Allgemeine Lösungen trigonometrischer Gleichungen
Die Gerade y = b schneidet den Graphen von Sinus, Kosinus oder Tangens in unendlich vielen Punkten. Schreibe alle Lösungen als Formel mit n ∈ ℤ und verwirf bei einer Gleichung, die auf eine quadratische führt, die Lösung, die nicht vorkommen kann.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Portugal: Klasse 11
- Italien: Klasse 11
- Russland: Klasse 10
- Ukraine: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan (Jahrgangsstufe 10 und 11) löst man Gleichungen wie cos x = b am Graphen und mit dem Taschenrechner; die Darstellung aller Lösungen mit Arkusfunktionen und n ∈ ℤ ist hier eine Erweiterung. Die Gerade y = b schneidet die Kosinuskurve genau dann, wenn |b| ≤ 1 ist. Die x-Achse zeigt gewöhnliche Zahlen, also π ≈ 3,14.
Für cos x = b mit |b| ≤ 1 lauten die Lösungen x = ±arccos b + 2πn,n∈ℤ, wobei arccos b in [0;π] liegt und arccos (−b) = π − arccos b gilt. Die Sonderfälle cos x = 0, cos x = 1, cos x = −1 schreibt man ohne ±.
Für sin x = b: x = (−1)narcsin b + πn,n∈ℤ. Für tan x = b: x = arctan b + πn,n∈ℤ; für cot x = b: x = arccotb + πn,n∈ℤ.
Führt eine Gleichung auf eine quadratische in sin x oder cos x, liefert die Substitution t = sin x Werte für t; jeder muss in [ − 1;1] liegen, sonst gibt es keine Lösung.