Área y volumen con el producto vectorial
El módulo del producto vectorial de dos vectores es el área de su paralelogramo. Con tres vectores, un determinante da el volumen del paralelepípedo.
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Guía
Este estudio continúa el producto escalar y vectorial de 2.º de Bachillerato (Matemáticas II, geometría del espacio). Si a y b son dos lados de un paralelogramo, su área es el módulo de su producto vectorial, |a×b|. Un triángulo construido sobre los mismos dos vectores tiene la mitad de esa área.
Tres vectores que no están en un mismo plano forman un paralelepípedo. Su volumen es |a·(b×c)|, el valor absoluto del producto mixto. Es el valor absoluto del determinante 3 × 3 cuyas filas son las componentes de a, b y c. Si el determinante es cero, el volumen es cero: los tres vectores están en un mismo plano.
Errores frecuentes: olvidar la mitad en un triángulo, olvidar el signo menos del término central al desarrollar el determinante y sumar las componentes en vez de calcular el módulo del vector.