Beweis durch Widerspruch
Lerne, Sätze durch Widerspruch zu beweisen: Nimm an, die Behauptung sei falsch, folgere einen Widerspruch und schließe daraus, dass die Behauptung stimmt.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Ukraine: Klasse 7
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt der Beweis durch Widerspruch (indirekter Beweis) als eigenes Thema erst später vor, vor allem in der Jahrgangsstufe 9 bei der Irrationalität von √2. Hier übst du die Denkweise an einfachen Sätzen über Geraden und Kreise, die du schon aus der Jahrgangsstufe 7 kennst.
Ein Satz lässt sich durch Widerspruch beweisen. Zuerst nimmst du an, dass die Behauptung falsch ist («Angenommen, es gilt das Gegenteil»). Aus dieser Annahme folgerst du Schritt für Schritt eine Aussage, die einem Axiom, einem bekannten Satz oder der Voraussetzung widerspricht («Das ist ein Widerspruch»).
Der Schluss lautet: Die Annahme ist falsch, also stimmt die Behauptung. So beweist man zum Beispiel: Stehen zwei Geraden senkrecht auf einer dritten, sind sie parallel. Angenommen, a ⊥ c und b ⊥ c, aber a und b schneiden sich in M. Dann gehen durch M zwei Lote auf c. Das widerspricht der Tatsache, dass es durch einen Punkt nur ein Lot auf eine gegebene Gerade gibt.
Ebenso funktionieren zwei weitere Sätze: Zwei Geraden, die zu einer dritten parallel sind, sind zueinander parallel (Widerspruch zum Parallelenaxiom: Durch einen Punkt außerhalb einer Geraden gibt es nur eine Parallele zu ihr). Und: Der Radius zum Berührpunkt steht senkrecht auf der Tangente (ein Lot OM wäre länger als eine Schräge OA, aber das Lot ist der kürzeste Weg).