطکش وتر و قوس را بشناسید، ناصف عمودی و ناصفالزاویه را ترسیم کنید و مثلث را از روی اضلاع آن بسازید.
- زاویههای دو خط موازی و یک خط قاطعدو خط موازی و یک خط قاطع را کش کنید و دور بدهید و ببینید کدام زاویهها همیشه با هم مساویاند، کدامها متممهاند، و وقتی خطها موازی نباشند چه می‌شود. بعد با یک خط موازی نشان بدهید که مجموع زاویههای مثلث ۱۸۰ درجه است.
- رابطهٔ بین اضلاع مثلث، میانه، ارتفاع، ناصفالزاویه و ناصف عمودیبا سه چوب مثلث بسازید و ببینید کدام سه طول مثلث می‌سازند و کدام نه. بعد میانه، ارتفاع و ناصف عمودی را روی مثلثی که خود شما شکلش را تغییر میدهید امتحان کنید و ببینید سه میانه همیشه کجا با هم یکجا میشوند.
- اشکال انطباقپذیر و حالات انطباقپذیری مثلثهایک شکل را انتقال بدهید، دور بدهید و چپه کنید تا بالای شکل دیگر قرار بگیرد. بعد رأسهای متناظر دو مثلث را پیدا کنید، حالت انطباقپذیری را انتخاب کنید، یک ثبوت سطر به سطر بنویسید و با یک مثال نقض نشان بدهید که «ض ض ز» حالت انطباقپذیری نیست.
- قضیهٔ فیثاغورث و عکس آنروی اضلاع یک مثلث قایمالزاویه مربع بسازید و مساحتها را مقایسه کنید، با چهار مثلث مساوی ببینید چرا قضیهٔ فیثاغورث درست است، ضلع مجهول را دریابید، با عکس قضیه معلوم کنید مثلثی قایمالزاویه است یا نه، و √۲ را با پرکار بالای محور نشان بدهید.
- استدلال و ثبوت در هندسهیک مثلث متساویالساقین را کش کنید و ببینید که زوایای قاعدهٔ آن همیشه مساوی میمانند. بعد این را با دلیل ثابت کنید، از آن در یک ثبوت تازه استفاده کنید و با یک مثال نقض نشان بدهید که یک ادعای دیگر غلط است.
- قضیهٔ تالس و تشابه مثلثهاخطی موازی با یک ضلع مثلث را حرکت بدهید و ببینید نسبت حصههایی که روی دو ضلع دیگر جدا می‌کند همیشه مساوی میماند. بعد عکس قضیه، مثلثهای متشابه و نسبت تشابه را امتحان کنید.
- محل هندسیهمهٔ نقطههایی را دریابید که از یک نقطه، یک قطعهخط، دو نقطه یا دو ضلع یک زاویه فاصلهٔ معین دارند و ببینید چه شکلی می‌سازند. بعد با پرکار ساحهای را رنگ کنید که دو شرط را با هم دارد.
- حالتهای یک مستقیم با دایره، زاویهٔ مرکزی، زاویهٔ محیطی و خط مماسیک مستقیم را روی دایره بالا و پایین ببرید و ببینید چه وقت دایره را قطع می‌کند، چه وقت با آن مماس است و چه وقت از آن جداست. دو دایره را به هم برسانید، یک مماس را دور دایره بچرخانید و ببینید زاویهٔ محیطی همیشه نصف زاویهٔ مرکزی است.
- دایرهٔ محیطی، دایرهٔ محاطی، چهار ضلعی مرسوم به دایره و روابط طولیدایرهٔ محیطی و دایرهٔ محاطی یک مثلث را بسازید و ببینید مرکز آن‌ها کجاست. بعد رأسهای یک چهار ضلعی مرسوم به دایره را روی دایره کش کنید و دو وتر متقاطع را امتحان کنید: کدام رابطه همیشه درست میماند؟
- منظرهای جسم و فیثاغورث در فضابرجی از مکعبها را دور بدهید، منظر پیش رو، بالا و پهلوی آن را پیدا کنید و روی شبکه رسم کنید. بعد قطر مکعب مستطیل را با دو بار قضیهٔ فیثاغورث دریافت کنید.
- تکمیلی: قضایای مثلث قایمالزاویهاگر یک زاویهٔ حادهٔ مثلث قایمالزاویه °۳۰ باشد، ضلع مقابل آن نصف وتر است؛ و میانه وارد بر وتر هم نصف وتر است. این دو قضیه را ببینید، یکی را ثابت کنید و به کار ببرید.
- اصلها، قطعهخطها و قضیههاببینید از دو نقطه فقط یک خط میگذرد و AB = AC + CB است، وسط یک قطعهخط را پیدا کنید و قضیه را از عکسش تشخیص بدهید.
- تکمیلی: کاشیکاری با مضلعهاکاپیهایی از یک مضلع منظم را دور یک نقطه بچینید و ببینید کدامها بدون جای خالی و بدون بالای هم افتادن جا میشوند، چرا مضلع منظم پنجضلعی جای خالی میگذارد، و با دو نوع مضلع کاشیکاری کنید.
- تکمیلی: چندوجهیهای منظم و مقطعچندوجهی منظمها را دور بدهید، سطحها، رأسها و ضلعهای آن‌ها را بشمارید و رابطهٔ V − E + F = ۲ را پیدا کنید. بعد یک مکعب را با کارد ببُرید و ببینید مقطع چه شکلهایی میتواند باشد.
- زاویهٔ خارجی، ضلعها و زاویهها، مثلثهای قایمالزاویهببینید که زاویهٔ خارجی مساوی مجموع دو زاویهٔ داخلی است، زاویهٔ بزرگ‌تر روبروی ضلع بلندتر قرار دارد، و حالتهای مطابقت مثلثهای قایمالزاویه را به کار ببرید.
- وتر، محل هندسی و چهار مرحلهٔ رسمببینید قطعهخطی که مرکز را به وسط وتر وصل می‌کند بر وتر عمود است، فاصلهٔ مرکز تا وتر را پیدا کنید و تعداد جوابهای یک مسئلهٔ محل هندسی را بشمارید.
- مقاطع مخروطی: برش یک مخروطیک مخروط را با صفحههای مختلف ببرید و ببینید دایره، بیضی، سهمی و هذلولی از کجا میآیند. بعد ببینید نسبت فاصله از کانون به فاصله از خط هادی چه خمی میسازد.
- مضلع منتظم و دایرهٔ محاطی خارجی مثلثضلع و آپوتم مضلع منتظم را از روی شعاع دایرهٔ محیطی یا محاطی و شعاع دایرهٔ محاطی خارجی مثلث را پیدا کنید.
- خط و مستوی در فضابا یک مکعب مستطیل دریابید که دو خط در فضا نسبت به هم چه وضعیتی دارند: موازی، متقاطع یا متنافر. بعد خط و مستوی، خط عمود بر مستوی و زاویهٔ دو خط متنافر را بررسی کنید.
- اصلهای هندسهٔ فضایی و مقطعهااز سه نقطه مستوی بگذرانید، خطی را که دو مستوی در آن به هم میرسند پیدا کنید، خط موازی با مستوی را بشناسید و شکل مقطع مکعب را نام ببرید.
- مستویهای موازی، تصویر و عمودموازی بودن دو مستوی را آزمایش کنید، قطعه خطهای بین مستویهای موازی را مقایسه کنید، طول تصویر موازی و فاصلهٔ نقطه تا مستوی را پیدا کنید.
- تناظر مضلعها، زاویههای داخلی و خارجیمحورهای تناظر مضلعهای منظم را بشمارید، زاویهٔ هر رأس را پیدا کنید و ببینید چرا مجموع زاویههای خارجی همیشه ۳۶۰ درجه است.
- قضیههای دایره و قضیهٔ ناصف زاویهٔ مثلثثابت کنید که دو مماس از یک نقطه مساوی اند و بیاموزید که ناصف زاویهٔ مثلث ضلع مقابل را به نسبت دو ضلع دیگر تقسیم می‌کند.
- عمود و موازی از یک نقطه، و رسم شکل از روی دادههااز نقطهیی بیرون خط، عمود و موازی رسم کنید و با تحلیل مسئله، معین و مثلث متساویالساقین را با پرکار بسازید.
- رسم زاویه و مثلث با پرکار و خطکشزاویهیی برابر زاویهٔ دادهشده رسم کنید. مثلثی بسازید از دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها، از یک ضلع و دو زاویهٔ کنار آن، و مثلث قایمالزاویهیی از یک ضلع قایمه و وتر.
- روش محل هندسی در رسم: نقطه، دایره، مثلثنقطهٔ مطلوب را به صورت برخورد دو محل هندسی پیدا کنید. سه مسئله: نقطهیی روی یک خط به فاصلهٔ معین از خط دیگر، دایرهٔ مماس بر یک خط در نقطهیی معین، و مثلث با یک ضلع و شعاع دایرهٔ محیطی.
- برهان خلفثابت کردن قضیهها با برهان خلف را بیاموزید: فرض کنید حکم نادرست است، به تناقض برسید و نتیجه بگیرید.
- قضیههای سوا، منلائوس، بطلمیوس و خط اویلرچهار قضیهٔ اضافی: چه وقت سه خط از رأسهای مثلث به یک نقطه میرسند، چه وقت سه نقطه روی یک خطاند، حاصلضرب قطرهای چهارضلعی محاطی و خط اویلر.
- نیم‌خط، قطعهخط و قطر چندضلعینامگذاری نقطهها با حرف، نیم‌خط و قطعهخط، کشیدن قطعهخط با اندازهٔ دادهشده و شمردن قطرهای چندضلعی با «حل مسئلهٔ سادهتر».
- تناظر و تاه کردن کاغذشکلهای متناظر را با محور تناظر بشمارید، تصویر متناظر شکل را بکشید و پیشبینی کنید که کاغذ تاهشده و بریدهشده بعد از باز کردن چه شکلی می‌شود.
- حل مسئلههای هندسه: فرض، حکم و طرحفرض را از حکم جدا کنید، پیش از نوشتن ثبوت طرح بریزید، با عمود و قضیهٔ فیثاغورث کوتاهترین سرک را پیدا کنید و کاربردهای دایره را ببینید.
- خانهٔ چهارضلعیهاذوزنقه، بادبادک، متوازیالاضلاع، معین (لوزی)، مستطیل و مربع را با تناظر و قطرها دستهبندی کنید و یک بادبادک بسازید.
- رابطههای متری در مثلث قایمالزاویه و خاصیت‌های تناسبارتفاع وارد بر وتر مثلث قایمالزاویه را رسم کنید و ببینید AH² = BH×HC است؛ با آن یک ضلع را پیدا کنید، از خاصیت جمع در تناسب کار بگیرید و از همین شکل قضیهٔ فیثاغورث را بسازید.
- زاویهٔ مقابل به قطر، دایرهٔ محیطی و مماسثابت کنید زاویهٔ محیطی مقابل به قطر قایمه است و عکس آن هم درست است؛ دایرهٔ محیطی یک مثلث را پیدا کنید و با دایرهیی به قطر PM یک مماس رسم کنید.
- دایره و سطح دایرهییدایره را از سطح دایرهیی تشخیص بدهید، مرکز و شعاعها را پیدا کنید و نقطههایی را که روی دایرهاند علامت بزنید.
- رسم مثلث با طرح و برنامهبرای رسم مثلث، شکل تقریبی بکشید، مراحل رسم را شمارهدار بنویسید و بحث کنید که مسئله چند جواب دارد. ارتفاع هم میتواند جزء دادهها باشد.
- حکم، عکس قضیه و ثبوتقضیه را به فرضیه و حکم تقسیم کنید، عکس آن را بنویسید و با مثال نقض رد کنید، و قضیهٔ فیثاغورس را ثبوت کنید و به کار ببرید.
