Teilbarkeit in den ganzen Zahlen
Division mit Rest, Eigenschaften der Teilbarkeit und der ggT zweier Zahlen als Vielfachsumme der beiden Zahlen.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Frankreich: Klasse 12
- Italien: Klasse 11
- Iran: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema in dieser Form nicht vor. Teiler, Vielfache und die Division mit Rest lernen die Kinder in Klasse 5 und 6, den ggT und den euklidischen Algorithmus teils in Klasse 6, teils als Vertiefung. Die Darstellung des ggT als Vielfachsumme (Bézout) und die Gleichung ax + by = c in den ganzen Zahlen gehören zur Zahlentheorie und sind eine Zugabe.
Wir sagen: b teilt a, wenn es eine ganze Zahl q mit a = bq gibt, geschrieben b|a. Zum Beispiel gilt 7|21, weil 21 = 7·3.
Geht die Division nicht auf, bleibt ein Rest. Zu ganzen Zahlen a und b (b ≠ 0) gibt es genau einen Quotienten q und genau einen Rest r mit a = bq + r, wobei r nicht kleiner als 0 und kleiner als b ist. Das ist die Division mit Rest.
Teilt b sowohl a als auch c, dann teilt b auch jede Zahl ax + cy (x und y beliebige ganze Zahlen).
Geht man die Schritte des euklidischen Algorithmus rückwärts, kann man den ggT zweier Zahlen als ax + by schreiben. Die Umkehrung ist ebenso wichtig: Die Gleichung ax + by = c hat nur dann ganzzahlige Lösungen, wenn der ggT von a und b die Zahl c teilt.
Arbeite in jeder Aufgabe am Divisionsblatt oder im Antwortfeld. Wenn du nicht weiterkommst, lies den Tipp.