Der Tangens: Graph, Definitionsmenge und Periode
Lies am Graphen von y = tan x ab: das Vorzeichen in jedem Quadranten, die Stellen, an denen er nicht definiert ist, seine Periode und die Lösungen von tan x = 1.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 10
- Portugal: Klasse 11
- Italien: Klasse 11
- Russland: Klasse 10
- Iran: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Den Tangens als Funktion lernt man im bayerischen Lehrplan in der 10. Jahrgangsstufe kennen, vor allem an der Realschule. Am Gymnasium liegt der Schwerpunkt auf Sinus und Kosinus. Die x-Achse ist in Grad beschriftet (ein Kästchen sind 90°), und 180° entsprechen π im Bogenmaß. Die y-Achse zählt in Einsen.
Am Einheitskreis ist die Tangente an den Kreis im Punkt A(1 | 0) die Tangensachse. Verlängere den zweiten Schenkel des Winkels α, bis er diese Achse schneidet. Die Länge von A bis zum Schnittpunkt, mit Vorzeichen, ist tanα. Sie ist im 1. und 3. Quadranten positiv und im 2. und 4. Quadranten negativ.
Nähert sich α der 90°, wird der Tangens immer größer. Bei 90° und 270° ist der zweite Schenkel parallel zur Tangensachse und schneidet sie nie. Also ist tan 90° nicht definiert, und der Graph besteht aus getrennten Ästen. Die Definitionsmenge ist ℝ ohne die Stellen 90° + k · 180°.
Der Tangens wiederholt sich alle 180° (also π), die halbe Periode des Sinus. Wegen tanα = sinα/cosα ist er überall dort nicht definiert, wo der Kosinus 0 ist.
Häufige Fehler: den Tangens im 2. Quadranten als positiv ansehen, die Lücken an die Nullstellen des Tangens setzen, die Periode 360° wie beim Sinus annehmen und die zweite Lösung wie beim Sinus mit 180° − x bestimmen.