- نقشهٔ مایل جسمهاضلعهای عمق را با ضریب q کوتاه کنید، نقشهٔ مایل نادرست را پیدا کنید و اندازهٔ واقعی را از روی نقشهٔ مایل بخوانید.
- صفحههای تقارن و مقطعهاصفحههای تقارن جسمها را بشمارید، مقطع محوری استوانه و مخروط را پیدا کنید و با مختصات سهبعدی قطر یک مکعب مستطیل را به دست بیاورید.
- تجانس در سیستم مختصاتتصویر نقطهها و خطوط را در تجانس با قاعدهٔ وکتور حساب کنید، نسبت تجانس k را دریافت کنید و مرکز ثقل مثلث را به دست آورید.
- عمود و مایل، زاویهٔ خط و صفحه، زاویهٔ دووجهیمایل را از عمود و تصویرش پیدا کنید، زاویهٔ بین خط و صفحه و زاویهٔ دووجهی را با زاویهٔ خطیاش اندازه بگیرید و نشان بدهید دو صفحه بر هم عمودند.
- متوازیالاضلاع، مستطیل، معین و مربععنصرهای چهارضلعی، ویژگیها و شرطهای متوازیالاضلاع و قطرهای مستطیل و معین را یاد بگیرید.
- ذوزنقه، خط میانی، چهارضلعی محیطی و مساحت ذوزنقهخاصیتهای ذوزنقهٔ متساویالساقین، خط میانی، شرط چهارضلعی که دایره در آن محاط شود و مساحت ذوزنقه را بیاموزید.
- حالت دوم و سوم تشابه مثلثهامثلثهای متشابه را با دو ضلع و زاویهٔ میان آن‌ها یا با سه ضلع پیدا کنید، ضلع مجهول را حساب کنید و از دام زاویهای که میان ضلعها نیست دور بمانید.
- قطعه خط، طول آن و خطقطعه خطها را با گذاشتن روی هم مقایسه کنید، طول AB را از دو قسمت پیدا کنید، فاصلهٔ میان نقطهها را اندازه کنید و بدانید از دو نقطه چند خط میگذرد.
- چندضلعی، شکلهای انطباقپذیر، مساحت، آر و هکتارچندضلعی را با رأسهایش نامگذاری کنید، با گذاشتن یک شکل روی شکل دیگر شکل انطباقپذیر را پیدا کنید، فرق شکلهای انطباقپذیر با شکلهای هممساحت را بفهمید و مساحت زمین را به هکتار تبدیل کنید.
- استوانه و مخروط: قاعدهها و شکل بازشدهقاعدههای استوانه و مخروط را پیدا کنید و مساحت سطح جانبی استوانه را از شکل بازشدهٔ آن حساب کنید.
- نقطه، خط مستقیم، خط منحنی، نیم خط، قطعه خط، خط شکستهدر یک شکل نقطهها، خطهای مستقیم و خطهای منحنی را پیدا کنید. قسمتهایی را که نقطهها روی یک خط می‌سازند نام ببرید و طول خط شکسته را اندازه کنید.
- دو قاطع و مماساز نقطهٔ P بیرون دایره دو قاطع، یا یک قاطع و یک مماس، رسم شده است. حاصل ضرب قطعه خطها مساوی می‌شود: PA · PB = PC · PD و PT² = PA · PB.
- خطهای موازی که صفحه را قطع میکنند، و تصویر موازیطول قطعهخطها را بین خطهای موازی که صفحه را قطع میکنند پیدا کنید، و نسبت قطعهخطها را در تصویر موازی.
- دو چند کردن میانه و قضیهٔ وَریینیونمیانه را ادامه بدهید تا متوازیالاضلاع بسازید و حد میانه را ثابت کنید؛ وسطهای ضلعهای یک چهارضلعی دلخواه را وصل کنید و ببینید چه شکلی می‌شود.
- نسبت مساحت مثلثهامساحتها را بدون حساب مقایسه کنید: مثلثهایی که ارتفاع مشترک دارند، مساحتشان به نسبت قاعده‌های شان است؛ میانه مثلث را نصف می‌کند؛ و رأسی که بالای خط موازی حرکت کند، مساحت را تغییر نمیدهد.
- تشابه در عمل: ارتفاع از روی سایه، فاصلهٔ غیرقابل دسترساز مثلثهای متشابه برای اندازه‌گیری در زمین استفاده کنید: ارتفاع درخت از روی سایهاش، فاصلهیی که آن طرف رودخانه است، و نسبت مساحت دو شکل متشابه. پاسخها را به صورت «فرض، حکم، حل، جواب» بنویسید.
- زاویههای بین وترها، قاطعها و مماسزاویهیی که رأسش بالای دایره نیست، با قوسها اندازه می‌شود: زاویهٔ بین دو وتر متقاطع نصف مجموع دو قوس است؛ زاویهٔ بین دو قاطع نصف تفاضل دو قوس؛ و زاویهٔ بین مماس و وتر نصف قوس مقابلش.
- دو دایره و مماسهای مشترکشانوضعیت دو دایره به فاصلهٔ مرکزها، d، و شعاعهای R و r بستگی دارد. یک دایره را جابه‌جا کنید و ببینید چند نقطهٔ مشترک و چند مماس مشترک دارند.
- مرور هندسهٔ فضایی: خطهای متنافر و عمود بر مستویقدم درست بعدی یک ثبوت دربارهٔ خطهای متنافر را انتخاب کنید، بعد مسألههایی دربارهٔ زاویهٔ بین خطها، تصویر موازی و عمود بر مستوی حل کنید.
- خود تان را بسنجید: چندوجهیها، جسمهای دورانی و حجمآزمونهای چهارگزینهیی دربارهٔ مساحت جانبی منشور، استوانه و مخروط و حجم کره.
- چندوجهیها: وجه، ضلع، رأسقاعدهها، وجههای جانبی و ضلعهای هرم، منشور و مکعب مستطیل را پیدا کنید و وجهها و ضلعهای آن‌ها را بشمارید.
- مساحت تصویر قائم کثیرالاضلاعبا قضیهٔ مساحت تصویر، S′ = S · cos α، مساحت تصویر یا مساحت خود کثیرالاضلاع را پیدا کنید.
- جایی که خط و صفحه، یا دو صفحه به هم میرسندنقطهٔ تقاطع یک خط را با صفحهٔ قاعدهٔ مکعب و خط تقاطع دو صفحهٔ چهاروجهی را با اصلهای هندسهٔ فضایی رسم کنید.
- نقطهیی که از رأسها یا ضلعهای چندضلعی به یک فاصله استاگر نقطهٔ M از رأسهای مثلث به یک فاصله باشد، تصویرش مرکز دایرهٔ محیطی است؛ اگر از ضلعها به یک فاصله باشد، مرکز دایرهٔ محاطی. فاصلهٔ M تا صفحه را پیدا کنید.
- زاویه، زاویهٔ قایمه، مستطیل و مربعیک زاویه را با حرفها نام ببرید، زاویهٔ قایمه را با گونیا پیدا کنید، مستطیل را از چهار ضلعیهای دیگر و مربع را از مستطیلهای دیگر جدا کنید.
- مضلع منتظم: زاویه، تعداد ضلعها، رسماز روی زاویه تعداد ضلعهای مضلع منتظم را پیدا کنید، بررسی کنید که چنین مضلعی هست یا نه، و مسدس را با وترهای R و ۲n ضلعی را رسم کنید.
- تقارن و تجانس در فضاقرینهٔ یک نقطه را نسبت به یک صفحه پیدا کنید، ببینید حجم در تجانس چگونه بزرگ می‌شود و همهٔ صفحههای تقارن مکعب و کره را پیدا کنید.
- چندوجهیها، گسترده و کوتاهترین مسیرتشخیص بدهید کدام چندوجهی محدب است، از رابطهٔ اویلر کار بگیرید، یک منشور را باز کنید و کوتاهترین مسیر عنکبوت را روی سطح یک خشت پیدا کنید.
- کره و استوانهٔ محاطی و محیطیشعاع کرهیی را که در داخل مکعب یا مخروط قرار دارد و کرهیی را که گرد مکعب مستطیل میگذرد دریافت کنید و حجم استوانهیی را که گرد یک منشور است به دست آورید.
- کشیدن بالای کاغذ خانهدارمانند کتابچهٔ خانهدار بالای شبکه بکشید: قطعه خطی با طول دادهشده، مربع، مستطیل و شکلی با محیط دادهشده.
- گونیا و شکلهایی از مستطیلهابا گونیا زاویهٔ قایمه و عمود رسم کنید و مساحت شکلی را که از چند مستطیل ساخته شده پیدا کنید.
- ساختمانهای مکعبی: نقشه و نماهانقشهٔ ساختمان را که با ارتفاعها نوشته شده بخوانید، نمای روبهرو و نمای بالا را بکشید و حساب کنید یک ساختمان حداکثر چند مکعب دارد.
- کاغذ خانهدار: ساختن، مسیر و مساحت با شمردن خانههابالای کاغذ خانهدار مستطیل بسازید، طول یک مسیر را دریافت کنید، مساحت یک شکل را با شمردن خانهها به دست آورید و مساحت یک شکل گرد را با شبکهٔ شفاف برآورد کنید.
- گونیا، خطکش و نقالهبا گونیا خط عمود و خط موازی رسم کنید، با نقاله زاویه را اندازه کنید و رسم کنید، و ارتفاع مثلث را بکشید.
- کاشیکاری و نوارهای تزیینیدر یک کاشیکاری، شکلهای دور یک نقطه را بشمارید. یک نوار تزیینی را با انتقال و با قرینه کردن ادامه بدهید و محورهای تقارن را پیدا کنید.
- تبدیلهای پی در پیدو تبدیل را پی در پی انجام بدهید، گراف حامل نقطهٔ متحرک را دریافت کنید و به ترتیب تبدیلها دقت کنید.
موقعیت، جهت و تناظر
۶
- جای، جهت و دورانطرف چپ و راست، بالا و پایین و «میان» را پیدا کنید. بعد تیر را ربع دور، نیم دور و سه ربع دور بچرخانید.
- مختصات و انتقالنقطهها را با مختصات آن‌ها روی صفحهٔ مختصات بگذارید، رأس گمشدهٔ یک شکل را پیدا کنید و شکلها را انتقال بدهید.
- انعکاس، دوران و تناظر مرکزیدر چهار ناحیهٔ مستوی مختصات نقطه بگذارید، شکلها را نظر به یک محور انعکاس بدهید، به دور یک نقطه دوران بدهید و مرکز تناظر را پیدا کنید.
- تبدیلات هندسی و تجانسببینید کدام تبدیلها طولها، زاویهها و جهت شکل را نگه میدارند، یک شکل را از یک مرکز با ضریب ۲ و ۱۲ تجانس بدهید، مرکز یک تجانس را دریابید و ببینید مساحت چند چند می‌شود.
- انعکاس و دورانشکلی را نسبت به خط عمودی، خط مایل و محور x انعکاس بدهید، شکل را از نیمهاش کامل کنید، شکلها را دور نقطههای مختلف بچرخانید و مختصات تصویر را پیدا کنید.
- ترکیب تبدیلها، تقارن و کاربرد قرینهدو انعکاس پشت سر هم، انعکاس لغزشی، محورهای تقارن یک چندضلعی و کوتاهترین مسیر با کمک قرینه را بشناسید.
الگوها و ترادف‌ها
۸
- الگوهای تکراری و الگوهای عددیشکلها و اعدادی که با یک قاعده پشت سر هم میآیند. الگو را پیدا کنید، ادامه دهید و اصلاح کنید.
- ماشین ورودی ـ خروجی و قاعدهٔ ترادفعددی داخل ماشین میرود و عدد دیگری بیرون میآید. کار ماشین را پیدا کنید، بعد قاعدهٔ ترادفهای عددی را.
