Simetría y homotecia en el espacio
Halla el simétrico de un punto respecto de un plano, calcula cómo crece un volumen con una homotecia y encuentra todos los planos de simetría de un cubo y de una esfera.
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- Rusia: 10.º curso
Guía
La simetría en el espacio y la homotecia con vectores se estudian en Bachillerato (Matemáticas II, geometría en el espacio); en ESO solo se ven las simetrías de los cuerpos geométricos. Este taller es una ampliación de lo que suele verse en clase de ESO.
Los puntos A y A′ son simétricos respecto de un plano si el plano pasa por el punto medio de AA′ y es perpendicular a ese segmento. En coordenadas, la simetría respecto del plano XZ solo cambia el signo de y; la simetría respecto del origen cambia los signos de las tres coordenadas.
En una homotecia de razón k, las longitudes se multiplican por |k|, las áreas por k² y los volúmenes por |k|³. Un plano de simetría transforma el cuerpo en sí mismo.
Errores habituales: multiplicar el volumen por k en vez de por k³, confundir el simétrico de un punto con su proyección y contar solo los planos paralelos a las caras de un cubo.