Exponentialfunktionen b · a^x und einfache Exponentialgleichungen
Fülle eine Wertetabelle von 2^x aus, sieh, dass eine Basis über 1 eine steigende Kurve und eine Basis zwischen 0 und 1 eine fallende Kurve ergibt, erkunde den Einfluss des Faktors b, lies den y-Achsenabschnitt ab und löse eine Exponentialgleichung, indem du beide Seiten als Potenz derselben Basis schreibst.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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- Palästina: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Exponentielles Wachstum und Abnahme sowie die Funktionen der Form y = b·ax gehören im bayerischen Lehrplan in die 10. Klasse (Gymnasium, Kapitel «Exponentielles Wachstum und Logarithmus»). Dabei beschreibt man Verlauf, y-Achsenabschnitt, Asymptote und Monotonie in Abhängigkeit von a und b und grenzt exponentielles Wachstum von linearem Wachstum ab. Die Basis a ist positiv und nicht 1. Die Funktion y = ax ist auch für negative x erklärt: 2−1 = 12 und 20 = 1.
Für a > 1 steigt der Graph von links nach rechts (streng monoton steigend) und bleibt oberhalb der x-Achse. Für 0 < a < 1 fällt er (streng monoton fallend); y = (12)x ist das Spiegelbild von y = 2x an der y-Achse. Beide gehen durch den Punkt P(0 | 1). Die x-Achse (y = 0) ist die waagrechte Asymptote. Der Faktor b streckt den Graphen in y-Richtung; für b < 0 wird er an der x-Achse gespiegelt. Der y-Achsenabschnitt von y = b·ax ist b, denn a0 = 1.
Eine Exponentialgleichung löst man, indem man beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreibt: 4x = 8 wird zu 22x = 23, also 2x = 3 und L = {1,5}. Bei anderen Gleichungen verwendet man den Logarithmus (siehe das Studio zum Logarithmus).
Typische Fehler: 2^-1 = −2 rechnen; eine fallende Kurve als Wachstum lesen; 4^x = 8 als 8 : 4 lösen.