- حد عمومی الگو و ترادف هندسیاز الگوی چوبهای گوگرد جدول بسازید، حد عمومی را پیدا کنید و با آن شکل بیستم را بدون رسم کردن بشمارید. بعد ترادفهایی را ببینید که هر بار ضرب میشوند.
- ترادف، حد nام و رابطهٔ بازگشتیبا نماد aₙ حدها را حساب کنید، ترادفی را از رابطهٔ بازگشتی بسازید، ترادف متناوب را تشخیص بدهید و اعداد مثلثی را بشمارید.
- سیگما و مجموع سلسلههانماد Σ را بخوانید، مجموع حدهای ترادف حسابی و هندسی را حساب کنید و ببینید چرا سلسلهٔ لایتناهی گاهی به یک عدد میرسد.
- مجموعهای ویژه، تفاضل و مدلسازیمجموع مربعها را بسازید، مجموعی را با روش تفاضلها جمع کنید، حد nام ترادف درجهٔ دوم را پیدا کنید و مسئلهٔ واقعی را با سلسلهٔ حسابی حل کنید.
- نمودار دنباله، یکنوایی و کرانداریدنباله را به صورت نقطههای (n, a_n) رسم کنید: دنبالهٔ حسابی روی یک خط راست است و دنبالهٔ هندسی روی یک منحنی. بعد بگویید دنباله همیشه بزرگ می‌شود یا نه و از یک کران پایینتر میماند یا نه.
- الگوهای عددی؛ جمعهای منظم، عددهای آینهای و دیوار عددیجمعهای منظم را ادامه بدهید، قاعده را پیدا کنید، عددهای آینهای بسازید و آجر گمشدهٔ یک دیوار عددی را پیدا کنید.
الجبر
۴۷
- ترتیب عملیات، حرف به جای عدد و فورمولافادهها را قدم به قدم و به ترتیب درست حساب کنید. بعد حرفی را به جای عدد بگذارید و با فورمول کار کنید.
- افادههای الجبری، حدود مشابه و قیمت عددیبا کاشیهای الجبری افاده بسازید، حدود مشابه را کنار هم بگذارید و ساده کنید، بعد به جای x عدد بگذارید و قیمت عددی افاده را پیدا کنید.
- معادله و حل معادلهٔ درجه یک با ترازومعادله مانند یک ترازوی متوازن است. عدد امتحان کنید، بعد معادلههایی با x در یک طرف یا دو طرف، با کسر و با قوس را حل کنید؛ هر کاری که با یک کفه میکنید، با کفهٔ دیگر هم بکنید.
- تشکیل معادله برای مسئلههای متنیمجهول را با یک حرف نشان دهید، مسئله را به یک معادله تبدیل کنید، آن را حل کنید و جواب را در خود مسئله امتحان کنید.
- ضرب در قوس و تجزیه به فکتورقوس را مانند یک مستطیل ببینید: با کاشیها مساحت مستطیل را رنگ کنید و قوس را رفع کنید؛ بعد برعکس کار کنید و اضلاع مستطیل را پیدا کنید تا افاده را تجزیه کنید.
- ضرب افادههای دو حده و مطابقتهادو قوس را مانند یک مستطیل از کاشیها و در جدول ضرب کنید، ببینید چرا مربع مجموع دو حد دو نوار وسطی دارد و مطابقت را از معادله تشخیص بدهید.
- نامساواتها، انتروالها و حل نامساواتحلهای یک نامساوات را روی خط اعداد نشان بدهید: دایرهٔ پُر یا خالی، قطعه خط یا نیم خط. بعد نامساواتهای خطی را حل کنید و ببینید چرا ضرب در عدد منفی جهت نامساوات را عوض می‌کند.
- پولینومها: شکل استاندارد، تفریق، ضربپولینوم را به شکل استاندارد بنویسید، با قوس تفریق کنید، سه حد را در دو حد روی چوکات ضرب کنید و حاصلضرب را به توان برسانید.
- سیستم معادلات خطی دو مجهولهنقطهای را پیدا کنید که در هر دو معادله صدق کند: آن را از محل تقاطع دو خط بخوانید، خط دوم را رسم کنید، یک مجهول را افنا کنید، با خطوط موازی آشنا شوید و جایی که گراف فقط تخمین میدهد، جواب دقیق را پیدا کنید.
- تجزیهٔ افادههای درجه دوم و مطابقتهای دیگرکاشیهای یک افادهٔ درجه دوم را به شکل مستطیل بچینید تا دو قوس آن پیدا شود، با جورههای صفر علامه‌های منفی را ببینید، اول فکتور مشترک را بیرون بکشید و با مجموع مکعبات آشنا شوید.
- معادلهها با دو مجهول و سیستمهاجورههایی را که معادله‌یی با دو مجهول را درست میکنند پیدا کنید، گرافش را بکشید، از یک قصه سیستم بسازید و جواب آن را پیدا کنید.
- افادههای کسری الجبریصورت و مخرج یک افادهٔ کسری را به فکتورها تجزیه کنید و فکتورهای مساوی را ساده بسازید. اول ببینید x کدام قیمتها را نمیتواند بگیرد؛ بعد افادههای کسری را با مخرج مشترک جمع و تفریق کنید و با ساده ساختن تقسیم کنید.
- دستهبندی و مکعبها: تجزیهافادهٔ چهار جملهیی را با دستهبندی تجزیه کنید، مجموع و تفاضل مکعبها را تجزیه کنید و وقتی چند روش جور است، بدانید از کجا شروع کنید.
- معادلهٔ درجه دوم: تجزیه، تکمیل مربع و فورمول محمد بن موسیمعادلات درجه دوم را با تجزیه حل کنید، مانند محمد بن موسی خوارزمی با کاشیها مربع را تکمیل کنید و با دیسکریمینانت ببینید معادله چند حل دارد.
- پولینومها و تقسیم آنهادرجه و ترتیب معیاری یک پولینوم، بعد تقسیم پولینومها با پر کردن برعکس جدول ضرب، با باقیمانده و با توانهایی که وجود ندارند.
- جدول هورنر و جذرهای تامچندجملهیی را با جدول هورنر بر x − a تقسیم کنید، باقیمانده را پیدا کنید و جذرهای تام را از میان مقسومعلیههای جملهٔ ثابت پیدا کنید.
- تعیین اشاره و نامساواتهای کسریدریابید یک افاده کجا مثبت و کجا منفی است: صفرهای آن را نشانی کنید، جدول اشاره را زیر محور پر کنید و حل نامساواتی مانند x − ۱x + ۲ ≥ ۰ را بخوانید.
- نامساواتهای خطی با دو متحول و ناحیهٔ حلمستقیم سرحدی را رسم کنید، آن را پُر یا نقطهچین کنید، یک نقطه را امتحان کنید و طرفی را که صدق نمیکند خطخط کنید؛ بعد ناحیهای را پیدا کنید که در دو یا سه نامساوات با هم صدق کند.
- نامساواتهای عددی و خاصیت‌های آنهاعددها را با علامهٔ تفاضل a − b مقایسه کنید، نامساواتها را ثبوت کنید، نامساواتها را طرف به طرف جمع کنید و قیمت یک افاده را تخمین بزنید.
- سیستم نامساواتهای خطی با یک مجهولهر نامساوات سیستم را حل کنید، جوابها را روی محور نشان بدهید و بخش مشترک آن‌ها را پیدا کنید: یک قطعه، یک عدد یا مجموعهٔ تهی.
- سیستم معادلهها با دو مجهولجوابهای سیستمی را که معادلهٔ درجهٔ دوم دارد به شکل نقطههای مشترک گرافها پیدا کنید، با تعویض حل کنید و از یک مسأله سیستم بسازید.
- سیستم معادلهها: طریقهٔ تعویضیافادهٔ یک مجهول را در معادلهٔ دیگر بگذارید، قوس را نگه دارید، اول یک مجهول را تنها کنید و جواب را روی گراف و در هر دو معادله بررسی کنید.
- معادله‌های ناطق و جذریمعادلههای کسری و معادله‌های دارای جذر را حل کنید و جذرهای ناخواسته را با امتحان دور بیندازید.
- مجموع و حاصل ضرب جذرها، معادله‌های قابل تبدیل و تقاطع خط با پارابولااز ضریبها مجموع و حاصل ضرب جذرها را بخوانید، معادلهٔ x به توان ۴ را با تغییر متحول حل کنید و تقاطع خط و پارابولا را بیابید.
- قضیهٔ باقیمانده، قضیهٔ فکتور و جذرهای پولینومباقیمانده را بدون تقسیم بیابید، فکتور را با قضیهٔ فکتور بشناسید، جذرهای معادلهٔ درجه سوم را پیدا کنید و ضریبها را از جذرها بخوانید.
- نامساوات درجه دوم و پارامترنامساواتهای درجه دوم را با اشارهٔ فکتورها حل کنید و ببینید یک حرف (پارامتر) در معادله چگونه به نامساوات میرسد.
- تغییر موضوع فورمولیک حرف را در فورمول تنها بسازید: همان کارهای ترازو را با حرفها انجام دهید.
- قضیهٔ بینوم برای توان کسری و تقریببا چند جملهٔ اول قضیهٔ بینوم، جذر و معکوس عددهای نزدیک به ۱ را تقریب بزنید.
- پارابولا گذرنده از سه نقطهدستگاهی از سه معادلهٔ خطی برای a و b و c بنویسید، حلش کنید و پارابولا را روی گراف بررسی کنید.
- معادلهها: قاعدهٔ عدد مجهولاز یک قصه معادله بسازید، آن را با قاعدهٔ عدد مجهول حل کنید و با جابهجایی بررسی کنید. بخش: صنف‌های ۳ و ۴، معادلهها با عدد مجهول؛ فورمول و جذر معادله برای صنف‌های ۵ تا ۷ در کارگاه دیگر است.
- عملیه روی کسرهای گویا: تفریق، مخرجهای مقابل، قوه، مطابقتهاکسرهای گویا را با عوض شدن علامه تفریق کنید، عامل لازم را پیدا کنید، با مخرجهای مقابل کار کنید، کسر را به توان برسانید و مطابقتها را ثبوت کنید.
- معادله‌های معادل، معادله‌های گویا و مسألههابدانید معادله‌های معادل و جذر اضافی چیست، معادلهٔ گویا را با بررسی حل کنید و برای مسألههای حرکت و کار معادله بسازید.
- معادله‌های درجهٔ دوم ناقص و سه حدی درجهٔ دومسه نوع معادلهٔ درجهٔ دوم ناقص را حل کنید، جذرهای سه حدی درجهٔ دوم را پیدا کنید و آن را با ضریب اولش تجزیه کنید.
- فورمول، معادله و ریشهٔ معادلهاز فورمول مسافت کار بگیرید، عدد مجهول یک عمل را پیدا کنید، ریشه را با جابهجایی بررسی کنید، حد را با علامهٔ مخالف به طرف دیگر ببرید و بدانید معادلهٔ ax = b کی ریشه ندارد.
- سیستم معادلهها به حیث مدل مسألههامسألههای حرکت، کار، رقم‌ها و مستطیل را به معادله ترجمه کنید: مجهولها را x و y بنامید، سیستم را بنویسید، حل کنید و ببینید جواب با قصه جور است یا نه.
- افادهها با متحولحرف به جای خانهٔ خالی افاده با متحول میسازد. قیمت متحول را بگذارید و قیمت افاده را حساب کنید. صنف دوم.
- نامساواتها با متحول: اثر جزء بر نتیجهنامساواتهای با متحول را به دو روش حل کنید: با امتحان و با تبدیل به معادله. جواب را با سه نقطه بنویسید. صنف‌های ۳ و ۴.
- تعیین اشاره و حل نامساواتجذرها را روی محور بنویسید، برای هر بازه اشاره بگذارید و جواب نامساواتی مثل (x + ۱)x − ۴x − ۲ ≤ ۰ را بخوانید.
