Rolle, L'Hôpital y series de Maclaurin
Descubre dónde la tangente es horizontal, halla el punto del teorema del valor medio, calcula un límite del tipo 0/0 con derivadas y determina un coeficiente de la serie de Maclaurin de cosh x.
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- Palestina: 12.º curso
Guía
Los teoremas de Rolle y del valor medio (de Lagrange) y la regla de L'Hôpital se estudian en 2.º de Bachillerato (Matemáticas II, derivadas y sus aplicaciones). Las series de Maclaurin no forman parte del currículo de Bachillerato: son materia universitaria y aquí sirven de ampliación para quien ya conoce las derivadas y los límites.
Teorema de Rolle: si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f(a) = f(b), existe c entre a y b con f′(c) = 0: una tangente horizontal. Teorema del valor medio (de Lagrange): aunque los extremos tengan valores distintos, existe un punto donde la tangente tiene la misma pendiente que la recta secante: f′(c) = f(b) − f(a)b − a.
Regla de L'Hôpital: si el numerador y el denominador tienden los dos a cero, el límite de fxg(x) es igual al límite de f′xg′(x). Se deriva por separado el numerador y el denominador, y no la fracción entera.
cosh(x) = (ex + e−x) ÷ 2 y sinh(x) = ex − eundefined2 son funciones hiperbólicas. La derivada de cosh(x) es sinh(x) y al revés. El coeficiente de xn en la serie de Maclaurin es fn0n!.