Tangenten am Kreis und der Winkelhalbierendensatz
Beweise, dass die beiden Tangenten von einem Punkt an einen Kreis gleich lang sind, und lerne, dass die Winkelhalbierende eines Dreiecks die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anderen Seiten teilt.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 9
- Portugal: Klasse 9
- Italien: Klasse 9
- Großbritannien: Year 11
- Russland: Klasse 8
- Ukraine: Klasse 8
- Iran: Klasse 11
- Syrien: Klasse 11
Hinweise für Erwachsene
Tangenten an einen Kreis und der Satz, dass die Tangente auf dem Berührradius senkrecht steht, gehören in Bayern zur Geometrie der 9. Klasse; im Rahmen der Beweise ab Klasse 7 üben die Kinder das Begründen. Der Winkelhalbierendensatz in dieser Einheit kommt im bayerischen Lehrplan nicht vor; er ist eine Vertiefung für interessierte Kinder.
Von einem Punkt P außerhalb eines Kreises kannst du zwei Tangenten an den Kreis zeichnen. Beim Ziehen am Punkt sieht das Kind, dass die beiden Tangentenabschnitte immer gleich lang sind; Messen ist aber kein Beweis. Für den Beweis nutzt man die rechtwinkligen Dreiecke OAP und OBP: Die Tangente steht senkrecht auf dem Berührradius, und zwei Radien sind gleich lang. Der Beweis folgt dem Schema Voraussetzung – Behauptung – Beweis.
Die Winkelhalbierende des Winkels bei A im Dreieck ABC schneidet die Seite BC im Punkt D, und es gilt |BD| : |DC| = |AB| : |AC|. Das Verhältnis der beiden Teilstrecken der gegenüberliegenden Seite ist gleich dem Verhältnis der beiden anliegenden Seiten; D ist nicht der Mittelpunkt von [BC].
Die Länge der Winkelhalbierenden berechnet man mit |AD|2 = |AB|·|AC| − |BD|·|DC|.