- معادله با پارامترپارامتر عددی است که داده نشده اما ثابت است. گراف را ببینید و حالتها را جدا کنید: به ازای کدام a حل وجود دارد و چندتا؟
- ضرب و تقسیم افادههای کسریافادههای کسری را ضرب و تقسیم کنید: اول به فکتور تجزیه و ساده کنید، تقسیم را با ضرب در معکوس انجام بدهید و بگویید حرف کدام قیمتها را نمیتواند بگیرد.
- قسمت تام کسر و معادله در اعداد تامقسمت تام یک کسر الجبری را جدا کنید، رقم یکان و باقیمانده توان‌ها را با دور تکرارشان پیدا کنید و معادله را در اعداد تام حل کنید.
- معادلهٔ درجه دوم با پارامترa را بلغزانید و ببینید پارابولا بالا و پایین میرود: تعداد حلها را دیسکریمینانت تعیین می‌کند و اشارهٔ حلها را مجموع و حاصل ضرب جذرها.
- نامساواتهای جذردار و سیستمهای معادلنامساواتهای دارای جذر را با تبدیل به سیستم معادل حل کنید و ساحهٔ تعریف و اشارهٔ طرف راست را در نظر بگیرید.
- سیستم و «یا» در نامساواتها؛ سیستم اکسپوننشیل و لوگاریتمی«و» (سیستم، بخش مشترک) را از «یا» (اتحاد) تفکیک کنید، سیستمهای ترکیبی و سیستم معادله‌های اکسپوننشیل و لوگاریتمی را حل کنید.
- مسألههای کلامی: مخلوط، آلیاژ و فیصدبرای یک محلول، یک آلیاژ و یک قیمت جدول «پیش از» و «پس از» بسازید، x را طوری انتخاب کنید که شرط مسأله برقرار شود و بررسی کنید که جواب با داستان جور است.
- ساختار عبارت و ترتیب انجام عملهاعمل اصلی یک عبارت را نام ببرید، مرحلهها را به ترتیب درست انجام بدهید و قوس بگذارید تا حاصل عوض شود.
- معادله با جای خالی و عمل معکوسیک داستان را با جای خالی □ بهصورت معادله بنویسید، عدد را با عمل معکوس پیدا کنید، معماهای عددی را از آخر به اول حل کنید و جواب را با جایگذاری بررسی کنید.
مختصات و معادلهٔ خط مستقیم
۱۲
- میل خط مستقیم، تقاطع با محور y و معادلهٔ خط مستقیممیل خط را با یک مثلث زینهیی اندازه کنید، m و h را در معادلهٔ y = mx + h با لغزنده تغییر بدهید، خط را از روی جدول رسم کنید و معادلهٔ خطی را که از دو نقطه میگذرد دریابید.
- شکل عمومی معادلهٔ خط مستقیم، مستقیمهای موازی و عمود، فاصله و نقطهٔ وسطیشکل عمومی معادلهٔ خط را به شکل y = mx + h بنویسید، مستقیم موازی و مستقیم عمود رسم کنید، فاصلهٔ دو نقطه را با فیثاغورث و نقطهٔ وسطی را با اوسط پیدا کنید.
- تقسیم قطعه خط به یک نسبت و فاصلهٔ نقطه از خطنقطهیی را که یک قطعه خط را به نسبت معلوم تقسیم می‌کند دریافت کنید و فاصلهٔ یک نقطه را از یک خط مستقیم با فورمول پیدا کنید.
- مساحت مثلث از کمیات وضعیهٔ رأسها و مسایل هندسیمساحت مثلث را از روی کمیات وضعیهٔ سه رأس آن پیدا کنید و از کمیات وضعیه برای حل مسایل هندسی استفاده کنید.
- دایره: معادله، خط و دایره، مماسمعادلهٔ دایره را بسازید و بخوانید، تقاطع یک خط را با دایره پیدا کنید و مماس و طول مماس را دریابید.
- مقاطع مخروطی و پارابولاپارابولا را به حیث محل هندسی نقاطی که فاصلهشان از محراق و خط هادی مساوی است بشناسید و معادلهٔ آن را با رأس در مبدأ و رأس اختیاری بخوانید.
- بیضوی، هایپربولا و خط نظر به آنهامحراقهای بیضوی و هایپربولا را از معادله دریابید، بیضوی را با مرکز اختیاری بسازید، مجانب هایپربولا را رسم کنید و حالت نسبی یک خط را با پارابولا بررسی کنید.
- معادلات پارامتری و کمیات قطبیمنحنی را از معادلات پارامتری نقطه به نقطه رسم کنید، پارامتر را حذف کنید، یک حرکت را مدل بسازید و کمیات قطبی را به کمیات وضعیه برگردانید.
- میل خط و وکتورهای همخطمیل k را از زاویهٔ میل خط پیدا کنید (k = tan α، حتی وقتی α منفرجه است)، خطهای عمود را بشناسید و وکتوری را که با وکتور دادهشده همخط است بکشید.
- خط و محورها: مثلث، محیط و مساحتنقطههای تقاطع خط ax + by = c را با محورها پیدا کنید، محیط و مساحت مثلثی را که خط میبُرد حساب کنید و محل تقاطع دو خط را بیابید.
- مساحت با دیترمینانتمساحت متوازیالاضلاع و مثلث را از روی بردارها و مختصات با دیترمینانت دو در دو حساب کنید.
- مختصات نقطه در فضاتصمیم بگیرید نقطه کجا قرار دارد، بعد فاصلهٔ دو نقطه، نقطهٔ وسطی یک قطعه خط و نقطهٔ قرینه را از روی مختصات پیدا کنید.
تابع و گراف
۳۲
- رابطه، جورهٔ مرتب و تابعرابطه را با دیاگرام تیر نشان بدهید، جورههای مرتب را در مستوی کارتیزینی ببرید، تشخیص بدهید کدام رابطه تابع است و آزمایش خط عمودی را بالای یک گراف امتحان کنید.
- گرافهای واقعی، سرعت و رشداز روی یک گراف فاصله ـ زمان بخوانید کی ایستادهایم و با چه سرعتی رفتهایم، گراف یک پیادهروی را رسم کنید، پر شدن یک بوتل را با گراف آن جور کنید و رشد دو چند شونده را با رشد ثابت مقایسه کنید.
- گراف تابع درجه دوم (پارابولا)جدول y = x۲ − ۲x − ۳ را با xهای منفی پر و رسم کنید، ببینید چرا پایین پارابولا گرد است، جذرها، تقاطع با محور y و رأس پارابولا را از گراف بخوانید و ببینید a در y = ax۲ چه می‌کند.
- علامهٔ f(x)، ناحیهٔ تعریف و ناحیهٔ قیمتهاقیمت تابع را از روی قاعده حساب کنید، ورودیِ یک خروجی را پیدا کنید، ناحیهٔ تعریف یک کسر و یک جذر را بنویسید و ناحیهٔ قیمتها را از گراف بخوانید.
- تابع قیمت مطلقه و تابع جزء صحیحقیمت مطلقه را در جدول و گراف ببینید، معادلهٔ قیمت مطلقه را با دو تقاطع گراف و خط حل کنید، زینههای جزء صحیح را بخوانید و کرایهٔ موتر را که زینهزینه بالا میرود نشان بدهید.
- توابع متزاید و متناقص، توابع جفت و تاقانتروالهایی را که گراف بالا یا پایین میرود پیدا کنید، نقطهها را نسبت به محور y و مبدأ قرینه کنید و با f(−x) بسنجید تابع جفت است یا تاق یا هیچکدام.
- جمع، ترکیب و معکوس توابعدو تابع را جمع کنید، ترتیب در ترکیب تابع مرکب را رعایت کنید، معکوس یک ماشین را با برگشت دادن مرحلهها پیدا کنید، گراف معکوس را با قرینه کردن نسبت به y = x بسازید و با خط افقی بسنجید کدام تابع معکوس دارد.
- انتقال، انعکاس و کشش گرافبا لغزندهها گراف y = (x − h)۲ + k را انتقال بدهید، رأس پارابولا را از روی گراف بخوانید، ببینید f(۲x) نقطه را کجا میبرد و چند تبدیل را با هم روی یک پارابولا اعمال کنید.
- تابع درجه سوم، رسم پولینوم و مجانبجدول یک تابع درجه سوم را پر و رسم کنید، گراف یک پولینوم را از جذرها و تقاطع با محور y بسازید و مجانبهای عمودی و افقی یک تابع ناطق را با خط نشان بدهید.
- تابع خطی: فورمول، جدول، گرافیک تابع را با فورمول، جدول و گراف بیان کنید، خط را از k و b رسم کنید، صفر تابع را پیدا کنید و ببینید تابع کجا مثبت است.
- تابع درجه دوم و خاصیت‌های تابعرأس پارابولا را با فورمول پیدا کنید، خاصیت‌های یک تابع را از روی گراف آن بخوانید، یک نامساوی درجه دوم را به روش گرافیکی حل کنید و گرافهای y = |f(x)| و y = f(|x|) را رسم کنید.
- عدد e، رشد و زوال اکسپوننشیلببینید چرا (۱ + ۱n)n به عدد e نزدیک می‌شود، گراف y = a×ex را بالای گراف دادهشده بنشانید و مدل رشد و زوال بسازید.
- تابع نمایی با هر قاعده و معادلهٔ نماییجدول ۲x را پر کنید، ببینید که قاعدهٔ بزرگ‌تر از ۱ منحنی صعودی و قاعدهٔ بین ۰ و ۱ منحنی نزولی میدهد، و یک معادلهٔ نمایی را با نوشتن هر دو طرف به یک قاعده حل کنید.
- لوگاریتم و جدول لوگاریتمببینید لوگاریتم همان توانی است که قاعده باید به آن برسد، گراف لوگاریتم را از آینهٔ گراف اکسپوننشیل بسازید و با کرکترستیک و مانتیس از جدول لوگاریتم و انتی لوگاریتم کار بگیرید.
- قوانین لوگاریتم و معادلههاقانون ضرب و توان لوگاریتم را ببینید، یک معادلهٔ لوگاریتمی حل کنید و با لوگاریتم دیتا را به خط مستقیم تبدیل کنید.
- تابع چندضابطهای، تابع علامه و قیمت مطلقیک تابع چندضابطهای را بخوانید، تابع علامه را رسم کنید، y = |x − 1| + 2 را با حرکت دادن V بسازید و نامساویهای قیمت مطلق را از گراف بخوانید.
- بیشترین و کمترین قیمت، تابعهای توانیبیشترین و کمترین قیمت یک تابع را روی یک مجموعه پیدا کنید، گرافهای y = xⁿ را برای n جفت و طاق مقایسه کنید و با گراف y = x⁻ⁿ آشنا شوید.
- هایپربولاهای انتقالیافتههایپربولا را با b و c جابه‌جا کنید، مجانبها، دامنه و برد را بخوانید و نقطهٔ قطع با محور y را حساب کنید.
- خانوادهٔ خطها و پارابولاهاپارامتر یک خانوادهٔ تابع را جابه‌جا کنید، مکان هندسی رأسها را پیدا کنید و مسئلهٔ مماس را با دلتا حل کنید.
- معادلهها و نامساویهای نمایی: روشهایک توان مشترک را بیرون بکشید، t = 2ˣ را وضع کنید، ریشه را از گراف بخوانید و تصمیم بگیرید که نامساوی چه وقت علامهٔ خود را نگه میدارد.
- تابعهای y = k/x و y = √x و گراف آنهاهایپربولا را از روی جدول رسم کنید، ببینید شاخههایش در کدام ربعها است، k را از روی یک نقطه پیدا کنید و y = √x را رسم کنید.
- هویت لوگاریتمی، تبدیل قاعده، تابع لوگاریتمیاز هویت اساسی لوگاریتم کار بگیرید، قاعده را تبدیل کنید و لوگاریتمها را با قاعدهٔ بین ۰ و ۱ مقایسه کنید. معادله‌های لوگاریتمی در کارگاه دیگری است.
