Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
Vergrößere und verkleinere ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 35° und sieh: Die Seiten ändern sich, ihr Verhältnis nicht. Benenne dann Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse für jeden Winkel, berechne mit dem Taschenrechner Seiten und Winkel, entdecke sin²α + cos²α = 1 und löse eine Aufgabe zur Steigung einer Straße.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 9
- Frankreich: Klasse 8
- Portugal: Klasse 9
- Italien: Klasse 9
- Spanien: Klasse 9
- Großbritannien: Year 9
- Russland: Klasse 8
- Ukraine: Klasse 8
- Iran: Klasse 10
- Afghanistan: Klasse 9
- Syrien: Klasse 9
- Palästina: Klasse 8
Hinweise für Erwachsene
Die Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck steht im bayerischen Lehrplan in der 9. Klasse (Gymnasium und Realschule); in der 10. Klasse wird sie vertieft. Die farbigen Punkte lassen sich ziehen, die Anzeigen unter der Zeichnung ändern sich sofort.
Im Dreieck ABC liegt der rechte Winkel bei C, die Seiten heißen a = BC, b = AC und c = AB, der Winkel bei A heißt α. Die Seite AB gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse. Für den Winkel α ist BC die Gegenkathete und AC die Ankathete. Für den Winkel β bei B tauschen die beiden Katheten ihre Rollen, die Hypotenuse bleibt AB.
Es gilt sinα = BCAB, cosα = ACAB und tanα = BCAC, also Gegenkathete durch Hypotenuse, Ankathete durch Hypotenuse und Gegenkathete durch Ankathete. Diese Verhältnisse hängen nur vom Winkel ab, nicht von der Größe des Dreiecks, denn alle rechtwinkligen Dreiecke mit einem Winkel von 35° sind ähnlich. Außerdem gelten sin2α + cos2α = 1 (Satz des Pythagoras im Dreieck mit der Hypotenuse 1) und tanα = sinα/cosα.
Gerechnet wird mit dem Taschenrechner im Gradmaß (Anzeige DEG). sin 35° ist eine Zahl (etwa 0,57), nicht «sin mal 35». Umgekehrt findet man einen Winkel aus dem Verhältnis mit der Taste sin⁻¹: Sie bedeutet «der Winkel, dessen Sinus diese Zahl ist», nicht 1 durch sin. Ergebnisse werden meist gerundet und mit ≈ geschrieben (zum Beispiel α ≈ 36,9°).