Gleichungen näherungsweise lösen
Schließe eine Nullstelle einer Gleichung ohne Lösungsformel durch einen Vorzeichenwechsel ein, nähere dich ihr durch das Wiederholen einer Rechenvorschrift und werde mit dem Newton-Verfahren schneller.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 11
- Frankreich: Klasse 12
- Portugal: Klasse 12
- Italien: Klasse 9
- Großbritannien: Year 12
- Syrien: Klasse 11
Hinweise für Erwachsene
Das Newton-Verfahren und das Lösen von Gleichungen durch Iteration gehören im bayerischen Lehrplan zur Jahrgangsstufe 11 (Analysis). Zum Rechnen eignen sich der Taschenrechner und die Tabellenkalkulation, in der man das Verfahren als Tabelle mit den Spalten n, x_n, f(x_n) und f′(x_n) aufschreibt.
Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen und ist f zwischen a und b stetig, dann muss der Graph die x-Achse schneiden: Zwischen a und b liegt eine Nullstelle (Zwischenwertsatz).
Bei der Iteration beginnt man mit einer Zahl und wendet immer wieder dieselbe Rechenvorschrift an: xn + 1 = g(xn). Nähern sich die Zahlen einem Wert, dann löst dieser Wert die Gleichung x = g(x).
Das Newton-Verfahren benutzt die Tangente: Die Tangente an der Stelle xn schneidet die x-Achse bei xn + 1 = xn − fxnf′(xn). Diese Stelle liegt meist näher an der Nullstelle als xn.