- معادلهها و نامساویهای لوگاریتمیمعادلههای دارای مجموع لوگاریتم را حل کنید، ریشهها را با دومین بسنجید، t = lg x را وضع کنید، قاعدهٔ متغیر را پیدا کنید و نامساویهای دارای قاعدهٔ بین ۰ و ۱ را حل کنید.
- تابع y = x² و گراف آنبرای y = x² جدول قیمتها بسازید، نقطهها را رسم کنید، خاصیت‌های گراف را بدانید و x² = 4 و x² = x + 2 را از روی گراف حل کنید.
- خاصیت‌های تابع از روی گراف آناز گراف یک تابع روی [−4; 7] صفرها، انتروالهایی که یک علامه دارند، یک انتروال صعودی و بیشترین قیمت آن را پیدا کنید. این کارگاه یک آموزش اضافی است و از برنامهٔ منظم کتابهای درسی افغانستان بیرون است.
- گرافهای y = ⁿ√x و توان‌ها با توان ناطقگرافهای ³√x، ⁴√x و √x را مقایسه کنید، دومین جذر nام و توان با توان ناطق را پیدا کنید و عددها را با یکنوایی مقایسه کنید.
- رشد و کاهش اکسپوننشیل: B(t) = B₀ · q^tجدول خطی، درجهٔ دوم و اکسپوننشیل را از هم تشخیص بدهید، با لوگاریتم زمان دو چند شدن و نیمهعمر را پیدا کنید و ببینید مدل اکسپوننشیل کجا دیگر واقعبینانه نیست.
- تابعهای پولینوم: رفتار دو سر، ریشهها و فورمولرفتار گراف را در دو سر از درجه و ضریب پیشرو بخوانید، ریشهٔ ساده و مکرر را از هم تشخیص بدهید، یک معادلهٔ دومربعی را حل کنید و از روی گراف فورمول پیدا کنید.
- مسئلههای بیشترین قیمت بدون مشتقبرای یک باغچهٔ مستطیلی، مستطیل در مثلث و یک جعبه تابع هدف بنویسید و بیشترین قیمت را از رأس پارابولا یا از جدول بخوانید. دامنهٔ متغیر را هم بگویید.
- خانوادهٔ تابعها و پارامترهایشانتابعهای توانی و اکسپوننشیل را با لغزنده جابه‌جا کنید، دامنه، برد و مجانب را بخوانید، تابع معکوس را بهصورت قرینه پیدا کنید و گراف را به فورمولش وصل کنید.
- تابعهای ناطقنقطهٔ حذفی را از مجانب قائم تشخیص بدهید، حد را بخوانید، مجانبها را پیدا کنید و از روی ویژگیها فورمول بسازید.
- پیدا کردن فورمول تابع از روی شرطهاویژگیهای گراف را به معادلههایی برای f، f′ و f″ تبدیل کنید، پارامتر را پیدا کنید و مکان هندسی رأسهای یک خانوادهٔ منحنی را به دست بیاورید.
وکتور
۱۶
- قطعه خط جهتدار، وکتور و وکتور انتقالوکتور را از نقطهٔ شروع تا نقطهٔ ختم رسم کنید و مختصات آن را بخوانید، وکتورهای مساوی و معکوس را دریابید و یک شکل را به وسیلهٔ یک وکتور انتقال بدهید.
- جمع وکتورها، ضرب عدد در وکتور و وکتورهای واحدوکتورها را به روش مثلث و متوازیالاضلاع جمع کنید، دو وکتور را از هم تفریق کنید، با ضرب یک عدد وکتوری را دراز یا برعکس کنید و هر وکتور را با i و j بنویسید.
- اضافی: وکتور در حرکت و تغییر مکانحرکتهای یک روبات را جمع کنید، با وکتور معکوس آن را به نقطهٔ شروع برگردانید و ببینید جریان آب دریا مسیر یک شناگر را چطور تغییر میدهد.
- وکتور در فضا: طول، فاصله و کوساینهای جهتیک وکتور در فضا قطر یک مکعب مستطیل است. طول وکتور، فاصلهٔ دو نقطه، نقطهٔ وسطی و کوساینهای جهت را از مختصات آن‌ها دریافت کنید.
- حاصل ضرب سکالری و وکتوریحاصل ضرب سکالری دو وکتور یک عدد است و زاویهٔ بین آن‌ها را نشان میدهد؛ حاصل ضرب وکتوری یک وکتور است که بر هر دو عمود است. هر دو را حساب کنید و به کار ببرید.
- مساحت و حجم با ضرب وکتوریاندازهٔ ضرب وکتوری دو وکتور مساحت متوازیالاضلاع آنهاست. برای سه وکتور، یک دیترمینانت حجم متوازیالسطوح را میدهد.
- معادلهٔ خط و مستوی در فضایک خط در فضا با یک نقطه و یک وکتور جهت و یک مستوی با یک نقطه و یک وکتور نورمال تعیین می‌شود. معادله‌های آن‌ها را بنویسید و نقطهها را بررسی کنید.
- زاویهها، تقاطع و فاصله در فضازاویهٔ یک خط با یک مستوی، نقطهٔ تقاطع خط و مستوی، فاصلهٔ یک نقطه از مستوی و زاویهٔ دو مستوی را با ضرب سکالری و معادلهها پیدا کنید.
- وکتورها در اثبات و حل مسئلهمرکز ثقل نقطههای وزندار، اثبات هندسی با وکتور (پارهخط وصلکنندهٔ وسط دو ضلع مثلث) و مسئلههای سرعت و متوازیالاضلاع را با رسم وکتور حل کنید.
- بردار در مستوی: مختصات، طول، ضرب سکالریمختصات و طول بردار را پیدا کنید، ضرب سکالری را با مختصات و با زاویه حساب کنید، شرط عمود بودن بردارها و زاویهٔ بین بردارها را بیاموزید.
- ضرب سکالری وکتورها: اندازه، زاویه، مختصاتضرب سکالری را از اندازهها و زاویه پیدا کنید، مربع مجموع وکتورها را بگیرید، کوساین زاویهٔ بین وکتورها و زاویهٔ یک مثلث را از رأسهایش به دست آورید.
- وکتورها در فضا: جمع، ضرب در عدد، همخط و هممستویوکتورها را با قاعدهٔ متوازیالسطوح و با مختصات جمع کنید، وکتور را در عدد ضرب کنید و بفهمید سه وکتور چه وقت در یک مستوی اند.
- وکتورها روی منشور و مکعب مستطیل: مساوی، جمع، همخطوکتورهای مساوی، همجهت و خلاف جهت را روی منشور از هم فرق کنید، وکتورها را با قاعدهٔ مثلث جمع کنید، یک وکتور را از روی وکتورهای دیگر بنویسید و وکتورهای همخط را از روی مختصات پیدا کنید.
- نوشتن یک وکتور به حیث ترکیب دو وکتورهر وکتور مستوی را میتوان با دو وکتور غیرموازی ساخت: p = xa + yb. اجزا را بالای چوکات رسم کنید، ضریبها را پیدا کنید، AM را در متوازیالاضلاع بنویسید و طول تصویر را به دست آورید.
- وضعیت خط و مستوی در فضاآزمون نقطه برای خط، وکتور عمود با ضرب وکتوری، وضعیت دو خط و تقاطع خط با مستوی.
- فاصله در فضافاصلهٔ نقطه از مستوی با فورمول وکتور نورمال، پای عمود، مستویهای موازی و خطوط متنافر.
مثلثات
۲۰
- نسبت مثلثاتیها در مثلث قایمالزاویهیک مثلث قایمالزاویه با زاویهٔ ۳۵ درجه را بزرگ و کوچک کنید و ببینید اضلاع تغییر میکنند ولی نسبت آن‌ها نه. بعد ضلع مقابل، ضلع مجاور و وتر را برای هر زاویه پیدا کنید و با جدول مثلثاتی، بدون ماشین حساب، یک ضلع و یک زاویه را حساب کنید.
- نسبتهای مثلثاتی زاویههای خاصبا نصف کردن یک مثلث متساویالاضلاع و یک مربع، قیمت دقیق ساین، کوساین و تانجانت زاویههای ۳۰، ۴۵ و ۶۰ درجه را دریابید، تانجانت را با میل خط ربط بدهید و معادلهای مثل sin x = ۱۲ را حل کنید.
- زاویههای بزرگ، دایرهٔ مثلثاتی و رادیانیک نقطه را روی دایرهٔ مثلثاتی با زاویههای بزرگ‌تر از ۹۰ درجه و حتا منفی بچرخانید، ساین و کوساین را از جای آن بخوانید، زاویه را به رادیان بسنجید و قیمتهای دقیقی مثل sin۷π۶ را دریابید.
- زوایای وابسته، قوس و قطاعیک نقطه را روی دایرهٔ مثلثاتی انعکاس بدهید تا رابطهٔ ساین و کوساین زوایای θ و ۱۸۰ − θ را ببینید، با زاویهٔ مرجع cos ۱۲۰° را دریابید و طول قوس و مساحت قطاع را وقتی زاویه به رادیان است حساب کنید.
- گراف ساین و کوساین، دورهٔ تناوب و دامنهٔ نوسانگرافهای ساین و کوساین را بخوانید: کوساین کجا صفر می‌شود، دوره و بزرگ‌ترین قیمت در y = sin ۲x و y = ۲sin x + ۱ چطور تغییر میکنند و سیکانت و ساین معکوس را از همین منحنیها بخوانید.
- مطابقتهای مثلثاتی و اثباتبا sin۲θ + cos۲θ = ۱ و tanθ = sinθcosθ یک نسبت را از نسبت دیگر دریابید، سطر غلط یک «اثبات» را پیدا کنید و بدانید اثبات یک مطابقت چه معنا دارد.
- زوایای مرکب، دوچند و سهچند، مجموع و حاصلضرببا فورمولهای جمع زاویهها و قیمتهای دقیق sin ۷۵° را دریابید، با زاویهٔ دوچند و سهچند کار کنید، مجموع ساینها را به حاصلضرب بدل کنید و √۳sin x + cos x را به شکل یک ساین بنویسید.
- معادلات مثلثاتی درجه دوم و سیستمهامعادلههای مثلثاتی را با پیدا کردن همهٔ زاویهها از ۰ تا ۳۶۰ درجه حل کنید: tan x = −۱، معادله‌های درجه دوم در ساین یا کوساین (یکی اول مطابقت لازم دارد) و سیستم دو معادله با دو مجهول x و y.
- قانون ساین، کوساین، تانجانت و مسایل فضاییمثلثهای رسم شده به مقیاس را با قانون ساین، قانون کوساین و قانون تانجانت حل کنید، بعد از مثلثهای قایمالزاویه کار بگیرید تا یک زاویه را در مکعب مستطیل دریابید.
- مساحت مثلث: ساین، هیرون و دایرههامساحت مثلث را از دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها یا از سه ضلع با فورمول هیرون دریابید، بعد با مساحت، شعاع دایرهٔ داخل و دایرهٔ دور مثلث را حساب کنید.
- تانجانت: گراف، ناحیهٔ تعریف و دورهy = tan x را بخوانید: علامهاش در هر ربع، جاهایی که تعریف نشده، دورهٔ تناوبش و جوابهای tan x = ۱.
- جفت و تاق بودن و فورمولهای تبدیلبیابید که ساین، تانجانت و کوتانجانت تاق اند و کوساین جفت است، بعد قاعدهٔ تبدیل را به کار ببرید: تابع کی نام خود را تغییر میدهد و کدام علامه را میگیرد.
- خاصیت‌های توابع مثلثاتیخاصیتهای ساین، کوساین و کوتانجانت را از گرافشان بخوانید: دورهٔ تناوب، جفت یا تاق بودن، جذرها، انتروالهای تناقص، ناحیهٔ تعریف و ناحیهٔ قیمتها.
