Kongruenz modulo m: Rechnen mit Resten
Zahlen, die bei der Division durch m denselben Rest lassen, sind kongruent modulo m. Lerne, mit diesen Resten zu rechnen.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Frankreich: Klasse 12
- Italien: Klasse 11
- Russland: Klasse 7
- Iran: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema nicht vor, auch nicht der Begriff «kongruent modulo m». Die Grundlagen sind aber bekannt: die Division mit Rest (Jahrgangsstufe 5 und 6) und die Teilbarkeit. Das Studio zeigt, was man mit diesen Resten alles anfangen kann; es ist eine Erweiterung für Neugierige.
Jede ganze Zahl lässt bei der Division durch 4 den Rest 0, 1, 2 oder 3. Zahlen mit demselben Rest bilden eine Restklasse: 1, 5, 9, 13 und so weiter lassen alle den Rest 1.
Teilt die natürliche Zahl m die Differenz a − b, dann sind a und b kongruent modulo m, geschrieben a≡b (mod m). Das heißt: a und b lassen bei der Division durch m denselben Rest. Zum Beispiel ist 17≡2 (mod 5), weil 5|17 − 2 gilt.
Du darfst auf beiden Seiten einer Kongruenz dieselbe ganze Zahl addieren oder subtrahieren und beide Seiten mit derselben ganzen Zahl multiplizieren. So lässt sich eine große Zahl durch ihren Rest ersetzen.
Anwendungen: Wochentage (mod 7), Uhrzeiten (mod 12) und Prüfziffern bei Nummern.
Arbeite in jeder Aufgabe auf der Zahlentafel oder im Antwortfeld.