Monotonie und Symmetrie von Funktionen
Finde die Intervalle, auf denen ein Graph steigt oder fällt, spiegle Punkte an der y-Achse und am Ursprung und prüfe mit f(–x), ob eine Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder keines von beiden ist.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan untersuchen die Schülerinnen und Schüler Potenzfunktionen und ihre Symmetrie in der Jahrgangsstufe 9; das Monotonieverhalten und das rechnerische Prüfen der Symmetrie kommen in den Jahrgangsstufen 10 und 11 hinzu. Hier geht es um das Lesen von Graphen und das Rechnen mit f(–x).
Läuft der Graph beim Lesen von links nach rechts nach oben, ist die Funktion monoton steigende Funktion, läuft er nach unten, ist sie monoton fallende Funktion. Das Intervall wird für x angegeben, nicht für y: Bei y = (x − 1)2 ist die Funktion auf [1; ∞[ monoton steigend.
Eine Funktion heißt gerade Funktion (ihr Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse), wenn f(−x) = f(x) für alle x der Definitionsmenge gilt. Sie heißt ungerade Funktion (ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung), wenn f(−x) = −f(x) gilt. Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man das auch am Term: Kommen nur gerade Exponenten vor (auch die Konstante zählt dazu), ist der Graph achsensymmetrisch; kommen nur ungerade Exponenten vor, ist er punktsymmetrisch; bei gemischten Exponenten meistens keines von beiden.
Zum Prüfen berechnest du f(x) und f(–x) und vergleichst. Sind beide Werte weder gleich noch Gegenzahlen, ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Ein einziges Zahlenbeispiel genügt, um eine Symmetrie zu widerlegen, aber nie, um sie zu beweisen.