- جوابهای عمومی معادلات مثلثاتیخط y = b گراف ساین، کوساین یا تانجانت را در بینهایت نقطه قطع می‌کند. همهٔ جوابها را با یک فورمول و n ∈ ℤ بنویسید و در معادله‌یی که به درجهٔ دوم میرسد، جذری را که شده نمیتواند رد کنید.
- ساین، کوساین و تانجانت زاویه از ۰° تا ۱۸۰°ساین و کوساین را با مختصات یک نقطه روی نیمدایرهٔ واحد تعریف کنید، قیمتها را برای زاویههای منفرجه بیابید و از sin²α + cos²α = 1 کار بگیرید.
- حل مثلثمثلث را در چهار حالت حل کنید: یک ضلع و دو زاویه، دو ضلع و زاویهٔ میان شان، سه ضلع، و دو ضلع با زاویهٔ مقابل یکی از آن‌ها. اینجا صنف یازدهم و حل مثلث دلخواه است؛ مثلث قایمالزاویه در کارگاه دیگر است.
- پیامدهای قانون کوسایننوع مثلث از روی درازترین ضلعش (حادهالزاویه، قایمالزاویه یا منفرجهالزاویه)، مجموع مربعات قطرهای متوازیالاضلاع و مسئلهیی دربارهٔ ضلعهای AB و BC.
- کوتانجانت، اتحادها و حل مثلث قایمالزاویهکوتانجانت و اتحاد اصلی مثلثاتی را یاد بگیرید، مثلث قایمالزاویه را از وتر و یک زاویه یا از دو ضلع قایم حل کنید و مسئلههای عملی را حل کنید. اینجا صنف هشتم و مثلث قایمالزاویه است؛ مثلث دلخواه در کارگاه دیگر است.
- نامساویهای مثلثاتی و انتخاب ریشههابا گراف ببینید ساین یا کوساین کجا بالاتر یا پایینتر از یک عدد است و ریشه‌های یک معادله را روی یک قطعهخط انتخاب کنید.
- f(x) = a · sin(b · (x + c)) + dامپلیتود، خط میانی، دوره و جابهجایی منحنی ساین را تغییر دهید، جابهجایی داخل قوس را درست بخوانید و از مدل برای مد و جزر آب استفاده کنید.
احصائیه و گراف
۳۲
- جمعآوری دیتا، خطهای شمارش و گراف تصویریاز شاگردان صنف بپرسید، با خطهای شمارش حساب کنید و گراف تصویری رسم کنید.
- گراف میلهای و گراف خط منکسراز روی جدول گراف میلهای و گراف خط منکسر رسم کنید، آن‌ها را بخوانید و برای هر پرسش گراف مناسب را انتخاب کنید.
- خط شمارش، جمع و تفریق با خط و گراف تصویری دهتاییبا خط شمارش دسته کنید و بشمارید، با خط شمارش جمع و تفریق کنید و گراف تصویری بکشید که هر تصویر در آن ۱۰ است.
- گراف دایروی و اوسطگراف دایروی را رنگ کنید و بخوانید، ستونها را همقد کنید تا اوسط را پیدا کنید، و نوع دیتا را بشناسید.
- مد، میانه، اوسط و ساحهٔ تحولکارتهای دیتا را ترتیب کنید تا میانه را پیدا کنید، مد و ساحهٔ تحول را از گراف نقطهیی بخوانید، ببینید وقتی یک قیمت تغییر می‌کند اوسط چطور حرکت می‌کند، و بهترین مقیاس مرکزی را انتخاب کنید.
- دیتای پرت و مقایسهٔ دو مجموعهٔ دیتاخیز جفت دو صنف را با یک مقیاس مرکزی و ساحهٔ تحول مقایسه کنید، یک قیمت را خیلی دور ببرید و ببینید اوسط، میانه و ساحهٔ تحول چه میکنند، و تصمیم بگیرید که یک دیتای پرت اشتباه است یا واقعی.
- دستهبندی دیتا، گراف مستطیلی و گراف چندضلعی کثرتقد شاگردان را در دستههای با طول مساوی بگذارید، جدول کثرت و کثرت نسبی را تکمیل کنید، گراف مستطیلی بکشید که میلههایش به هم چسپیدهاند و وسط دستهها را با هم وصل کنید تا گراف چندضلعی کثرت ساخته شود.
- اوسط دیتای دستهبندیشده و کثرت تجمعیبا ستون «وسط دسته × کثرت» اوسط دیتای دستهبندیشده را پیدا کنید، اوسط دو صنف را درست یکجا کنید، ستون کثرت تجمعی و گراف آن را بسازید و میانه را از روی گراف بخوانید.
- معلومات دو متحوله و گراف پراگندهگیجورههای معلومات را رسم کنید، نوع معلومات را بگویید، همبستهگی را توضیح دهید، مناسبترین خط را بکشید، با آن پیشبینی کنید و همبستهگی را از رابطهٔ علت و معلول جدا کنید.
- جامعه و نمونه، نمونهٔ تصادفی و روش‌های جمعآوری اطلاعاتاز جامعهٔ ۶۰۰ شاگرد یک مکتب، نمونهٔ تصادفی ۱۰ نفری و ۵۰ نفری بگیرید و نتیجه را با تمام مکتب مقایسه کنید. نمونهٔ یکطرفه را پیدا کنید و برای هر سؤال، روش مناسب جمعآوری اطلاعات را انتخاب کنید.
- تکمیلی: اوسط انحراففاصلهٔ هر نقطه را تا اوسط ببینید، اوسط این فاصلهها را پیدا کنید، بفهمید چرا مجموع تفاضلهای علامه‌دار همیشه صفر است، و دو مجموعهٔ دیتا را با پراگندگی آن‌ها مقایسه کنید.
- چارکها و گراف صندوقچهییدیتای مرتبشده را به چهار بخش تقسیم کنید، Q₁ و Q₃ را پیدا کنید، پنج عدد گراف صندوقچهیی را نشان دهید و نیمهٔ میانی دیتا را با فاصلهٔ بین چارکها اندازه کنید.
- واریانس، انحراف معیاری و ضریب تغییراتپراگندهگی را با مربع فاصلهها از اوسط اندازه کنید: واریانس، انحراف معیاری و ضریب تغییرات برای مقایسهٔ پراگندهگی دیتایی که واحدهای مختلف دارند.
- شکل دیتا و منحنی نورمالشکل یک گراف مستطیلی را بخوانید (متناظر یا کج)، ببینید کجشدگی اوسط را چطور از میانه دور می‌کند و برای دیتای زنگولهیی از قاعدهٔ ۶۸–۹۵–۹۹,۷ کار بگیرید.
- همبستهگی و خط رگرسیونقدرت همبستهگی را از r بخوانید، نقطهٔ اوسط را دریابید، خط رگرسیون را با میل و قطع محور بسازید و در داخل دیتای موجود پیشبینی کنید.
- گراف ساقه و برگ و سلسلههای زمانیدیتا را در گراف ساقه و برگ بنویسید و بخوانید، بعد یک سلسلهٔ زمانی را به شکل گراف خط منکسر رسم کنید و با اوسط متحرک هموار کنید.
- دستههای نابرابر و دیتای دو متحولهگراف مستطیلی دستههایی با عرض فرقکننده را با کثافت کثرت رسم کنید، کثرت را از روی میله بخوانید و دو متحول یک گروه را بالای یک گراف بخوانید.
- خط فقر، شاخص قیمتها و تورماز روی میانهٔ عایدات خط فقر را بیابید، شاخص قیمت را حساب کنید و ببینید تورم چه می‌کند.
- روند، میانیابی و برونیابیالگو و روند یک سری زمانی را بخوانید، قیمتی را میان قیمتهای ثبت شده (میانیابی) و بیرون از آن‌ها (برونیابی) تخمین کنید.
- جمعآوری دیتا، مقیاس و گراف خط منکسرجوابهای یک سروی را با خط شمارش بشمارید، برای محور گراف مقیاس مناسب انتخاب کنید و گراف خط منکسر حرارت ۱۲ ماه را بخوانید.
- فیصد در احصائیه و احتمالنتیجهٔ یک سروی را به فیصد بنویسید، فیصد را از زاویهٔ قطاع گراف دایروی بیابید، گراف دایروی فیصدی رسم کنید و احتمال را به فیصد بنویسید.
- انواع متحول، جمعآوری دیتا و تخمینمتحول کیفی را از کمّی و غیر متمادی را از متمادی فرق کنید، یک نمونهٔ طبقهیی بگیرید، سؤال بیطرف پرسشنامه را بیابید و اوسط جامعه را از روی نمونه تخمین کنید.
- جدول دیتا: خواندن و پر کردنیک جدول ساده را بخوانید، بزرگ‌ترین قیمت را بیابید، تفاوت را حساب کنید و جدول را از روی دیتا پر کنید.
- دستهبندی بر اساس نشانهچیزها را بر اساس رنگ و شکل دستهبندی کنید، هر دسته را بشمارید و بزرگ‌ترین را بیابید.
- جدول زمانی: ساعتهای درسی مکتب و بسجدول زمانی مکتب و بس را بخوانید: ساعت درسی کی ختم می‌شود، تفریح یا سفر چند دقیقه است و کدام بس را باید انتخاب کرد.
- آزمون فرضیهٔ ساده، کوواریانس و کمترین مربعاتببینید با چند شیر، فرض «سکه سالم است» قابل باور نمیماند؛ کوواریانس و ضریب همبستهگی را برای پنج نقطه حساب کنید و خطی را دریابید که کمترین مجموع مربعات خطا را دارد.
- خصوصیت مشترک و دستهبندیخصوصیت مشترک یک مجموعه را دریابید، شکلها را همزمان با دو خصوصیت دستهبندی کنید و شکل متفاوت را پیدا کنید.
- خواندن انتقادی دیتاگروهها را مقایسه کنید، اثر سیمپسون را تشخیص دهید، یک نمونه را بسنجید، فیصدی را از واحد فیصدی جدا کنید و همبستهگی را از علت و معلول جدا کنید.
- کثرت مطلق و کثرت نسبیجوابهای یک نظرخواهی را در جدول خطخطی بشمارید، کثرت نسبی را به شکل کسر، عدد اعشاری و فیصدی بنویسید و گروههایی را که اندازهشان فرق دارد با هم مقایسه کنید.
- گرافهای گمراهکنندهگرافهایی را که تصویر نادرست میدهند، مثل محور بریده یا تصویرهایی با اندازههای مختلف، تشخیص دهید، آن‌ها را درست رسم کنید و سرخطی را انتخاب کنید که دیتا از آن پشتیبانی کند.
- گرافها و نمونههای گمراهکنندهببینید محور بریده چگونه گراف را تغییر میدهد، برای یک جمله گراف مناسب انتخاب کنید، تشخیص دهید یک نمونهٔ نظرخواهی نماینده جامعه است یا نه و ببینید اوسط یکسان میتواند پراگندهگی خیلی مختلف را پنهان کند.
- توزیع نورمال و قاعده‌های σμ و σ را برای منحنی گاوس تنظیم کنید و از قاعده‌های σ یعنی ۶۸٫۳٪، ۹۵٫۴٪ و ۹۹٫۷٪ کار بگیرید.
احتمال
۱۸
- احتمال: حتمی، ممکن، ناممکناز خریطه گلوله بکشید، چرخک را بچرخانید و دانهٔ رمل بیندازید. بگویید هر حادثه حتمی است، ممکن است یا ناممکن.
- احتمال تجربی و احتمال نظریچرخک را بچرخانید، سرپوش بوتل را بیندازید و دانهٔ رمل بیندازید: ۱۰ بار، ۱۰۰ بار، ۱۰۰۰ بار. ببینید که کثرت نسبی کم‌کم به احتمال نزدیک می‌شود.
