Winkel, Schnittpunkte und Abstände im Raum
Bestimme den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene, den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, den Abstand eines Punkts von einer Ebene und den Winkel zwischen zwei Ebenen mit dem Skalarprodukt und mit Gleichungen.
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- Deutschland: Klasse 12
- Frankreich: Klasse 12
- Portugal: Klasse 11
- Italien: Klasse 13
- Spanien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 13
- Russland: Klasse 11
- Iran: Klasse 12
- Syrien: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Die Lage von Geraden und Ebenen im Raum, Schnittpunkte, Schnittwinkel und Abstände gehören im bayerischen Lehrplan zur Geometrie der 12. Jahrgangsstufe (Gymnasium). Der Schnittwinkel φ zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor d⃗ und einer Ebene mit dem Normalenvektor n⃗ folgt aus seinem Sinus: sinφ = |d⃗∘n⃗|/(|d⃗|·|n⃗|). Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist der spitze Winkel zwischen ihren Normalenvektoren.
Den Schnittpunkt der Geraden g: X⃗ = A⃗ + λ · d⃗ mit einer Ebene E erhältst du, indem du die Koordinaten x₁, x₂, x₃ eines Geradenpunkts in die Normalenform von E einsetzt und nach λ auflöst. Der Abstand eines Punkts P von der Ebene E: n₁x₁ + n₂x₂ + n₃x₃ = d ist der Betrag von n₁p₁ + n₂p₂ + n₃p₃ − d, geteilt durch den Betrag |n⃗| (Hessesche Normalenform).
Typische Fehler: Kosinus statt Sinus beim Winkel zwischen Gerade und Ebene, das Teilen durch |n⃗| zu vergessen und für den Winkel zweier Ebenen den stumpfen statt des spitzen Winkels anzugeben. In den Bildern heißen die Vektoren d⃗, n⃗, p⃗ und q⃗.