Ellipse, Hyperbel und eine Gerade dazu
Bestimme die Brennpunkte von Ellipse und Hyperbel aus der Gleichung, konstruiere eine Ellipse mit beliebigem Mittelpunkt, zeichne die Asymptote einer Hyperbel und prüfe eine Gerade gegen eine Parabel.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommen Ellipse und Hyperbel als Kegelschnitte nicht vor, die Parabel nur als Graph quadratischer Funktionen. Die Aufgaben hier sind eine Vertiefung für Neugierige.
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte, deren Abstände von zwei festen Punkten F und F′ (den Brennpunkten) die Summe 2a haben. Mit dem Mittelpunkt im Ursprung lautet ihre Gleichung x2a2 + y2b2 = 1 mit c2 = a2 − b2 und den Brennpunkten (±c|0). Mit dem Mittelpunkt (xM|yM): (x − xM)2a2 + (y − yM)2b2 = 1.
Eine Hyperbel ist die Menge aller Punkte, deren Abstände von den beiden Brennpunkten sich um 2a unterscheiden. Ihre Gleichung ist x2a2 − y2b2 = 1 mit c2 = a2 + b2. Vorsicht: Bei der Ellipse ist c kleiner als a, bei der Hyperbel größer. Ihre Asymptoten sind y = ±ba(x − xM) + yM.
Um eine Gerade gegen einen Kegelschnitt zu prüfen, setzt man y der Geraden in die Gleichung des Kegelschnitts ein und betrachtet die Diskriminante der entstehenden quadratischen Gleichung: positiv, zwei Schnittpunkte (Sekante); null, Tangente; negativ, kein Schnittpunkt (Passante).