- فضای نمونه، حادثههای مرکب و حادثهٔ مکملهتمام حالتهای یک سکه و یک چرخک، دو سکه و دو دانهٔ رمل را بشمارید. حالتهای مطلوب را در جدول ۶ در ۶ پیدا کنید و احتمال «واقع نشدن» را از احتمال «واقع شدن» به دست آورید.
- دیاگرام وین، حادثهها و جدول دوطرفه۳۰ شاگرد یک صنف را بر اساس فوتبال و شطرنج در دیاگرام وین جابه‌جا کنید، همان معلومات را به جدول دوطرفه ببرید و برگردانید، حادثهها را مانند ست ببینید و احتمال «یا» را با قاعدهٔ جمع حساب کنید.
- دیاگرام درختی، اصل شمارش و حوادث مستقلدیاگرام درختی را رشد دهید تا جورههای لباس و نتیجههای مسابقه را بشمارید، احتمالها را روی شاخچهها بنویسید، در طول هر مسیر ضرب کنید، مسیرها را جمع کنید و ببینید وقتی مهره دوباره در خریطه گذاشته نشود چه تغییر می‌کند.
- قواعد احتمال، فضاهای پیوسته و تعداد مورد انتظاراحتمال نتیجههایی را که با هم واقع نمیشوند جمع کنید، پیدا کنید کدام لیستها میتوانند احتمال باشند، احتمال را به شکل بخشی از یک طول حساب کنید و پیشبینی کنید چند بار واقع می‌شود.
- احتمال مشروطبا جدول، دیاگرام وین و درخت احتمال یک حادثه را وقتی دیگری را از قبل میدانیم حساب کنید، ببینید چرا ترتیب «به شرط» مهم است و با حوادث وابسته آشنا شوید.
- حوادث مستقل و احتمال کلبا یک جدول بسنجید دو حادثه مستقلاند یا نه، ببینید چرا حوادثی که با هم واقع نمیشوند مستقل نیستند و مسیرهای درخت را جمع کنید تا احتمال نتیجهیی را که از چند راه میآید پیدا کنید.
- متحول تصادفی و امید ریاضیبه هر نتیجهٔ دو تاس یک عدد بدهید، احتمال قیمتهای آن عدد را پیدا کنید، اوسط یک تاس را حساب کنید و تصمیم بگیرید یک بازی در هر پرتاب چقدر میارزد.
- شانسهای نابرابر و قانون بیزبه هر حالت وزن خودش را بدهید و آن‌ها را جمع کنید. بعد درخت را برعکس بخوانید: یک پیچ معیوب پیدا شد، کدام ماشین آن را ساخته؟
- توزیع دو جملهیی و پواسنمسیرهای درخت را که دقیقاً k موفقیت دارند بشمارید، ببینید فورمول دو جملهیی از کجا میآید و برای حوادثی که اتفاقی میرسند از فورمول پواسن کار بگیرید.
- توزیع نورمال و نمرهٔ استانداردفاصله از اوسط را به حساب انحراف معیاری روی یک خط اعداد نشان بدهید، قاعدهٔ ۶۸–۹۵–۹۹,۷ را به کار ببرید، نمرهٔ استاندارد را حساب کنید و احتمال یک دنباله را پیدا کنید.
- اوسط نمونه، نسبت نمونه و قضیهٔ لیمت مرکزیببینید اوسط نمونهها بسیار کمتر از قیمتهای تکی پراگنده است، خطای معیاری اوسط و نسبت را حساب کنید و با قضیهٔ لیمت مرکزی یک احتمال پیدا کنید.
- واریانس متحول تصادفی، توزیع هندسی و نابرابری چبیشفواریانس را از جدول توزیع حساب کنید، واریانس مجموع متحولهای مستقل را پیدا کنید، احتمال «تا اولین موفقیت» را به دست بیاورید و با نابرابری چبیشف انحراف را کراندار کنید.
- احتمال هندسی، چگالی و متحول تصادفی پیوستهاحتمال این‌که یک نقطهٔ تصادفی در بخشی از یک شکل، قطعه خط یا کمان بیفتد را بهصورت نسبت اندازهها پیدا کنید، چگالی را بفهمید و با توزیع یکنواخت و نمایی آشنا شوید.
- احتمال و ترکیباحتمال یک پیشآمد را با P(A) = m : n پیدا کنید، وقتی حالتها را با ترکیب Cₙᵏ و ترتیب Aₙᵏ میشماریم.
- تخمین π با نقطههای تصادفی و نوارهانقطههای تصادفی در یک چهارم دایره را بشمارید و π را تخمین کنید، ببینید با نقطههای بیشتر پراکندگی کمتر می‌شود و با روش نوارها مقایسه کنید.
- آزمون فرض یکطرفهH₀ را بنویسید، ناحیهٔ رد را در سطح ۵٪ پیدا کنید، خطای نوع اول را بسنجید و نتیجه را درست بخوانید.
ست و منطق
۲۳
- ستها: عنصر، ست فرعی، اتحاد، تقاطع و مکملهکارتهای عددها را در دایرههای دیاگرام وین بگذارید، ست را با قوسهای {} بنویسید، اتحاد و تقاطع و تفاضل را رنگ کنید و با دیاگرام بشمارید.
- ترتیبها و گروهها: ترتیب و ترکیبدیاگرام درختی را رشد دهید و بشمارید چه کسانی میتوانند اول و دوم شوند، دوستان را در یک صف بچینید و ببینید چرا یک گروه کمتر از یک ترتیب شمرده می‌شود.
- قضیهٔ بینوم و مثلث پاسکال(a + b)³ را سه قوس ببینید و مسیرهایی را که هر جمله را می‌سازند بشمارید، ضرایب را از مثلث پاسکال بخوانید و برای بسطهای دارای عدد به کار ببرید.
- شمارش بدون دوبارهشماری و اصل کبوتر و لانهشاگردان دو کلوب را بشمارید بدون این‌که کسانی را که در هر دو هستند دو بار بشمارید، مضربهای ۲ یا ۳ را بشمارید و با اصل کبوتر و لانه مطمئن شوید که دو چیز در یک جعبه میافتند.
- بیان باز، ستهای فرعی و قوانین ستهابیان را از بیان باز فرق کنید، ست جواب یک بیان باز را بسازید، ستهای فرعی را بشمارید و قانون توزیعی و قانون جذب را روی دیاگرام ون امتحان کنید.
- بیانها، «و»، «یا»، «نه» و «اگر … پس …»تشخیص دهید کدام جملهها بیاناند، «و»، «یا» و «نه» را درست به کار ببرید، وعدهٔ «اگر … پس …» را بسنجید و عکسنقیض را پیدا کنید.
- سورها، استدلال معتبر و قوانین دموارگان«همه» را نفی کنید، «هر مضرب ۶ مضرب ۳ است» را رسم کنید، استدلال معتبر را از نامعتبر جدا کنید و قوانین دموارگان را برای ستها به کار ببرید.
- ثبوت: مستقیم، حالتها، خلف و استقرابا الجبر ثابت کنید جمع دو عدد تاق جفت است، ادعایی را با تقسیم به حالتها بررسی کنید، با برهان خلف ثابت کنید بزرگ‌ترین عدد جفت وجود ندارد و گام استقرا را برای اعداد تاق بردارید.
- جوره مرتب، رابطه و رابطهٔ معادلA × B را با نقطهها نشان دهید، یک رابطه را انتخاب کنید، آن را معکوس کنید تا رابطهٔ معکوس به دست آید و ببینید چرا «همباقیمانده بودن» رابطهٔ معادل است.
- شمارش با تکرار: ردیف، گروهها و ستاره و خطمهرههای همرنگ را در یک ردیف بچینید، رمزهایی با رقمهای تکراری را بشمارید، شاگردان را در اتاقها تقسیم کنید و دستههای گل را با ستاره و خط بشمارید.
- نوشتن ست با شرط و جفت کردن ستهای نامتناهیℕ و ℤ و ℚ و ℝ را بشناسید، عنصرهای یک ست را از روی شرطش بنویسید، برای یک ست شرط بنویسید و ببینید چرا عددهای جفت و عددهای طبیعی «هماندازه» اند.
- ضریبهای دوجملهیی، مثلث پاسکال و اثبات با شمارشگروههای دوستان را به دو دسته تقسیم کنید، قاعدهٔ پاسکال را با شمارش ثابت کنید و ببینید چرا مجموع هر ردیف یک توان ۲ است.
- گرافها: رأس، یال و درجهیک گراف را بخوانید: درجهٔ هر رأس را پیدا کنید، مجموع درجهها را با تعداد یالها مقایسه کنید و ببینید چرا بعضی گرافها وجود ندارند.
- گرافها: مجموعههای احاطهگرایستگاهها را طوری بگذارید که هر نقطهٔ نقشه پوشیده شود و کمترین تعداد ممکن را پیدا کنید: عدد احاطهگری گراف.
- اصل جمع و ضرب، جایگشت و ترکیباصل جمع را از اصل ضرب فرق کنید، فورمولهای جایگشت، جایگشت r تایی و ترکیب را به کار ببرید و یک معادله با فاکتوریل را حل کنید.
- مسئلههای شمارشی: فهرست، نمودار درختی و اصل ضربهمهٔ طریقه‌های گذاشتن سه دختر را در منزلها پیدا کنید، یک نمودار درختی بسازید و ببینید چرا تعداد طریقهها با ضرب به دست میآید.
- اصل جمع و اصل ضرب«الف یا ب» و «الف و ب» را به چند طریقه می‌شود انتخاب کرد: اصل جمع، اصل ضرب، جورههای (a; b)، نقشهٔ راهها و مسئلههای رقم‌ها.
- درست یا نادرستجملههایی را که دربارهٔ میوهها با کلمههای «همه»، «هر» و «بعضی» گفته میشوند بخوانید و تشخیص بدهید درستاند یا نه.
- اگر … آنگاه …با کمک سرنخها عددها را خط بزنید، از قاعدهٔ «اگر … آنگاه …» نتیجه بگیرید و زنجیرهٔ استدلال بسازید.
- گراف جهتدار و حل مسأله با گرافگراف جهتدار را بخوانید، دستدادنها و بازیهای یک لیگ را بشمارید و با تبدیل مسأله به گراف، کوتاهترین مسیر را پیدا کنید.
- همبندی، مسیر، دور و رسم بدون برداشتن قلممؤلفههای همبند را بشمارید، رأسهای طاق را پیدا کنید و تشخیص بدهید که یک گراف را بدون برداشتن قلم می‌شود کشید یا نه.
- شرط لازم و شرط کافیتشخیص بدهید یک شرط لازم است، کافی است یا هر دو، و ادعای نادرست را با مثال نقض رد کنید.
- درخت و گراف مسطحدرخت را تشخیص بدهید، تعداد یالهای یک درخت و یک درخت فراگیر را پیدا کنید و با فرمول اویلر تعداد ناحیههای یک گراف مسطح را بشمارید.
اعداد مختلط
۴
- اعداد مختلط: i، جمع، ضرب و تقسیمبا عدد i که i² = −۱ است آشنا شوید، اعداد مختلط را منحیث نقطههای مستوی جمع کنید، مثل قوسها ضرب کنید و با مزدوج تقسیم کنید.
- معادله‌های درجهٔ دوم و پولینومها با ریشهٔ مختلطببینید چرا x² + ۴x + ۱۳ = ۰ ریشهٔ حقیقی ندارد، معادلههایی با ریشهٔ مختلط را حل کنید، ریشهها را در مستوی بگذارید و ریشهٔ گمشدهٔ یک معادلهٔ درجهٔ سوم را پیدا کنید.
- دیاگرام آرگاند: قدر مطلق، زاویه و چرخاندناعداد مختلط را منحیث نقطههای دیاگرام آرگاند ببینید، قدر مطلق و زاویهٔ آن‌ها را پیدا کنید، آن‌ها را نسبت به محور حقیقی قرینه کنید و با چرخاندن و کشیدن ضرب کنید.
