El producto escalar de vectores: módulos, ángulo, coordenadas
Calcula el producto escalar a partir de los módulos y del ángulo, eleva al cuadrado una suma de vectores, halla el coseno del ángulo entre vectores y el ángulo de un triángulo a partir de sus vértices.
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Guía
Este estudio corresponde a 2.º de Bachillerato (Matemáticas II: producto escalar de vectores, perpendicularidad y ángulo entre vectores, en el plano y en el espacio). El ángulo entre dos vectores no nulos a y b es el ángulo AOB, donde OA = a y OB = b. Se escribe ∠(a, b), con 0° ≤ ∠(a,b) ≤ 180°. Los vectores son perpendiculares si el ángulo es de 90°.
El producto escalar es el producto de los módulos por el coseno del ángulo entre los vectores: a · b = |a| |b| cos ∠(a, b). El producto escalar a · a se escribe a², y a² = |a|². Los vectores son perpendiculares justo cuando a · b = 0.
Para a (a1,a2,a3) y b (b1,b2,b3): a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3. Por tanto, cos∠(a,b) = a1b1 + a2b2 + a3b3√(a12 + a22 + a32)·√(b12 + b22 + b32).
El producto escalar es conmutativo, (ka) · b = k(a · b) y es distributivo respecto de la suma. Así, (a + b)² = a² + 2a · b + b².