La circunferencia: ecuación, recta y circunferencia, tangente
Construye y lee la ecuación de una circunferencia, halla los puntos comunes a una recta y una circunferencia y trabaja con la tangente y su longitud.
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Guía
La ecuación de la circunferencia se estudia en Bachillerato (1.º de Bachillerato, Matemáticas I, geometría analítica y lugares geométricos). Una circunferencia es el conjunto de los puntos que están a una distancia fija r (el radio) de un punto fijo (el centro). Con centro C(h,k), la ecuación es (x − h)2 + (y − k)2 = r2. Los signos de h y de k aparecen cambiados en la ecuación: el centro (3; −2) da (x − 3)2 + (y + 2)2.
La forma general x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 tiene centro (−g, − f) y radio r = √(g2 + f2 − c). Para hallar los puntos comunes a una recta y una circunferencia, se sustituye y por la expresión despejada de la recta en la ecuación de la circunferencia y se resuelve la ecuación de segundo grado: dos soluciones, dos puntos; una solución, la recta es tangente; ninguna, la recta no corta a la circunferencia.
La tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. La longitud de la tangente desde un punto exterior P hasta el punto de tangencia es √(OP2 − r2), porque el triángulo OPT es rectángulo en T (teorema de Pitágoras).