Flächeninhalt und Volumen mit dem Kreuzprodukt
Der Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das sie aufspannen. Mit drei Vektoren liefert eine Determinante das Volumen des Spats.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Italien: Klasse 13
- Spanien: Klasse 12
- Russland: Klasse 11
- Iran: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) kommt im bayerischen Lehrplan in der 12. Jahrgangsstufe vor, vor allem um einen Normalenvektor zu bestimmen. Flächeninhalt und Spatprodukt sind eine Vertiefung. Sind a⃗ und b⃗ zwei Seiten eines Parallelogramms, so ist sein Flächeninhalt der Betrag des Vektorprodukts, |a⃗·b⃗|. Ein Dreieck über denselben zwei Vektoren hat den halben Flächeninhalt.
Drei Vektoren, die nicht in einer Ebene liegen, spannen ein Spat (Parallelepiped) auf. Sein Volumen ist V = |a⃗∘(b⃗·c⃗)|. Das ist der Betrag des Spatprodukts, einer 3·3-Determinante, in deren Zeilen die Koordinaten von a⃗, b⃗ und c⃗ stehen. Ist die Determinante null, ist das Volumen null: Die drei Vektoren liegen in einer Ebene.
Typische Fehler: beim Dreieck das Halbieren zu vergessen, beim Entwickeln der Determinante das Minuszeichen vor dem mittleren Summanden zu übersehen und die Koordinaten zu addieren, statt den Betrag des Vektors zu berechnen.