- طاقت‌ها، ریشهها و دایرهها در دیاگرام آرگانداز e(iθ) منحیث یک نقطه بالای دایرهٔ واحد کار بگیرید، با دموآور به طاقت برسانید، چهار ریشهٔ یک عدد را منحیث مربع بگذارید و با |z − c| = r دایره رسم کنید.
ماتریس‌ها
۶
- متریکس: مرتبه، عنصرها و انواع خاصمتریکس را مانند یک جدول بخوانید: عنصر را با سطر و ستونش پیدا کنید، مرتبه را بگویید و متریکسهای صفر، واحد و قطری را بسازید.
- جمع، ضرب سکالر، ضرب و ترانسپوز متریکسهامتریکسهای هممرتبه را جمع و تفریق کنید، در یک سکالر ضرب کنید، سطر را در ستون ضرب کنید و سطرها را ستون بسازید.
- دیترمینانتدیترمینانت ۲ × ۲ و ۳ × ۳ را حساب کنید، ببینید تبدیل کردن جای دو سطر چه می‌کند و دیترمینانت مساحتها را چطور تغییر میدهد.
- معکوس متریکس و حل سیستممعکوس متریکس ۲ × ۲ را با دیترمینانت پیدا کنید، معکوس ۳ × ۳ را با عملیه‌های سطری بیابید و با آن سیستم معادلات را حل کنید.
- طریقهٔ کرامر و طریقهٔ حذفی گاوسسیستم معادلات را با دیترمینانت (کرامر) حل کنید، بعد با عملیه‌های سطری (گاوس) و ببینید دیترمینانت صفر چگونه خطهای موازی میدهد.
- متریکس به حیث تبدیلمتریکس نقطههای مستوی را جابه‌جا می‌کند: آن را بالای یک نقطه اجرا کنید، از تصویر i و j بسازیدش و نقطههای ثابتش را پیدا کنید.
کلکولس (حساب دیفرانسیل و انتگرال)
۲۱
- لیمت: نزدیک شدن به یک عددجدول قیمتهای تابعی را که در یک نقطه تعریف نشده، نزدیک همان نقطه پر کنید، لیمت را از گراف بخوانید و ببینید چرا لیمت طرف چپ و طرف راست باید برابر باشند.
- محاسبهٔ لیمت: خواص، صفر بر صفر و ساینلیمت جمع و ضرب را از گرافها حساب کنید، شکل مبهم صفر بر صفر را با تجزیه و ساده کردن باز کنید و لیمت ساین را بشناسید.
- لیمت بینهایت و لیمت در بینهایتببینید چرا ۱x۲ نزدیک صفر بزرگ می‌شود، مجانب افقی را رسم کنید، و شکلهای مبهم ∞ ÷ ∞ و ∞ − ∞ را باز کنید.
- متمادیت و سرعت تغییرببینید چه وقت گراف را بدون برداشتن قلم میتوان رسم کرد، k را برای متمادی شدن پیدا کنید و سرعت تغییر اوسط را کوچککوچک به سرعت لحظهیی نزدیک کنید.
- از قاطع تا مماس: تعریف مشتقنقطهٔ Q را روی گراف به P نزدیک کنید، میل خط قاطع را در جدول ببینید که به میل مماس میرسد، مماس را رسم کنید و بفهمید چرا در یک گوشه مشتق وجود ندارد.
- قوانین مشتققاعدهٔ توان، ضرب، تقسیم و مشتق تابع مرکب را با عدد روی یک نقطه بیازمایید و با مماس و عمود روی گراف بررسی کنید.
- مشتق ساین، اکسپوننشیل، لوگاریتم و توابع معکوسمشتق sin x را نزدیک صفر بسنجید، مماس بر ex را رسم کنید، با آینه بودن ln x نسبت به ex مشتق آن را پیدا کنید و قاعدهٔ تابع معکوس را به arctan برسانید.
- مشتق ضمنی، پارامتری، مرتبهٔ دوم و سرعتهای وابستهمیل دایره را در یک نقطه با مشتق ضمنی پیدا کنید، میل منحنی پارامتری را حساب کنید، مشتق دوم را بگیرید و بفهمید چطور تغییر ضلع، تغییر مساحت را میسازد.
- معادلهٔ مماس و بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین قیمت در یک بازهمعادلهٔ مماس را با y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) بنویسید، مماس موازی با یک خط و مماسی را که از نقطهٔ بیرون منحنی میگذرد پیدا کنید، و بعد بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین قیمت تابع را در [a,b] بیابید.
- علامت مشتق و شکل گرافبا علامت f′(x) جاهای تابع متزاید و تابع متناقص را پیدا کنید، نقاط بحرانی (اعظمی و اصغری) را روی گراف بگذارید، نقطهٔ انعطاف را با f″(x) دریابید و قیمت اعظمی را حساب کنید.
- قضیهٔ رول، قاعدهٔ هوپیتال و سلسلهٔ مکلورننقطهای را که خط مماس افقی است پیدا کنید، نقطهٔ قضیهٔ قیمت اوسط را حساب کنید، لیمت شکل مبهم ۰/۰ را با مشتق بگیرید و ضریب سلسلهٔ مکلورن cosh(x) را بیابید.
- تخمین مساحت، مجموع ریمان و قاعدهٔ ذوزنقهمساحت زیر y = x۲ را با مستطیلهای باریک و ذوزنقهها تخمین کنید و ببینید با باریک شدن نوارها، تخمینها به کدام عدد نزدیک میشوند.
- از تابع اولیه تا انتیگرال معینتابع اولیه را بیابید و ببینید چرا +C لازم است، انتیگرال معین را با F(b) − F(a) حساب کنید، اوسط تابع را بیابید و با انتیگرال ۱x آشنا شوید.
- طریقه‌های انتیگرالگیریمتغیر و سرهای انتیگرال را با هم تعویض کنید، به طریقهٔ قسمی انتیگرال بگیرید، کسر را به کسور قسمی جدا کنید، تعویض مثلثاتی را انتخاب کنید و تصمیم بگیرید انتیگرال غیرحقیقی (ناسره) قیمت دارد یا نه.
- مساحت، حجم و طول قوس با انتیگرالبا انتیگرال معین مساحت محصور زیر یک منحنی و بین دو منحنی، حجم جسم دورانی، طول قوس و مساحت یک ناحیهٔ قطبی را حساب کنید.
- معادله‌های دیفرانسیلیک سرعت تغییر را به شکل معادلهٔ دیفرانسیل بنویسید، جواب y = Cekx را روی گراف پیدا کنید و یک معادلهٔ تفکیکپذیر را با شرط ابتدایی حل کنید.
- رسم گراف و اعظمیسازیمجانبها و نقاط مهم یک گراف را پیدا کنید و با قیمت اعظمی، مسئلههایی مثل بزرگ‌ترین مساحت و بزرگ‌ترین حجم را حل کنید.
- پلان تحقیق برای رسم گرافتابع را با پلان بررسی کنید: ساحهٔ تعریف، جفت و طاق بودن، صفرها، صعود و نزول، نقطههای اکستریمم، بعد نقطههای کلیدی گراف را نشانی کنید.
- جدول یکنوایی تابعاز علامهٔ مشتق در هر بازه با پیکان نشان بدهید که تابع کجا بالا میرود ↗ و کجا پایین میآید ↘، و نقطههای اکسترمم را پیدا کنید.
- از گراف f به گراف f′ببینید f′ کجا صفر است، f′ را از روی گراف f بخوانید، نقطهٔ انعطاف را بهصورت اکسترمم f′ پیدا کنید و لحظهٔ سریعترین رشد را تشخیص بدهید.
- تابع انتیگرال و قضیهٔ اساسیمساحتهای جبری را تا x با هم جمع کنید، اکسترمم تابع انتیگرال را پیدا کنید و با رابطهٔ J(x) = F(x) − F(a) حساب کنید.
روش‌های حل مسئله
۱۷
- حل مسائل: رسم شکلمسئله را بخوانید. بگویید چه میدانید و چه میخواهید. شکل آن را بکشید و جواب را پیدا کنید.
- حل مسائل: جملهٔ عددی با خانهٔ □مسئله را به یک جملهٔ عددی تبدیل کنید. به جای عددی که نمیدانید یک خانهٔ □ بگذارید و آن را پیدا کنید.
- حل مسائل: نوشتن منظم، پیدا کردن الگو، حذف حالتها و حدس و امتحانچهار راه برای حل مسئله: همهٔ حالتها را با نظم بنویسید، الگو را پیدا کنید، حالتهای ناممکن را خط بزنید، و حدس بزنید و امتحان کنید.
- حل مسائل: مسئلههای مرحلهای، مسئلهٔ سادهتر و فهرست منظممسئلهٔ بزرگ را چند مرحله کنید، اول یک مسئلهٔ سادهتر حل کنید، همهٔ حالتها را به ترتیب بنویسید، و خود شما طریقه را انتخاب کنید.
- حل مسائل: راههای صنف هفتمفهرستکردن منظم، مسئلههای فرعی و مسئلهٔ سادهتر را با مسئلههای پول و عددهای بزرگ تمرین کنید.
- حل مسائل: مفاد و معلومات کافیمفاد یک دکاندار را با جدول پیدا کنید و تصمیم بگیرید مسئله کدام عددها را لازم دارد، کدام را نه، یا کدام عدد کم است.
- مسئله: خلاصه و حلمعلومات مسئله را کوتاه بنویسید، تساوی بسازید، مسئله را در یک یا دو قدم حل کنید و جواب را بنویسید.
- مسئلهها: چند برابر، چند تا زیادتر، مسئلهٔ معکوسعددی را چند برابر کنید، با «چند برابر» مقایسه کنید، مسئلههای غیرمستقیم و مسئلهٔ معکوس را حل کنید. قیمت، شمار و مبلغ در کارگاه دیگری است.
- مسئلههای جدولی: قیمت، شمار، مبلغخلاصهٔ مسئله را به شکل جدول «قیمت، شمار، مبلغ» بنویسید و مسئلههای مجموع، تفاوت و نسبت دو حاصل ضرب را حل کنید.
- مسئلههای چندمرحلهییمسئلهٔ ساده و چندمرحلهیی را از هم فرق کنید، بعد حل را عملیهبهعملیه و به شکل یک عبارت با قوس بنویسید.
- مسئلههای چندمرحلهیی با ضرب و تقسیممسئلههای چندمرحلهیی را حل کنید: باقیمانده، مجموع و تفاوت حاصل ضربها، و چند برابر زیاد یا کم.
- مسئلهها را مقایسه کنید: چه تغییر کرد؟دو مسئلهٔ نزدیک به هم را مقایسه کنید، پیشبینی کنید حل چه تغییر می‌کند و مسئلهٔ تغییرکرده را حل کنید.
- دادهها، حل و جوابمسئله را همانطور بنویسید که در دفتر مینویسند: دادهها، خواسته، حل (با پرسشهای میانی، قدمبهقدم یا با یک عبارت) و جواب.
- معمای منطقیمعماهای فکری را حل کنید: جدول سرنخها را پر کنید، راستگو و دروغگو را پیدا کنید، آب را بین سطلها جابه‌جا کنید و بفهمید چه کسی کار را کرده است.
- دستور و الگوریتمدستور را قدمبهقدم اجرا کنید، ماشین الگوریتمی را به کار بیندازید و قدمهای یک طرح را به ترتیب درست بچینید.
- مصرف و تغییرمسئلههای مصرف روزانه («مصرف یک روز × تعداد روز») و مسئلههای تغییر («پیش از تغییر − بعد از آن») را قدمبهقدم حل کنید و جواب را کامل بنویسید.
- مسئلههای فرمی؛ تخمین یا جواب دقیق؟عددهای بزرگ را با اندازههای مرجع در چند قدم تخمین بزنید، برای تخمین سریع گرد کنید و تشخیص بدهید چه وقت جواب دقیق لازم است.