Zusammengehörige Winkel, Bogenlänge und Kreissektor
Spiegle einen Punkt am Einheitskreis und sieh, wie Sinus und Kosinus von α und 180° − α zusammenhängen. Nutze den Bezugswinkel für cos 120°, entdecke sin(90° − α) = cos α und berechne dann die Länge eines Kreisbogens und den Flächeninhalt eines Kreissektors im Bogenmaß.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 10
- Frankreich: Klasse 11
- Portugal: Klasse 11
- Italien: Klasse 11
- Spanien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 12
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- Ukraine: Klasse 10
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- Palästina: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Die Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus verschiedener Winkel (Supplementbeziehung und Komplementbeziehung) gehören im bayerischen Lehrplan zur 10. Jahrgangsstufe, ebenso das Bogenmaß am Einheitskreis. Die farbigen Punkte lassen sich ziehen, die Anzeigen ändern sich sofort.
Der Punkt P liegt beim Winkel α auf dem Einheitskreis. Sein Spiegelbild Q an der y-Achse gehört zum Winkel 180° − α. Beide haben dieselbe Höhe, also gilt sin (180° − α) = sinα. Ihre x-Koordinaten sind Gegenzahlen, also gilt cos (180° − α) = −cosα. Für den Komplementwinkel gilt sin (90° − α) = cosα.
Im Bogenmaß ist der Winkel x die Länge des Bogens am Einheitskreis (Radius 1). Zu einem Kreisbogen im Kreis mit dem Radius r und dem Winkel x im Bogenmaß gehört die Länge b = r·x. Der zugehörige Kreissektor hat den Flächeninhalt A = r2·x2.
Der Winkel muss im Bogenmaß stehen: 60° = π/3. Setzt man Grad in diese Formeln ein, kommt etwas Falsches heraus. Die Antworten gibt man als Vielfaches von π an (für 5π cm tippst du 5).